Автор Тема: Задача на фундаментальное свойство  (Прочитано 489 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Это задача на фундаментальное свойство проецирования прямой на прямую.  Кто знает это свойство, тот быстро решит задачу  арифметически и назовет ответ и соотношение, из которого он получен. Кто не знаком с этим свойством, тот может решать своим путем , и в конце концов этот человек докажет  существование этого фундаментального отношения, и будет восприниматься как гигант мысли.

Вся задача на рисунке. Дано только то, что написано. Нужно найти длину отрезка х
« Последнее редактирование: 26 Апрель 2019, 16:50:47 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1491
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #1 : 26 Апрель 2019, 20:12:40 »
Саму задачу я пока не решил,понятное дело я узнал что 2-6, 4-18, 5-30....
Еще, на мой взгляд, интересная особенность, что пучок будет перемещаться по окружности.... Для данной последовательности с радиусом 12.
Вот с 3 какая то неразбериха получилась.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #2 : 26 Апрель 2019, 20:50:07 »
Саму задачу я пока не решил,понятное дело я узнал что 2-6, 4-18, 5-30....
Еще, на мой взгляд, интересная особенность, что пучок будет перемещаться по окружности.... Для данной последовательности с радиусом 12.
Вот с 3 какая то неразбериха получилась.
Race, вы какой-то побочный эффект выявили. 
Я длины  отрезков дал, чтобы ответ для этой конфигурации  круглый получился. Задание  же посвящено вот чему:
Тут штука в том, что  точки   A'B'C'D' связаны между собой тем же *соотношением*, что и точки   АВСD  между собой ( в задании А и А' совпадают, но это не важно) . И это *соотношение* не меняется , под каким бы углом вторая прямая не пересекла пучок , идущий от первой прямой , и не зависит от конфигурации пучка. То есть , и точка схода пучка, и наклон любой секущей на *соотношение* не влияют.
Можно раз  найти это *соотношение*  и применять дальше не задумываясь. Это как теорема Фалеса, только не для параллельных прямых, а для  сходящихся в пучке.
« Последнее редактирование: 26 Апрель 2019, 23:18:11 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1491
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #3 : 26 Апрель 2019, 23:34:34 »
hripunov,
я так и думал, составил пропорцию:
4/2 - 6+х/х => 2x=12 => x=6) значит в уме неверно пропорцию посчитал( спасибо, буду знать. Общая точка пучка опишет окружность) явная закономерность.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #4 : 27 Апрель 2019, 02:04:37 »
hripunov,
я так и думал, составил пропорцию:
4/2 - 6+х/х => 2x=12 => x=6) значит в уме неверно пропорцию посчитал( спасибо, буду знать. Общая точка пучка опишет окружность) явная закономерность.
Ответ для х верный, но про "описанную окружность" я ничего не понял.  И формулу закономерности я не увидел. Тут нужно вывести закономерность, которая работает,  если общую точку пучка поместить  абсолютно в любое место  плоскости.
А какой ответ у вас получится, если вместо отрезка длиной 4 будет отрезок длиной  5 ?

Например , если бы на второй схеме прямые АD и A'D' ,были параллельны, мы бы имели закономерности  AB/AC = A'B'/A'C'; AB/AD = A'B'/A'D', и т.д.   А в нашем случае мы какую закономерность имеем?  Что общего между соотношениями в верхней секущей и нижней секущей? 
.....
Вот у нас есть произвольный пучок из 4 прямых, пересекающихся в одной точке (см.рис). Его пересекают самым произвольным образом секущие.  Если мы знаем  длины трех отрезков в одной секущей, а в  другой знаем только две длины, мы  сможем очень просто определить третью недостающую длину  .
И вот эту закономерность нужно выявить.
« Последнее редактирование: 27 Апрель 2019, 02:28:27 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1491
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #5 : 27 Апрель 2019, 12:52:07 »
Окружность нарисовал.
1-2,57143
2-6
3-12,8
4-18
5-30
6-54

« Последнее редактирование: 27 Апрель 2019, 13:08:38 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1491
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #6 : 27 Апрель 2019, 13:10:03 »
Смотря на всю эту красоту, с трудом верится что древние греки, без вычислительной техники, пришли к таким замечательным выводам.....

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #7 : 27 Апрель 2019, 15:18:59 »
Race, Вам остается только сформулировать само соотношение.
Чуть-чуть переформулирую задачу:
Дан произвольный пучок прямых, который пересекают две произвольные прямые. Одна прямая пересекает пучок в точках A,B,C,D ; другая прямая пересекает пучок в точках A',B', C', D'.

Найти такое соотношение между отрезками с концами в точках  A,B,C,D , которое  cовпадает с соотношением аналогичных отрезков с концами в  точках  A',B', C', D'!
 (Благодаря знанию этого соотношения можно найти любой неизвестный отрезок.)
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1491
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #8 : 27 Апрель 2019, 19:34:08 »
Что интересно, расстояния от узла пучка до первой прямой к расстоянию от первой до второй прямой константа.

SnAn/AnBn=const

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1491
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #9 : 27 Апрель 2019, 23:21:29 »
(4+x)/x=24/12 =>x=4
Так?:)

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #10 : 28 Апрель 2019, 01:35:54 »
(4+x)/x=24/12 =>x=4
Так?:)

Нет, имелось ввиду т.н "сложное  отношение четырех точек".   

   (AС/ВС) : (AD/DB)  = (A'С'/В'С') : (A'D'/D'B')

Его можно попробовать доказать методом школьной геометрии, и задача будет завершена.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #11 : 15 Июль 2019, 18:32:22 »
Вывод формулы

Пусть Oxy - система координат, l - прямая проходящая через O под углом φ к оси Ox,  S - точка с координатами (p ; q).
 Через точку S проведём прямые пересекающие l в точках M, A, B, C  и Oy в точках M', A', B', C'. Пусть OM=m, OA=a1, OB=b1, OC=c1, cos(φ)=u, sin(φ)=v.
Координаты точек: M=(mu ; mv), A=(a1u ; a1v), B=(b1u ; b1v), C=(c1u ; c1v).
Уравнение прямой проходящей через S и M:
(y-q)/(x-p)=(y-mv)/(x-mu) или y=[x(q-mv)+m(pv-qu)]/(p-mu).
OM'=m(pv-qu)/(p-mu)=µ.
Аналогично
OA'=α1=a1(pv-qu)/(p-a1u),
OB'=β1=b1(pv-qu)/(p-b1u),
OC'=γ1=c1(pv-qu)/(p-c1u).
Расстояния от M до A,B,C и от M' до A',B',C':
a=a1-m, b=b1-m, c=c1-m,
α=α1-μ, β=β1-μ, γ=γ1-μ.
α = α1- μ =a1(pv-qu)/(p-a1u)-m(pv-qu)/(p-mu)=p(pv-qu)(a1-m)/[(p-a1u)(p-mu)]=[p(pv-qu)/(p-mu)]*a/(p-a1u)=k*a/(p-a1u),
k=p(pv-qu)/(p-mu).
Аналогично
β =k*b/(p-b1u),
γ =k*c/(p-c1u).

Докажем равенство
 a α (b γ -c β)+b β (c α -a γ)+c γ (a β -b α)=0.

Общий множитель k отбрасываем.
a α (b γ -c β)=abc/[(p-a1u)(p-b1u)(p-c1u)]*a[(p-b1u)-(p-c1u)]=abcu/[(p-a1u)(p-b1u)(p-c1u)]*a(c1-b1)=k'*a((c+m)-(b+m))=k'*a(c-b),
k'=abcu/[(p-a1u)(p-b1u)(p-c1u)] - ещё один общий множитель.
Аналогично
b β (c α -a γ)=k'*b(a-c),
c γ (a β -b α)=k'*c(b-a).
a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=0, формула α (b γ -c β)+b β (c α -a γ)+c γ (a β -b α)=0 доказана.

Пусть f=MA=a, g=AB=b-a, h=BC=c-b, F=M'A'= α, G=A'B'= β - α, H=B'C'= γ - β.
a=f, b=f+g, c=f+g+h,
α =F, β =F+G, γ =F+G+H.

Получаем формулу
fF[(f+g)(F+G+H)-(f+g+h)(F+G)]+
(f+g)(F+G)[(f+g+h)F-f(F+G+H)]+
(f+g+h)(F+G+H)[f(F+G)-(f+g)F]=0.

После всех сокращений получаем
fhFG+fhG2+fhGH-fgFH-g2FH-ghFH=0
или
 fGh(F+G+H)=FgH(f+g+h)
 или
fh/[g(f+g+h)]=FH/[G(F+G+H)].
Прибавим к обеим частям 1, получим формулу в таком виде:
(f+g)(g+h)/[g(f+g+h)]=(F+G)(G+H)/[G(F+G+H)].

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача на фундаментальное свойство
« Ответ #12 : 16 Июль 2019, 13:18:47 »
Вывод формулы

Пусть Oxy - система координат, l - прямая проходящая через O под углом φ к оси Ox,  S - точка с координатами (p ; q).
 Через точку S проведём прямые пересекающие l в точках M, A, B, C  и Oy в точках M', A', B', C'. Пусть OM=m, OA=a1, OB=b1, OC=c1, cos(φ)=u, sin(φ)=v.
Координаты точек: M=(mu ; mv), A=(a1u ; a1v), B=(b1u ; b1v), C=(c1u ; c1v).
Уравнение прямой проходящей через S и M:
(y-q)/(x-p)=(y-mv)/(x-mu) или y=[x(q-mv)+m(pv-qu)]/(p-mu).
OM'=m(pv-qu)/(p-mu)=µ.
Аналогично
OA'=α1=a1(pv-qu)/(p-a1u),
OB'=β1=b1(pv-qu)/(p-b1u),
OC'=γ1=c1(pv-qu)/(p-c1u).
Расстояния от M до A,B,C и от M' до A',B',C':
a=a1-m, b=b1-m, c=c1-m,
α=α1-μ, β=β1-μ, γ=γ1-μ.
α = α1- μ =a1(pv-qu)/(p-a1u)-m(pv-qu)/(p-mu)=p(pv-qu)(a1-m)/[(p-a1u)(p-mu)]=[p(pv-qu)/(p-mu)]*a/(p-a1u)=k*a/(p-a1u),
k=p(pv-qu)/(p-mu).
Аналогично
β =k*b/(p-b1u),
γ =k*c/(p-c1u).

Докажем равенство
 a α (b γ -c β)+b β (c α -a γ)+c γ (a β -b α)=0.

Общий множитель k отбрасываем.
a α (b γ -c β)=abc/[(p-a1u)(p-b1u)(p-c1u)]*a[(p-b1u)-(p-c1u)]=abcu/[(p-a1u)(p-b1u)(p-c1u)]*a(c1-b1)=k'*a((c+m)-(b+m))=k'*a(c-b),
k'=abcu/[(p-a1u)(p-b1u)(p-c1u)] - ещё один общий множитель.
Аналогично
b β (c α -a γ)=k'*b(a-c),
c γ (a β -b α)=k'*c(b-a).
a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=0, формула α (b γ -c β)+b β (c α -a γ)+c γ (a β -b α)=0 доказана.

Пусть f=MA=a, g=AB=b-a, h=BC=c-b, F=M'A'= α, G=A'B'= β - α, H=B'C'= γ - β.
a=f, b=f+g, c=f+g+h,
α =F, β =F+G, γ =F+G+H.

Получаем формулу
fF[(f+g)(F+G+H)-(f+g+h)(F+G)]+
(f+g)(F+G)[(f+g+h)F-f(F+G+H)]+
(f+g+h)(F+G+H)[f(F+G)-(f+g)F]=0.

После всех сокращений получаем
fhFG+fhG2+fhGH-fgFH-g2FH-ghFH=0
или
 fGh(F+G+H)=FgH(f+g+h)
 или
fh/[g(f+g+h)]=FH/[G(F+G+H)].
Прибавим к обеим частям 1, получим формулу в таком виде:
(f+g)(g+h)/[g(f+g+h)]=(F+G)(G+H)/[G(F+G+H)].
:thumbs up:
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...