Автор Тема: Квадрат на троих  (Прочитано 869 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1474
    • Просмотр профиля
Re: Квадрат на троих
« Ответ #15 : 27 Февраль 2019, 13:16:42 »
Ну и как полагается алаверды.
Так как я еще совсем зеленый, то выложу в Вашей задаче. Тем более оперировать будем квадратом.

На плоскости задан квадрат ABCD. При помощи одного только циркуля определить:
1. Точку Е, такую что |АЕ|=2|АВ|:
2. F => |EF|=3|AB|;
3. G => |EG|=2sqrt(2)|AB| причем EG принадлежит одна из вершин квадрата.

Для начала хватит, это самые азы, так же предлагаю определить какие отрезки, мы можем получить при помощи одного циркуля.

Я потом обязательно порешаю эту задачу, сейчас немного некогда. Но, сразу могу сказать, что одним только циркулем можно разделить отрезок (просто отрезок, а не сторону квадрата) пополам, ну и, соответственно, на 4, 8 и т.д. и соответствующие дроби. Я предлагал тут раньше задачи из разряда "Одним только циркулем", в которой просил разделить отрезок пополам. Даже не отрезок, а просто две точки, и поставить между ними третью точку посередине. Мой рекорд тогда был в 6 кругов, а Вы не стали её тогда решать.
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1474
    • Просмотр профиля
Re: Квадрат на троих
« Ответ #16 : 27 Февраль 2019, 15:23:30 »
Вернемся к Вашей задаче. ПГшный способ разбиение отрезка на 3 части. Сам способ руки вспомнили, почему работает не помню. Разве что hripunov подскажет. 10 чирков. Без подобия треуглов.
https://ibb.co/dmN3p12
Как и любой метод ПГ, он общий, то бишь для него нужен только исходный отрезок и параллель:
https://ibb.co/MPg9YST
Соответственно задачу по разбиению отрезка на 3 равные части возможно упростить, убрав прямые проходящие через стороны квадрата, как не нужные, тем самым немного сэкономив чирки:
https://ibb.co/5jBQsy9

Вернемся к Вашей задаче. ПГшный способ разбиение отрезка на 3 части. Сам способ руки вспомнили, почему работает не помню. Разве что hripunov подскажет. 10 чирков. Без подобия треуглов.
https://ibb.co/dmN3p12


Да, мы отсечение трети отрезка при наличии параллели уже проходили:
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg76153.html#msg76153
Она отсекается за 7 линий. А вторая треть за ещё 2 линии. Всего 9 линий (а не 10, как Вы сказали).

А обосновать это можно так (хрипунов это раньше делал по просьбе снн, поэтому то, что я щас скажу, скорее всего, аналогично его обоснованию).

Докажем для случая прямоугольника, а потом обобщим для случая трапеции.

https://ibb.co/qWgJx2W
На рисунке середина стороны Mid уже построена.
Проведём диагональ BD и линию AMid.

Треуглы ABE и MidDE подобные.
Поэтому, раз |АВ| = 2*|MidD|, то и |BE| = 2*|ED|.

Проведём линию, параллельную боковым сторонам прямоугла и проходящую через точку Е.
Тогда треуглы ABD и GBE тоже подобные.
И, раз |BE| = 2*|ED|, то и |BG| = 2*|GA|.

Также |BG| + |GA| = |AB|.
Это значит, что 2*|GA| + |GA| = 3*|GA| = |AB|.    Т.е. |GA| = |AB|/3.

Т.О. получается, что для случая прямоугла, линия (здесь это линия GF), параллельная боковым сторонам прямоугла, и проходящая через пересечение диагонали прямоугла  (здесь диагональ - это линия BD) и линии, идущей из вершины прямоугла и проходящей через середину стороны (здесь это линия AMid), отсекает одну треть в точке G.

В общем случае ПГ наши вертикальные параллели АD, ВС и GE сходятся в точку Х. А на горизонтальных параллелях АВ и DC всё остаётся без изменений, т.е. линия ХЕ делит отрезок АВ точкой G на отрезки AG и GB в пропорции 1:2.

« Последнее редактирование: 27 Февраль 2019, 15:30:40 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1510
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадрат на троих
« Ответ #17 : 27 Февраль 2019, 15:53:25 »
Продолжаю терроризировать вашу задачу)
Получается 16 чирков. Все настолько очевидно что и рисунок не нужен.
1. Строим диагонали. Определяем центр. 2ч.
2. При помощи трапеции определяем середину любой стороны. 5ч.
3. Строим серединный перп. 1ч.
4. Как в предложенном мною методе соединяем вершины квадрата и середины сторон. Получаем 4 точки пересечения с диагоналями.
5. Проводим через эти точки прямые параллельные сторонам - задача выполнена.

Кстати, разобравшись увидел у Вас аналогичное, изначально не понятое мною построение.

Онлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5499
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадрат на троих
« Ответ #18 : 27 Февраль 2019, 16:43:16 »
... Я предлагал тут раньше задачи из разряда "Одним только циркулем", в которой просил разделить отрезок пополам. Даже не отрезок, а просто две точки, и поставить между ними третью точку посередине. Мой рекорд тогда был в 6 кругов, а Вы не стали её тогда решать....
Вроде решали тут такую
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1510
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадрат на троих
« Ответ #19 : 27 Февраль 2019, 16:44:52 »
Вернемся к Вашей задаче. ПГшный способ разбиение отрезка на 3 части. Сам способ руки вспомнили, почему работает не помню. Разве что hripunov подскажет. 10 чирков. Без подобия треуглов.
https://ibb.co/dmN3p12
Как и любой метод ПГ, он общий, то бишь для него нужен только исходный отрезок и параллель:
https://ibb.co/MPg9YST
Соответственно задачу по разбиению отрезка на 3 равные части возможно упростить, убрав прямые проходящие через стороны квадрата, как не нужные, тем самым немного сэкономив чирки:
https://ibb.co/5jBQsy9


Вернемся к Вашей задаче. ПГшный способ разбиение отрезка на 3 части. Сам способ руки вспомнили, почему работает не помню. Разве что hripunov подскажет. 10 чирков. Без подобия треуглов.
https://ibb.co/dmN3p12


Да, мы отсечение трети отрезка при наличии параллели уже проходили:
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg76153.html#msg76153
Она отсекается за 7 линий. А вторая треть за ещё 2 линии. Всего 9 линий (а не 10, как Вы сказали).

А обосновать это можно так (хрипунов это раньше делал по просьбе снн, поэтому то, что я щас скажу, скорее всего, аналогично его обоснованию).

Докажем для случая прямоугольника, а потом обобщим для случая трапеции.

https://ibb.co/qWgJx2W
На рисунке середина стороны Mid уже построена.
Проведём диагональ BD и линию AMid.

Треуглы ABE и MidDE подобные.
Поэтому, раз |АВ| = 2*|MidD|, то и |BE| = 2*|ED|.

Проведём линию, параллельную боковым сторонам прямоугла и проходящую через точку Е.
Тогда треуглы ABD и GBE тоже подобные.
И, раз |BE| = 2*|ED|, то и |BG| = 2*|GA|.

Также |BG| + |GA| = |AB|.
Это значит, что 2*|GA| + |GA| = 3*|GA| = |AB|.    Т.е. |GA| = |AB|/3.

Т.О. получается, что для случая прямоугла, линия (здесь это линия GF), параллельная боковым сторонам прямоугла, и проходящая через пересечение диагонали прямоугла  (здесь диагональ - это линия BD) и линии, идущей из вершины прямоугла и проходящей через середину стороны (здесь это линия AMid), отсекает одну треть в точке G.

В общем случае ПГ наши вертикальные параллели АD, ВС и GE сходятся в точку Х. А на горизонтальных параллелях АВ и DC всё остаётся без изменений, т.е. линия ХЕ делит отрезок АВ точкой G на отрезки AG и GB в пропорции 1:2.
Спасибо! Более того точка Е отсечет от отрезка АМ, отрезок ЕМ такой что |AM|=3|EM| и |DB|=3|DE|

Это элементарно доказывается через подобие треугольников:
/_ABD=/_BDC; /_DEM=/_AEB => DEM ~ AEB; AB/DM=2=>AE/EM=EB/ED=2.
/_AEG=/_FEM => AEG ~ EFM =>AG/FM=2 => GB/DF=2 =>AG+GB=AG+2AG=3AG=AB=>AB=3AG.

как обычно, сначала доказал сам, а потом прочитал Ваше, аналогичное доказательство)
« Последнее редактирование: 27 Февраль 2019, 17:23:30 от Race »

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1474
    • Просмотр профиля
Re: Квадрат на троих
« Ответ #20 : 27 Февраль 2019, 17:39:13 »
Вернемся к Вашей задаче. ПГшный способ разбиение отрезка на 3 части. Сам способ руки вспомнили, почему работает не помню. Разве что hripunov подскажет. 10 чирков. Без подобия треуглов.
https://ibb.co/dmN3p12
Как и любой метод ПГ, он общий, то бишь для него нужен только исходный отрезок и параллель:
https://ibb.co/MPg9YST
Соответственно задачу по разбиению отрезка на 3 равные части возможно упростить, убрав прямые проходящие через стороны квадрата, как не нужные, тем самым немного сэкономив чирки:
https://ibb.co/5jBQsy9


Вернемся к Вашей задаче. ПГшный способ разбиение отрезка на 3 части. Сам способ руки вспомнили, почему работает не помню. Разве что hripunov подскажет. 10 чирков. Без подобия треуглов.
https://ibb.co/dmN3p12


Да, мы отсечение трети отрезка при наличии параллели уже проходили:
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg76153.html#msg76153
Она отсекается за 7 линий. А вторая треть за ещё 2 линии. Всего 9 линий (а не 10, как Вы сказали).

А обосновать это можно так (хрипунов это раньше делал по просьбе снн, поэтому то, что я щас скажу, скорее всего, аналогично его обоснованию).

Докажем для случая прямоугольника, а потом обобщим для случая трапеции.

https://ibb.co/qWgJx2W
На рисунке середина стороны Mid уже построена.
Проведём диагональ BD и линию AMid.

Треуглы ABE и MidDE подобные.
Поэтому, раз |АВ| = 2*|MidD|, то и |BE| = 2*|ED|.

Проведём линию, параллельную боковым сторонам прямоугла и проходящую через точку Е.
Тогда треуглы ABD и GBE тоже подобные.
И, раз |BE| = 2*|ED|, то и |BG| = 2*|GA|.

Также |BG| + |GA| = |AB|.
Это значит, что 2*|GA| + |GA| = 3*|GA| = |AB|.    Т.е. |GA| = |AB|/3.

Т.О. получается, что для случая прямоугла, линия (здесь это линия GF), параллельная боковым сторонам прямоугла, и проходящая через пересечение диагонали прямоугла  (здесь диагональ - это линия BD) и линии, идущей из вершины прямоугла и проходящей через середину стороны (здесь это линия AMid), отсекает одну треть в точке G.

В общем случае ПГ наши вертикальные параллели АD, ВС и GE сходятся в точку Х. А на горизонтальных параллелях АВ и DC всё остаётся без изменений, т.е. линия ХЕ делит отрезок АВ точкой G на отрезки AG и GB в пропорции 1:2.
Спасибо! Более того точка Е отсечет от отрезка АМ, отрезок ЕМ такой что |AM|=3|EM| и |DB|=3|DE|

Это элементарно доказывается через подобие треугольников:
/_ABD=/_BDC; /_DEM=/_AEB => DEM ~ AEB; AB/DM=2=>AE/EM=EB/ED=2.
/_AEG=/_FEM => AEG ~ EFM =>AG/FM=2 => GB/DF=2 =>AG+GB=AG+2AG=3AG=AB=>AB=3AG.

как обычно, сначала доказал сам, а потом прочитал Ваше, аналогичное доказательство)

"как обычно, сначала доказал сам, а потом прочитал Ваше, аналогичное доказательство)" - Мысель прёт неудержно, не даёт читать! Я тоже инструкции по использованию никогда не читаю - это скучно, а самому ломать - это ж намного интереснее! ))

=========================================================
=========================================================


... Я предлагал тут раньше задачи из разряда "Одним только циркулем", в которой просил разделить отрезок пополам. Даже не отрезок, а просто две точки, и поставить между ними третью точку посередине. Мой рекорд тогда был в 6 кругов, а Вы не стали её тогда решать....
Вроде решали тут такую

"Вроде решали тут такую" - Разве решали? Я помню, когда я предложил эту задачу, Вы (хрипунов) сказали, что за 7 или 8 нарисовали середину междуточия, а за 6 типа не получилось. Но, эниуэй, сей Ваш рисунок совпадает с моим 6-чирковым. Вряд ли за 6 чирков можно как-то ещё нарисовать.

« Последнее редактирование: 27 Февраль 2019, 17:43:18 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1474
    • Просмотр профиля
Re: Квадрат на троих
« Ответ #21 : 28 Февраль 2019, 12:11:09 »
Ну и как полагается алаверды.
Так как я еще совсем зеленый, то выложу в Вашей задаче. Тем более оперировать будем квадратом.

На плоскости задан квадрат ABCD. При помощи одного только циркуля определить:
1. Точку Е, такую что |АЕ|=2|АВ|:
2. F => |EF|=3|AB|;
3. G => |EG|=2sqrt(2)|AB| причем EG принадлежит одна из вершин квадрата.

Для начала хватит, это самые азы, так же предлагаю определить какие отрезки, мы можем получить при помощи одного циркуля.

https://ibb.co/WkdP7GC

На всё требуется всего 5 кружков. Для нахождения точек E и F квадрат не нужен - достаточно только отрезка АВ. Для √2 уже нужен квадрат ради его диагонали.

Точку G можно построить и с помощью других пар кругов. Я использовал лиловые круги наименьшего диаметража, для компактности. Есть подходящие круги и большего диаметража.

"определить какие отрезки, мы можем получить при помощи одного циркуля." - Много какие. Если удваивать, утраивать и т.д. стороны квадрата, то получатся прямоуглы с диагоналями типа √(n2 + m2). Ну и соответствующие отрезки. И не забываем, что мы ещё делить отрезок пополам умеем в 6 кружков, так что комбинаций бесконечно много. В частности 1/√2. Или это не имелось ввиду, что при наличии квадрата?
« Последнее редактирование: 28 Февраль 2019, 12:23:35 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1510
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадрат на троих
« Ответ #22 : 28 Февраль 2019, 13:09:54 »
Ну и как полагается алаверды.
Так как я еще совсем зеленый, то выложу в Вашей задаче. Тем более оперировать будем квадратом.

На плоскости задан квадрат ABCD. При помощи одного только циркуля определить:
1. Точку Е, такую что |АЕ|=2|АВ|:
2. F => |EF|=3|AB|;
3. G => |EG|=2sqrt(2)|AB| причем EG принадлежит одна из вершин квадрата.

Для начала хватит, это самые азы, так же предлагаю определить какие отрезки, мы можем получить при помощи одного циркуля.

https://ibb.co/WkdP7GC

На всё требуется всего 5 кружков. Для нахождения точек E и F квадрат не нужен - достаточно только отрезка АВ. Для √2 уже нужен квадрат ради его диагонали.

Точку G можно построить и с помощью других пар кругов. Я использовал лиловые круги наименьшего диаметража, для компактности. Есть подходящие круги и большего диаметража.

"определить какие отрезки, мы можем получить при помощи одного циркуля." - Много какие. Если удваивать, утраивать и т.д. стороны квадрата, то получатся прямоуглы с диагоналями типа √(n2 + m2). Ну и соответствующие отрезки. И не забываем, что мы ещё делить отрезок пополам умеем в 6 кружков, так что комбинаций бесконечно много. В частности 1/√2. Или это не имелось ввиду, что при наличии квадрата?

Спасибо, освежили у меня в памяти)
Подастерял я свой уровень в геометрии, буду стараться наверстать.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1510
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадрат на троих
« Ответ #23 : 28 Февраль 2019, 13:43:17 »
Получил интересную закономерность. Оказывается при помощи параллельной прямой можно побить отрезок на 2, 3 и так до n при n Є N частей.
Получил пока экспериментально) Без доказательной базы. Но сам факт безусловно интересный. На лицо определенная закономерность..... Ощущение что стоишь на пороге чего то важного) Вот что отсутствие должного образование с людьми делает)))

Посему возникла задача:

На плоскости задан единичный отрезок и параллельная ему прямая. Используя одну безразмерную линейку и карандаш построить отрезок равный 1/5 и 1/7. 1/2 и 1/3 мы уже умеем строить. Если обнаружите закономерность, то возможно построить отрезок 1/n при n Є N.
« Последнее редактирование: 28 Февраль 2019, 13:50:17 от Race »

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1474
    • Просмотр профиля
Re: Квадрат на троих
« Ответ #24 : 28 Февраль 2019, 14:07:02 »
Получил интересную закономерность. Оказывается при помощи параллельной прямой можно побить отрезок на 2, 3 и так до n при n Є N частей.
Получил пока экспериментально) Без доказательной базы. Но сам факт безусловно интересный. На лицо определенная закономерность..... Ощущение что стоишь на пороге чего то важного) Вот что отсутствие должного образование с людьми делает)))

Посему возникла задача:

На плоскости задан единичный отрезок и параллельная ему прямая. Используя одну безразмерную линейку и карандаш построить отрезок равный 1/5 и 1/7. 1/2 и 1/3 мы уже умеем строить. Если обнаружите закономерность, то возможно построить отрезок 1/n при n Є N.

Да, там до неприличия простая закономерность. Если отрезок уже поделён на N, то его легко поделить и на N+1.
https://ibb.co/CQpYJwQ
И доказывается аналогично, как мы вчера доказывали деление на 3. И методом индукции распространяем на произвольное N.

А если поиграться с расположением точек, в которые мы проводим отрезки, то ещё комбинации деления возникают.
https://ibb.co/KVdwPfQ
Здесь мы от точки Q отступили на 1 сегмент, а от точки R - на 2 сегмента. И отрезок MN у нас разделился, соответственно, на два отрезка (WN и WM) в такой же пропорции, т.е. 1:2. Т.е. мы отрезок, уже предварительно разделённый на 6, поделили ещё на 3 и на 3/2. Т.е. в итоге на 18 и на 9.

А здесь на 24 и на 8.
https://ibb.co/kcbQwvH
« Последнее редактирование: 28 Февраль 2019, 14:39:54 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1510
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадрат на троих
« Ответ #25 : 28 Февраль 2019, 14:39:33 »
Получил интересную закономерность. Оказывается при помощи параллельной прямой можно побить отрезок на 2, 3 и так до n при n Є N частей.
Получил пока экспериментально) Без доказательной базы. Но сам факт безусловно интересный. На лицо определенная закономерность..... Ощущение что стоишь на пороге чего то важного) Вот что отсутствие должного образование с людьми делает)))

Посему возникла задача:

На плоскости задан единичный отрезок и параллельная ему прямая. Используя одну безразмерную линейку и карандаш построить отрезок равный 1/5 и 1/7. 1/2 и 1/3 мы уже умеем строить. Если обнаружите закономерность, то возможно построить отрезок 1/n при n Є N.

Да, там до неприличия простая закономерность. Если отрезок уже поделён на N, то его легко поделить и на N+1.
https://ibb.co/CQpYJwQ
И доказывается аналогично, как мы вчера доказывали деление на 3. И методом индукции распространяем на произвольное N.

А если поиграться с расположением точек, в которые мы проводим отрезки, то ещё комбинации деления возникают.
https://ibb.co/KVdwPfQ
Здесь мы от точки Q отступили на 1 сегмент, а от точки R - на 2 сегмента. И отрезок MN у нас разделился, соответственно, на два отрезка (WN и WM) в такой же пропорции, т.е. 1:2. Т.е. мы отрезок, уже предварительно разделённый на 6, поделили ещё на 3 и на 3/2. Т.е. в итоге на 18 и на 9.
Подзреваю что мы набрели на первобытный способ деления) в принципе его можно экстраполировать и на умножение.
Что интересно, если использовать другие диагонали, то все равно получаем целые числа вида n/m как Вы и продемонстрировали.
Интересно так же, что я, неоднократный посетитель математических школьных олимпиад не знал такой закономерности....
С другой стороны, не имея под рукой инженерного приложения я бы его ни в жисть не определил.
Закинул на форум Ларина задачу. Пусть классически докажут, а не частный случай, как мы с Вами.
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=24&t=16470

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1474
    • Просмотр профиля
Re: Квадрат на троих
« Ответ #26 : 28 Февраль 2019, 14:56:13 »
Получил интересную закономерность. Оказывается при помощи параллельной прямой можно побить отрезок на 2, 3 и так до n при n Є N частей.
Получил пока экспериментально) Без доказательной базы. Но сам факт безусловно интересный. На лицо определенная закономерность..... Ощущение что стоишь на пороге чего то важного) Вот что отсутствие должного образование с людьми делает)))

Посему возникла задача:

На плоскости задан единичный отрезок и параллельная ему прямая. Используя одну безразмерную линейку и карандаш построить отрезок равный 1/5 и 1/7. 1/2 и 1/3 мы уже умеем строить. Если обнаружите закономерность, то возможно построить отрезок 1/n при n Є N.

Да, там до неприличия простая закономерность. Если отрезок уже поделён на N, то его легко поделить и на N+1.
https://ibb.co/CQpYJwQ
И доказывается аналогично, как мы вчера доказывали деление на 3. И методом индукции распространяем на произвольное N.

А если поиграться с расположением точек, в которые мы проводим отрезки, то ещё комбинации деления возникают.
https://ibb.co/KVdwPfQ
Здесь мы от точки Q отступили на 1 сегмент, а от точки R - на 2 сегмента. И отрезок MN у нас разделился, соответственно, на два отрезка (WN и WM) в такой же пропорции, т.е. 1:2. Т.е. мы отрезок, уже предварительно разделённый на 6, поделили ещё на 3 и на 3/2. Т.е. в итоге на 18 и на 9.

А здесь на 24 и на 8.
https://ibb.co/kcbQwvH

А вот ещё, уже дроби пошли - деление на 21 и на 42/5. Тут у отрезка, предварительно поделённого на 6, слева отступил на 1 сегмент, а справа - на 4 сегмента
https://ibb.co/12RSSDk
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.