Автор Тема: Квадрат на кругах.  (Прочитано 750 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Квадрат на кругах.
« : 25 Май 2018, 19:40:24 »
По просьбе Tugrika


Сначала простая задача для уровня «вообще физиков» - задача «Квадрат на кругах».


Задача: Квадрат на кругах.

Рис. https://ibb.co/dFht9S

Заданы две произвольные окружности (a,A) и (b,B) с центрами в точках А и В. На окружности (а,А) находится произвольная точка С. Через точку В проведена прямая br , параллельная прямой АС (т.е. прямой aR). Через точку С, а также через точку D (являющуюся пересечением прямой br и окружности (b,B)), проведены касательные tangentA и tangentB к окружностям (a,A) и (b,B), соответственно. В итоге получился прямоугольник CEDF.

Поручение: Найти такое положение точки С, чтобы получившийся прямоугольник CEDF был квадрат.



=======================================================================

А теперь, по следам задачи из
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,9199.msg77883.html#msg77883
и коммента к ней
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,9199.msg77897.html#msg77897

суперсложная задача для уровня «истинных математиков»:


Дан квадрат ABCD. Точки Е и F - середины сторон [АВ] и [AD], соответственно. [GC] - высота треугольника ΔEFC.

https://ibb.co/fLsmAo

Доказать, что |EF|/|GC| = 2/3.




=================================
=================================

И, напоследок – спирту, о моих комментах о его решении в www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg77771.html#msg77771.

Где именно я вижу ахинею в Вашем решении?
Во-первых, в Вашей фразе в посте Ответ #584
«Расстояние от центра (системы координат) до точек лежащих на любой прямой, проходящей через центр, пропорционально сумме координат».

Эта фраза меня озадачила. Я-то думал, что это «расстояние» пропорционально корню от суммы квадратов координат (по Пифагору), а оказалось, что просто сумме. После этого перла я дальше уже особенно и не стал вникать, ибо желание пропало.

Во-вторых, в Вашей фразе в посте Ответ #584
"В одном случае эта сумма равна m+n а в другом 1".
Даже если Вы и складываете координаты, то почему в одном случае у Вас при сложении координат m и n появляется действительно сумма m+n, а в другом случае появляется не сумма 1+1 = 2, а просто 1?

И, до кучи, Ваш рисунок с нетривиально «преобразованным» треугольником ну никак не соответствовал условию задачи о произвольном треугле. Кто, кроме Вас, мог догадаться, что Вы, оказывается, автоматически уже преобразовали произвольный треугол к ортонормированному виду?

    Позже оказалось (пост Ответ #599), что Вы, оказывается, привлекли аналитическую геометрию с матрицей линейного преобразования системы координат, которую я когда-то проходил то ли на первом, то ли на втором курсе института в рамках курса лекций «Аналитическая геометрия и линейной алгебры» по учебнику Беклемишева Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры». Плюс упомянули теорию аффинных преобразований. В итоге, заслужили от Раце титул «Математика», "решив" эту задачу таким излишне сложным способом. Ну, в смысле «сложным», если иметь ввиду, что Раце эту задачу называл «элементарной», что для меня подразумевает, что не используются отдельные теории, которые сами требуют доказательства, а лишь всем известные школьные теоремки.


Вы пишете: "любой треугольник можно преобразовать к виду как на первой картинке (пост 582), где отрезки PB и PC перпендикулярны и равны". Можно-то можно. Можно, подобрав какое-нибудь хитрое преобразование, вообще во что угодно преобразовать, хоть в маргаритку, хоть в подосиновик. Но только нужно ещё доказать или сослаться на источники, что при этом в маргаритке и подосиновике соотношение длин отрезков останется таким же. Это что, при любом преобразовании всегда так?

Вы пишете: "Всё там ахинеей быть не может, хотя бы потому что ответ получается правильный". Сори, но получение правильного ответа ещё не 100% значит, что решение правильное. Бывают и совпадения, особенно если ответ выглядит очень просто.
    Простой на вид ответ m+n можно получить из многих неправильных решений. С моей точки зрения, Ваша фраза из поста Ответ #584 "Расстояние от центра до точек лежащих на любой прямой проходящей через центр пропорционально сумме координат. В одном случае эта сумма равна m+n а в другом 1" - это как раз пример такого неправильного решения. Ну, с какой стати Вы просто складываетет координаты? Где такое видано, чтобы просто складывали перпендикулярные координаты x и y?



Так или иначе, даже если закрыть глаза на то, что Вы, для обоснования своего решения привлекли явно не школьного уровня геометрию, Вы понастроили много параллелограммов. Этих параллелограммов, самих по себе, в принципе, уже было бы достаточно для решения этой задачи и без преобразования произвольного треугла к ортонормированному виду, хотя Раце просил не делать дополнительных построений.

============

В итоге, по сухому остатку от «коллективного решения» этой задачи получилось следующее:
Сам Раце решил эту задачу с привлечением не школьной теории «Геометрии масс»,
Спирт решил эту задачу с привлечением не школьной теории «аффинного линейного преобразования системы координат».
А моё и хрипунова «решение» через площади составляющих треуглов, которое действительно в рамках 8-го класса, типа осталось незамеченным.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 4998
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадрат на кругах.
« Ответ #1 : 25 Май 2018, 20:25:36 »
По просьбе Tugrika

Сначала простая задача для уровня «вообще физиков» - задача «Квадрат на кругах».

Задача: Квадрат на кругах.

Рис. https://ibb.co/dFht9S
Заданы две произвольные окружности (a,A) и (b,B) с центрами в точках А и В. На окружности (а,А) находится произвольная точка С. Через точку В проведена прямая br , параллельная прямой АС (т.е. прямой aR). Через точку С, а также через точку D (являющуюся пересечением прямой br и окружности (b,B)), проведены касательные tangentA и tangentB к окружностям (a,A) и (b,B), соответственно. В итоге получился прямоугольник CEDF.
Поручение: Найти такое положение точки С, чтобы получившийся прямоугольник CEDF был квадрат.

Вот такой способ , доступный буквально для начинающих курс школьного черчения:
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Квадрат на кругах.
« Ответ #2 : 25 Май 2018, 23:14:14 »
И, напоследок – спирту, о моих комментах о его решении в www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg77771.html#msg77771.

Где именно я вижу ахинею в Вашем решении?
Во-первых, в Вашей фразе в посте Ответ #584
«Расстояние от центра (системы координат) до точек лежащих на любой прямой, проходящей через центр, пропорционально сумме координат».


Это уже не смешно.

Ладно.
По поводу пропорциональности.
Возьмем две точки (4;3) и (8;6). Эти точки лежат на прямой, проходящей через центр. Не так ли? Расстояния от этих точек до центра, как утверждает теорема Пифагора равны 5 и 10. Суммы координат равны 4+3=7 и 8+6=14. 5/7=10/14? Или нет?

И по поводу той точки у которой сумма координат 1+1=2. Где эта точка? Там её нет. Там есть точка на прямой x+y=1. Чему равна сумма координат точки, лежащей на прямой x+y=1?

Вообщем, меня терзают смутные сомнения...




Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Квадрат на кругах.
« Ответ #3 : 26 Май 2018, 03:00:16 »
Квадрат на кругах.
может быть решение такое же как и у Хрипунова, картинки разные
« Последнее редактирование: 26 Май 2018, 03:06:54 от c2h5oh »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадрат на кругах.
« Ответ #4 : 26 Май 2018, 12:16:48 »
Головотяп, задача для математиков мощная.
Пусть диагональ квадрата рfвна 1. Тогда CG=3/4 диагонали, а EF=1/2 диагонали, GC/EF=(3*2)/4=3/2.

Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадрат на кругах.
« Ответ #5 : 09 Июнь 2018, 19:04:26 »
=======================================================:

Благодарю хрипунова и спирта за их решения, но благодарю лишь чуть-чуть, ибо они не пояснили и не обосновали свои решения, как обычно. Тем более, что они построили только 1 квадрат, а их, на самом деле, 2 (и плюс ещё 2 зеркально симметричных им). Решения у хрипунова и спирта существенно разные.

Исполняю свой долг автора сей задачи и выкладываю 5 из своих многочисленных решений, коих у меня, в той или иной степени разных, больше 7 штук нарисовалось.

Подробно объяснять не буду, ибо вряд ли это вообще кого-либо интересует. Но общая идея некоторых из этих моих 5 решений (точнее, две идеи) таковы.
1) Задачу можно несколько упростить, если искать квадрат по прямоугольнику CE’D’F’, у которого одна из вершин (а именно, вершина D -> D’) зафиксирована в точке. Этой точкой может быть либо:
а) центр одной из окружностей, если её стянуть в точку, а радиус второй окружности уменьшить на радиус первой (D’ = B), либо
б) центр гомотетии обеих заданных окружностей (D’ = Homothethy).
2) Потом надо проанализировать, при движении точки С по окружности (а,А), какая/какие из следующих точек: вершины E’ и F’ и центр прямоугольника CE’D’F’, будут двигаться по некой окружности (т.е. их ГМТ есть некая окружность).


Вот, в хронологическом порядке:

1) Это 18-чирковое решение у меня полностью понято мною самим и доказано.
https://ibb.co/mWzXF8
Здесь есть некое сходство с решением хрипунова. Хрипунов тоже проводил касательную к некой жёлтой окружности, радиус которой вычислял тоже помощью некой оранжевой прибамбасины. У меня в этом решении тоже есть такие ходы.

2) Это 13-чирковое решение есть оптимизация 1-го решения, и тут просто использовались некоторые лайфаковские точки, обнаруженные мною в 1-м решении. На полное их обоснование заморачиваться не стал.
https://ibb.co/gzDZv8

3) Это 11+2-чирковое решение у меня полностью понято мною самим и доказано.
https://ibb.co/jbek2o

4) Это 11+1-чирковое решение есть некий гибрид 1-го и 3-го решений.
https://ibb.co/gieA2o

5) А это решение - самое малочирковое: всего 8 чирков на первую точку С и ещё 2 чирка на вторую точку C’.
https://ibb.co/m7apv8

Оно очень сильно похоже на решение спирта. Не знаю, как решал спирта, но у меня здесь просто используются лайфаковские точки X и X’, которые я высмотрел в решении 3), когда строил там серединный перп а5 (здесь он b5) между точками А и В. На обоснование этих точек Х и Х' заморачиваться не стал. Может быть у спирта они обоснованы.


▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐


И, напоследок, спирту по той самой задаче Раце и решениям спирта в постах
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg77771.html#msg77771
и
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg77851.html#msg77851 .

Вам (ув. тов. спирт), ИМХО, сразу надо было дать решение как в Вашем посте Ответ #599
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg77851.html#msg77851
в котором Вы решили не преобразуя исходный треугол к ортонормированному виду, а прямо с помощью векторного анализа. У меня бы возражений и вопросов не возникало. А то, что было сначала, в смысле, в том виде, как Вы это подали, мне не понравилось. ИМХО.
      Векторный анализ – хороший и мощный аналитический метод, и им можно много что решить, где нужно "вычислять" расстояния между точками. 

Я, наконец, понял, что Вы имели ввиду под вашим заявлением «Расстояние от центра до точек лежащих на любой прямой проходящей через центр пропорционально сумме координат». Из-за неточной и не вполне корректной формулировки, с первого и второго прочтения я понял так, что через центр (начало координат) проходит пучок произвольных (любых) прямых, на которых находятся разные точки, и для этих разных точках, лежащих на разных прямых, соблюдается взаимная пропорциональность. Надо было (с моей точки зрения) написать, например, так:
     Если через начало координат точку О проходит какая-либо прямая b, и на этой прямой b лежат две точки А и В, то отношение расстояний |OА|/|OВ| = (xA + yA)/(xB + yB). Такая формулировка, у меня лично, не вызвала бы мысль, что у разных точек А и В прямые ОА и ОВ разные, и не проассоциировалась бы с заменой длины отрезка на просто сумму их координат. Это потому, что здесь не используется сбивающие с толку слова «расстояние пропорционально», а сразу даётся именно отношение длин.

При такой иной формулировке, как я щас предложил, у меня лично, сразу представляются два подобных треугольника с общей вершиной и углом в центре координат и двумя частично совпадающими сторонами. Тогда сразу очевидны соотношения
|OА|/|OВ| = xA/xB             |OА|/|OВ| = (yA)/(yB)
Тогда из этой пары соотношений уже можно строго вывести то, что Вы говорите:
Возьмём дробь xA/xB и домножим верх и низ на (хА + уА):
xA(хА + уА) / xB(хА + уА) = xA(хА + уА) / (xB∙хА + xB∙уА) = (хА + уА) / (xB + xB∙уА/xA)
Член xB∙уА/xA = yB , так как xA/xB = yA/yB. Подставляем xB∙уА/xA = yB, получаем
(хА + уА) / (xB + yB). А всё это сначала было равно xA/xB, которое, в свою очередь, |OА|/|OВ|. Т.е.
(хА + уА) / (xB + yB) = xA/xB = |OА|/|OВ|

Итого,
|OА|/|OВ| = (хА + уА) / (xB + yB).

Всё это, действительно, просто, если правильно понять, что Вы имели ввиду.

Но, хотя с этим я разобрался, Ваше первое решение всё равно требует доказательства ещё очень многих моментов, которые Вы не то, что не доказывали, а даже и не упоминали, небрежно сказав лишь: «ответ m+n следует из этого рисунка».  Т.е. Вы привели рисунок, из которого это «очень легко» следует, а вот откуда следует сам этот рисунок, Вы совсем не сказали. А это, как раз-таки, есть самая сложная часть Вашего решения - перекособочивание системы координат.
       Да, при перекособочивания системы координат Вы типа использовали преобразования сдвига (когда прямоугол переходит в параллелограмм) и сжатия/растяжения, которые, будучи аффинными, по идее, не изменяют пропорции. Но надо аккуратно расписать все соотношения длин отрезков, их проекций и т.д., не утверждая, что всё это видно из рисунка. Геометр не должен полагаться лишь на органы чувств/глазомер, иначе это скульптор, а не математик.

В общем, при применении такого относительно сложного метода, который использовали Вы, надо либо быть усердным, написав много объяснений и доказав или сославшись на всё необходимое, либо, если неохота, просто описать суть метода, не претендуя на полноценное решение и не говоря смелые фразы типа «ответ m+n следует из этого рисунка». Тут ни ответ не следует автоматически, ни сам рисунок ни откуда автоматически не следует. И всё это скорее вызывает ощущение, что решальщик не очень сам понимает, что делает. Чего уж тогда ожидать от читальщиков.
ИМХО.