Автор Тема: Эллипс  (Прочитано 2133 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Эллипс
« : 29 Август 2018, 20:31:49 »
При каком максимальном угле φ эллипс ещё не будет катиться вниз? Скольжения нет.

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #1 : 29 Август 2018, 22:10:50 »
От эксцентриситета это зависит?

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #2 : 29 Август 2018, 22:30:31 »
Я не помню что такое эксцентриситет, но думаю что он как-то выражается через а и b.

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #3 : 30 Август 2018, 10:28:05 »
Эксцентриситет - это, кажется, (a-b)/a. Например, земная орбита 1/60, то есть 59*60. Такой эллипс трудно отличить от круга.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5268
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Эллипс
« Ответ #4 : 30 Август 2018, 15:25:33 »
  Ф =
π/2 - 2 arctg(b/a)

Доказательство не претендует на строгость:

Впишем и опишем вокруг эллипса ромбы, у которых оси эллипса являются диагоналями. Представим , что это  - деформированная схема , изначально представлявшая собой круглый  диск, стоящий ребром на плоскости. Чуть наклони плоскость - и диск покатится. Потом мы деформировали  систему как показано на рисунке. Положение центра массы осталось на одной вертикали с точкой касания плоскости , поэтому при отсутствии скольжения система в равновесии. По-прежнему, стоит чуть наклонить плоскость  - и фигура начнет катиться. То есть нарисованная  схема - единственно  возможный  наклон плоскости  для  эллипса данной формы , когда он находится в крайнем положении равновесия.
Поэтому при заданных а и б можно  найти этот критический угол Ф , используя ромб .
« Последнее редактирование: 30 Август 2018, 19:03:22 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #5 : 30 Август 2018, 15:35:55 »
А где знак умножения? Электронная алгебра, в отличие от бумажной, требует точности, а не экономности.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #6 : 30 Август 2018, 19:54:32 »
 :beer:

Ответ правильный. У меня он был в другом виде: ф=arccos[2ab/(a2+b2)], но это одно и то же. Решал я может быть более строго, но и сложнее. Я исходил из того что эллипс физически можно рассматривать как круг, центр масс M которого находится в центре эллипса, а геометрический центр O - в центре кривизны эллипса для точки P касания c плоскостью. В критическом случае, когда устойчивое равновесие уже будет невозможно, отрезки MO и MP должны быть перпендикулярны.
ф=MPO .
Рисунок выложу позже.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #7 : 31 Август 2018, 09:17:47 »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5268
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Эллипс
« Ответ #8 : 31 Август 2018, 17:14:07 »
:beer:

Ответ правильный. У меня он был в другом виде: ф=arccos[2ab/(a2+b2)], но это одно и то же. Решал я может быть более строго, но и сложнее. Я исходил из того что эллипс физически можно рассматривать как круг, центр масс M которого находится в центре эллипса, а геометрический центр O - в центре кривизны эллипса для точки P касания c плоскостью. В критическом случае, когда устойчивое равновесие уже будет невозможно, отрезки MO и MP должны быть перпендикулярны.
ф=MPO .
Рисунок выложу позже.
Идея решения понятна; интересно еще и развернутое решение. Для меня определение радиуса кривизны в заданной точке - темный лес.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #9 : 31 Август 2018, 21:47:43 »
Векторы будут обозначаться в фигурных скобках "{x ; y}".

Пусть кривая задана уравнением r(t). Для эллипса это r(t)={a*cos(t) ; b*sin(t)}. Первая производная v(t)=r'(t)={-a*sin(t) ; b*cos(t)}, вторая производная  w(t)=v'(t)={-a*cos(t) ; -b*sin(t)}=-r(t). v - касательный вектор, τ(t)=v/v - касательный вектор длины 1. k - вектор кривизны = dτ/ds, ds=v*dt, R - вектор проведенный от точки кривой к центру кривизны для этой точки. R=(1/k)*ek=k/k2.

Ищем t при котором  r и r+R перпендикулярны.

Можно проще, из физических соображений - при движении по кривой нормальная составляющая ускорения wn=v2/R.

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #10 : 31 Август 2018, 22:50:16 »
Повторяю: надо было не вложение делать, а перепечатать его - тут вся псевдографика в наличии.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #11 : 31 Август 2018, 23:10:00 »
Только сейчас заметил - чтобы получить ответ не нужно искать зависимость R от t. При любом t (rR)=-v2. Сразу получаем r2-v2=0.

Вру. Этого достаточно только для нахождения t: sin(t)=cos(t)=1/sqrt(2) и точки P. Но R тогда считать не обязательно, есть вектор v который ему перпендикулярен. И остаётся только посчитать угол между векторами {a;b} и {b;a}.
« Последнее редактирование: 31 Август 2018, 23:56:03 от c2h5oh »

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #12 : 01 Сентябрь 2018, 13:26:12 »
Только не r2, а r^2. Электронная алгебра менее экономная, но пунктуальнее бумажной.

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 556
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Эллипс
« Ответ #13 : 05 Сентябрь 2018, 00:21:25 »
По просьбе  Tugrika

Предлагаю ещё один вариант решения. Всё строго, обоснованно и доказано. Ну, по крайней мере, мне так кажется.
     Метод через экстремум функции (нуль первой производной). Решение тупо в лоб и без эврики. Идея решения простая, а само решение несколько громоздкое, ибо надо два раза брать производную сложной функции. Но, если кому это сложно, есть сайты, вычисляющие n-ые производные сложных функций общего вида. Например,
https://math.semestr.ru/math/diff.php
www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one

============

Сначала пара физических фактов. Задача, всё-таки, типа физическая.

1) Пусть Т – точка касания эллипса с рампой (наклонной плоскостью), а угол α – угол между отрезком [Т”Center of mass”] и большой полуосью эллипса а

(см. рисунок  https://ibb.co/nx9fAK  ).

В случае равновесия точка Т будет расположена точно под центром масс эллипса, ибо сила тяжести mg должна в положении равновесия иметь нулевой момент (рычаг) относительно точки касания, а иначе эллипс покатится. Иными словами, в равновесии отрезок [Т”Center of mass”] всегда вертикальный, т.е. перпендикулярен основанию рампы.

2) Силы трения и реакции опоры уравновешивают друг друга по своим горизонтальным составляющим. При этом сила реакции опоры всегда нормальна к рампе, поэтому оба угла φ (угол рампы и угол между векторами mg и реакции опоры) равны.

Сама же рампа будет касательной к эллипсу – иначе и быть не может.

Теперь рассмотрим условие равновесия (как устойчивого, так и неустойчивого). Оно возможно только тогда, когда мы можем расположить эллипс так, чтобы его центр масс находился строго над точкой касания. Это возможно не при любых углах рампы, а только до определённого значения. Выше этого значения даже неустойчивого положения равновесия нету.
Таким образом, для нахождения максимального угла рампы, нам нужно найти максимальный угол между векторами силы тяжести и силы реакции опоры, т.е. угол CTМ. (см. рис.

https://ibb.co/f6OZqK )

Уж извините, рисунок вверх ногами, но так мне почему-то удобнее было делать математическую часть.


Ещё раз другими словами: Нас интересует угол СТМ, т.е. угол, вершина Т (точка касания) которого лежит на самом эллипсе, а один из его лучей (луч ТС) проходит через центр масс эллипса С, и  второй луч – это перпендикуляр к рампе, т.е. луч ТМ.


Теперь абстрагируемся от физики и займёмся чисто математикой.

При движении точки Т по эллипсу от вершины эллипса В в сторону вершины А угол СТМ будет сначала увеличиваться от нуля до некоторого максимального значения в точке Тmax, а потом опять уменьшаться до нуля. От В до Тmax – это всё положения Т устойчивого равновесия для одного соответствующего угла рампы, ибо на этом этапе радиус эллипса [СТ] растёт с положительным ускорением по углу α. А на участке от Тмакс до А – это положения неустойчивого равновесия для того же угла рампы, ибо радиус эллипса [СТ] хоть ещё и растёт, но уже с отрицательным ускорением по углу α. Два положения равновесия - устойчивое и неустойчивое для одного конкретного угла рампы (т.е. две точки на эллипсе) как бы «симметричны» относительно максимального угла φmax. А в точке φmax они сливаются  водно. И при угле рампы меньше φмакс эллипс можно поставить в два положения равновесия – устойчивое и неустойчивое. А при угле больше φмакс уже никакого равновесия нет, даже неустойчивого.

Для нахождения максимального угла СТМ нам нужно просто найти его зависимость от угла α, взять первую производную этой зависимости по α, приравнять её нулю, найти αmax и подставить это αmax в выражение для угла СТМ. Это из программы средней школы.

1) Есть формула для длины радиуса эллипса в зависимости от угла α:
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2be964a3f420aff32ce9bf0107c89b2b9e72d3b
(там вместо φ надо подразумевать α)

2) Умножаем r на cosα и так получаем иксовую компоненту rx этого радиуса.

rx = ab / (sqr[ a^2 ∙ (tgα)^2 + b^2 ])                 (1)

3) Займёмся теперь нахождением угла ß. Для этого берём производную по иксу от формулы кривой эллипса y = b ∙ sqr[1 – (x/a)^2]
y(x)’ = -(b/a) / sqr[ (a/x)^2 - 1  ]                     (2)

4) Подставляем вместо х в (2) rx из (1) и получаем:
y(x)’ = -(b/a)^2 ∙ ctgα                         (3)

Как известно, производная y(x)’ по х – это тангенс угла наклона касательной в точке (х, y(x))
Т.о., ß = arctg(y(x)’) = arctg((b/a)^2 ∙ ctgα)         (4)
(тут я минус выкинул).

5) Угол СТМ, он же φ, есть часть треугла СТЕ и равен
φ = 180 – 90 – α – ß                            (5)

Подставляем ß из (4) и получаем зависимость φ от α:
φ(α) = 90 – α - arctg((b/a)^2 ∙ ctgα)         (5_1)

6) Берём производную от φ(α) из (5_1):
φ(α)’ = [90 – α - arctg((b/a)^2 ∙ ctgα)]’ = -1 + (K(V+1))/(1+V∙K^2)          (6)
(здесь K = (b/a)^2    и    V = (ctgα)^2   лишь для удобства записи)

7) Приравниваем (6) нулю
-1 + (K(V+1))/(1+V∙K^2) = 0
и  получаем:
ctgαmax = a/b
αmax = arcctg(a/b)       (7)

8) Подставляем (7) в (5_1) и находим φmax
φmax = 90° – arcctg(a/b) - arctg((b/a)^2 ∙ ctg(arcctg(a/b))) = 90° - arcctg(a/b) - arctg((b/a)^2 ∙ (a/b)) =
= 90° - arcctg(a/b) - arctg(b/a) =
= π/2 – 2∙arctg(b/a) = π/2 – 2∙arcctg(a/b)       (тут a/b и b/a > 0, так что arcctg(a/b) = arctg(b/a))

Ответ:
φmax = π/2 – 2∙arctg(b/a) = π/2 – 2∙arcctg(a/b)

-------------------------------------------------------------------------
 
П.С. Интересное наблюдение: Треугол CTE, при максимальном угле φ, всегда равнобедренный, и углы α и ß равны.

П.П.С  У меня есть ещё три задумки, как можно пытаться решать эту задачу.  В частности, 1) через моменты сил, 2) через дифференцирование кривой эллипса и 3) через нахождение угла α при котором скорость роста радиуса эллипса максимальна, что, по идее, соответствует φмакс. Но, это как-нибудь в другой раз.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #14 : 06 Сентябрь 2018, 00:08:04 »
Мне всё-таки было непонятно, почему там должен быть максимальный угол. То что это так, доказывается легко. Если эллипс описывается уравнением r(t)={a*cos(t) ; b*sin(t)}, v(t), w(t) - первая и вторая производные, то максимальный угол находится из уравнения d/dt(r/r,v/v)=0. Решив его получим v2=r2, что совпадает с тем что было в моём решении. Но так просто только для эллипса, где w=-r. Но ведь в рассуждениях нигде не учитывается что это именно эллипс. А если это какой-нибудь овал, близкий к эллипсу, но не эллипс. Решил провести эксперимент. Взял овал r(t)={a*cos(t)*f(t) ; b*sin(t)*f(t)}, f(t)=1+p(1-cos(4t)), a=5, b=3, p=0.01. Ищем t1 и t2. При t=t1 ортогональны отрезки, проведенные из центра эллипса к точке касания и центру кривизны. При t=t2 максимальный угол. Уравнения решаются методом итераций. Для проверки точности вычислений посмотрим что получится когда результаты должны совпадать (в случае точного эллипса: p=0).

зелёный-эллипс, красный-овал.


Результат:
t1= 0,785398163397448
t2=0,785398163397611
Точное значение t1=t2=π/4=0,785398163397448

Теперь считаем для овала.
t1=0,847414220247559
t2=0,855215138797825

Угол при t1: 1,5707963267949
Точное значение π/2=1,5707963267949

Проверим что при t2 максимум - найдем углы при t=t2, t2-0.001, t2+0.001.
φ(t2)=0,494820064607716
φ(t2-0.001)=0,494819055463183
φ(t2+0.001)=0,494819055157317

Всё посчитано правильно, решения различаются.