Главная

Сплошные единицы

Докажите, что найдется число, записываемое одними единицами и делящееся на 1999.

Ответ: Рассмотрим последовательность чисел 1, 11, 111, ... Допустим, что ни одно из них не делится на 1999. Поскольку остатки от деления этих чисел на 1999 могут равняться числам от 1 до 1998, то найдутся среди последовательности два числа, дающие при делении на 1999 одинаковые остатки. Тогда их разность делится на 1999. Откинув в этой разности нули, т.е. разделив на степень 10 - число, взаимно простое с 1999, получим число из одних единиц, делящееся на 1999.

Ваша оценка: Пусто Средняя: 3.6 (83 голосов)

#1Опубликовано Гость в Втр, 12/27/2011 - 00:18.

Относительно "доказательства": неубедительно. Ведь так можно доказать и деление на любое число, в том числе и заканчивающееся на 2; 4; 5... Т.е. доказать невозможное...

#2Опубликовано Циник в Чт, 09/29/2011 - 11:40.

Исходя из условия задачи существует бесконечное множество чисел прекрасно делящихся на 1999 как состоящих из 1 так и из любых других цифр. Например 1 прекрасно делится на 1999 впрочем как и любое другое число.

#3Опубликовано Гость в Чт, 07/21/2011 - 13:26.

как говорил альберт есть 2 бесконечные вещи: человеческая глупость и вселенная. насчет последней я не уверен..одни думают что делить надо 1999 на число из единиц, другие думают что остатки нужно складывать, третьи - причем тут принцип дирихле..куда катится россия?? стыдно за вас, ребята..

#4Опубликовано Гость в Пт, 10/21/2011 - 22:40.

а это за какой класс задача
я в 7 классе и мне УрФО решать я немного не понимаю как это решается

#5Опубликовано Гость в Пт, 04/29/2011 - 22:07.

да бредятина, самый простой способ умножить число 1999 на 1, потом на 11, 111 и тд. Нет такого числа, а то что называют доказательством это просто развод 8)

#6Опубликовано Max в Втр, 05/10/2011 - 13:59.

ну так попробуйте, даю гарантию что такое число будет и в этом числе будет не больше чем 1999 единиц.

кстати ответ 1498 единиц, но это уже использование компьютера:)

#7Опубликовано Max в Втр, 05/10/2011 - 14:14.

вру ответ 998 (1498 было для деления на 2999).

вот код, написал на коленке -

#include

class data{
public:
static const int size=3000;

int d[size];

data()
{
for (int i=size-1; i>=0; i--) d[i]=0;
}

int operator %(int del)
{
int val = 0;
for (int i=size-1; i>=0; i--){
val = val*10+d[i];
while(val>=del)val-=del;
}
return val;
}

};

int main(){
data a;

for (int i=0; i

#8Опубликовано Max в Втр, 05/10/2011 - 14:15.

int main(){
data a;

for (int i=0; i

#9Опубликовано Slava в Сб, 06/18/2011 - 02:45.

кстати что интересно,первая цифра множителся должна быть 1,ну и последняя 9 как я и говорил

#10Опубликовано Slava в Сб, 06/18/2011 - 02:26.

парень я рад,что ты шаришь в программировании,но нужно как-то шарить и в логике,если 998 умножить на 1999,на конце не будет единица а будет двойка т.к. 8*9=72,на конце множителя должна быть девятка....=\

#11Опубликовано Гость в Вс, 06/19/2011 - 03:08.

он имел ввиду что число состоит из 998 едениц, т.е. 11111111111111111....... всего 998

#12Опубликовано Стасон Клим. в Чт, 11/17/2011 - 10:10.

Да, Слава, конечно, рассмешил своим умозаключением. ))))

#13Опубликовано Гость в Чт, 04/28/2011 - 17:34.

логика вроде бы правильная, но сомнения в 2 пунктах:
1. найдутся ли из последовательности 2 числа с одинаковым остатком
2. все-таки кажется, что надо складывать числа с остатком, а не вычитать=)

#14Опубликовано Гость в Пнд, 05/09/2011 - 00:38.

1. найдутся ли из последовательности 2 числа с одинаковым остатком

Найдутся (принцип Дирихле): чисел из одних единиц бесконечно много, а остатков всего 1998

2. все-таки кажется, что надо складывать числа с остатком, а не вычитать=)

(1999 * n + a) - (1999 * m + a) = 1999(n-m)

#15Опубликовано Гость в Вс, 04/10/2011 - 03:24.

я не понял! а если взять 1998 а не 1999??? что изменится??? тоже так докажете???

#16Опубликовано Стасон Клим. в Чт, 11/17/2011 - 10:13.

Нет, 1998-Чётное, а единицы нечётные. Если есть желание 1997, 1995...

#17Опубликовано Гость в Втр, 01/25/2011 - 01:24.

люди!
вы учили математику вообще когда-нибудь!?

#18Опубликовано Гость в Втр, 12/07/2010 - 20:03.

Отличная задача и очень красивое решение!

А я было начал восстанвливать поразрядно множетель при записи в столбец (в принципе програмно можно сделать без перебора):

1999
...889
________
17991
15992
15992
...
________
...111

#19Опубликовано Mikel в Чт, 07/22/2010 - 06:44.

Докажем деление 111.. на 2!
берем числа 11 и 111,
разница этих чисел - 100.
Начинаем убирать нули и что получаем?
ЕДИНИЦУ, причем по матиматике. :))

#20Опубликовано Max в Втр, 05/10/2011 - 13:32.

если поделить на 10 то число от этого не перестанет делится на 1999(у них нет общих делителей), а вот на 2 может и перестать(вот в чем Ваша ошибка)

#21Опубликовано юра в Пт, 01/28/2011 - 22:12.

111 не делится на 2, Mikel!

#22Опубликовано Гость в Пнд, 12/06/2010 - 14:27.

Видно не учили Вы алгебру. :) 2 и 10 не взаимнопростые числа!

#23Опубликовано Гость в Пнд, 01/03/2011 - 17:01.

Докажем деление 111.. на 3!
берем числа 11 и 1111,
разница этих чисел - 1100.
Начинаем убирать нули и что получаем?
ОДИННАДЦАТЬ, причем по матиматике. :))

#24Опубликовано Max в Втр, 05/10/2011 - 13:28.

11 и 1111 остатки будут 2 и 1 при делении на 3, с решением все в порядке.

#25Опубликовано Гость в Чт, 04/07/2011 - 00:19.

господи, ну вы и лох...
принцип деления на три: если сумма всех цифр в числе делится на три, то и это число делится на три 0о
1+1+1=3, 111\3=37...
45815988 делится на три...
4+5+8+1+5+9+8*2=48, 48 делится на три, 45915988\3=15271996
проверь 0о

#26Опубликовано Гость в Пт, 10/15/2010 - 15:16.

не оценяйте, да неоцененными будете

#27Опубликовано Vesper в Ср, 08/18/2010 - 13:26.

задача не имеет решения, если делитель чётный, или делится на 5, для того, чтобы без потери делимости можно было бы делить на 10. Можете взять вашу 2, на которую делимость доказываете, и поставить себе в дневник, а я на неё разделю 10 и заберу частное себе в дневник :)

#28Опубликовано Гость в Пт, 07/16/2010 - 01:03.

А причем тут Дирихле?

#29Опубликовано Гость в Сб, 01/28/2012 - 03:36.

При том, что мы можем перебрать 1999 чисел состоящих только из единиц, но так как при делении этого числа 111..111 на 1999 остаток может быть в интервале [1, 1998], то обязательно найдутся два числа с одинаковым остатком, все просто)

#30Опубликовано Гость в Пт, 07/16/2010 - 01:05.

А вообще-то поняла. :)
Ну да, все верно вроде.

#31Опубликовано Алекс в Пнд, 07/05/2010 - 22:50.

Автор дал правильное решение:
пусть А и В -числа состоящие из одних только едениц и имеющие одинаковые остатки от деления на 1999, такие числа по-любому найдуться ввиду конечности остатков,а следственно периодичности множества 1, 11, 111, 1111 и т.д. т.е. пусть в итоге перебирая все эти остатки, ими окажутся а и в.
тогда если а и в имеют одинаковые остатки, то их разница делиться на число 1999 - это по одному из свойств арифметики 5 класса.
причем можно заметить, что разница двух чисел вида 1111... и 11... дает число вида 111...000, где в начале тока единицы, а в конце нули, причем это число делиться на 1999, как уже утверждалось выше.
но если число Х0 (с нулем н конце) делиться на 1999, то число Х (БЕЗ 0) тоже делиться на 1999 ввиду взаимной простоты 10 и 1999, тогда убирая ноль за нулем, получим число состоявшее из одних едениц и делящееся на 1999
Учить математику надо было)))

#32Опубликовано anna в Чт, 12/16/2010 - 19:32.

Чего? )))))))))))

#33Опубликовано Гость в Ср, 06/30/2010 - 17:43.

Это не ответ, а бред сивой кобылы.

Эдак можно доказать, что число из одних единиц делиться на два ;)

#34Опубликовано Гость в Чт, 07/29/2010 - 21:53.

Да нельзя так доказать делимость на 2. Не можем мы безопасно убирать нули в этом случае.

#35Опубликовано Гость в Чт, 05/27/2010 - 12:14.

число то какое в итоге?

#36Опубликовано Гость в Пт, 08/20/2010 - 21:00.

Таких чисел бесконечно много, наименьшее из них состоит из 999 единиц (в этом можно убедиться простым перебором на компьютере, если уметь работать с большими числами).

#37Опубликовано Гость в Чт, 08/11/2011 - 13:52.

Вопрос.
Нашли ПЕРЕБОРОМ (от 1 до 111..111) 2 числа k и n, оба состоят из единиц (n>k).
n-k=m(причем m состоит в начале только из 1, конец только из 0)(m

#38Опубликовано Гость в Ср, 05/26/2010 - 17:18.

Умно то как все написано...

#39Опубликовано admin в Ср, 05/26/2010 - 19:49.

Ну так предложите свой, простой и наглядный способ 

#40Опубликовано Гостья в Втр, 06/08/2010 - 11:57.

Просто 1999 разделить на 1.

#41Опубликовано Гость в Вс, 07/04/2010 - 01:37.

надо наоборот как раз..

#42Опубликовано Гость в Ср, 03/23/2011 - 22:33.

ни че не понял:)