Задача про натуральные числа

На доске записано три натуральных числа. 
Выбираем 2 из трех чисел и записываем их произведение на отдельный листик. Оставшееся не выбранным число стираем на доске, а на его место пишем число уменьшенное на один от него.
И так все это повторяем, пока одно из чисел на доске не станет равным 0.
Суммируем все числа записанные на листке.
1. Доказать, что эта сумма не зависит от выбора чисел на каждом ходе.
2. Чему равна эта сумма?

Ответ: На доске записаны три натуральные числа. Назовем их a, b, c.

Представим себе параллелепипед с ребрами такого размера.

1. Произвольно выберем из чисел два. Их произведение запишем на бумагу.

2. "Отрежем" от нашего параллелепипеда с грани, соответствующей этим числам, "слой" толщиной 1.

Например, если выбраны числа a и b, то геометрические преобразования будут выглядеть так:

  Как видно из чертежа, это тоже параллелепипед. Заметим, что если дополнить нашу запись на бумаге следующим образом: a*b*1 то запись будет представлять ни что иное, как расчет объема отрезанной части.

3. Третье число на доске стираем, и записываем число на единицу меньшее.

4. Замечаем, что теперь на доске у нас записаны размеры оставшейся части параллелепипеда.

Повторяем шаги 1-4 до тех пор, пока одно из чисел не станет равным 0. В ходе этого мы будем "срезать" с граней параллелепипеда слои, пока весь не "изрежем"(одно из чисел =0).

В задаче надо подсчитать сумму записанных произведений. Т.е. надо подсчитать сумму объемов всех "обрезков".

Очевидно, что в не зависимости от того, в какой последовательности выбирались грани для "срезов", сумма объемов всех "обрезков" даст объем исходной фигуры, а именно a*b*c. Это же число будет получаться при суммировании записанных нами произведений.

Ваша оценка: Нет Средняя: 3.8 (20 оценки)


Комментарии

Ну ООООЧЧЧЕНЬ красивое решение

Очень красивая задача, которая заслуживает более высокого рейтинга.