Автор Тема: Степень сумму не меняет  (Прочитано 1142 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 587
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Степень сумму не меняет
« : 03 Апрель 2018, 20:55:08 »
Решите в целых числах уравнение x+y+z = x5+y5+z5, если |x| < |y| < |z|

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #1 : 07 Апрель 2018, 12:32:18 »
аналитически можно доказать что если решение существует то |X|>1, X и Y имеют один и тот же знак, Z - противоположный. т.е. уравнение сводится к виду X1+Y1=Z1 для положительных чисел(X1=X5-X и т.д.). составляем таблицу таких чисел и ищем перебором, учитывая что минимальная граница для Y примерно Z/21/5. решение существует для
двузначного Z.
« Последнее редактирование: 07 Апрель 2018, 13:49:48 от c2h5oh »

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 587
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #2 : 01 Май 2018, 21:37:36 »
Ну так что, сдались все? Ответ дать? :unknown:

Оффлайн Harry

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 441
    • Просмотр профиля
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #3 : 01 Май 2018, 22:18:16 »
Например, y = 1, а x = -z - произвольные...

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1557
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #4 : 01 Май 2018, 23:48:10 »
Например, y = 1, а x = -z - произвольные...

Этого не может быть по условию, потому что |x| < |y| < |z|

Оффлайн guerrino

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #5 : 02 Май 2018, 01:17:03 »
Решим более простую задачу.

Рассмотрим уравнение x5+y5=x+y, при этом |x|<|y|<|z| (1), понятно, что многочлен симметрический, поэтому главное условие - числа не равны по модулю.

Итак,  x5+y5 = (x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)

(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4) = x+y

В силу (1) можем сократить x+y: (x4-x3y+x2y2-xy3+y4) = 1

После небольших преобразований получаем x4+y4-xy(x2-xy+y2) = 1

И еще несколько преобразований: ((x+y)2-2xy)2-2x2y2-xy((x+y)2-2xy)=1, пусть теперь x+y=m, а xy=n,
Получаем: (m2-2n)2-2n2-n(m2-2n) = 1; И еще одна замена: m2-2n=k;

k2-nk-(2n2+1) = 0; Посчитаем дискриминант: D = n2+4(2n2+1) = 9n2+4. Заметим, что при целых n (а n цело, т.к целы x и y) этот дискриминант не может быть точным квадратом. Поэтому k иррационально, что опять же, не может быть. Значит уравнение не имеет решений в целых числах. Вот тут осмелюсь предположить, что утверждение верно и для трех чисел. Хотя может быть я и не прав. Просто лень было громадные формулы выписывать. Или же тут все гораздо проще?)

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 587
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #6 : 02 Май 2018, 03:07:15 »
И все ж решение имеется.

Оффлайн guerrino

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #7 : 02 Май 2018, 04:32:37 »
И все ж решение имеется.

Тогда может подсказочку?)

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #8 : 02 Май 2018, 11:51:53 »
подсказка
если взять X,Y>0, Z<0 то обе суммы равны

Оффлайн guerrino

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #9 : 02 Май 2018, 15:46:27 »
подсказка
если взять X,Y>0, Z<0 то обе суммы равны

Ну про знаки по-моему весьма очевидно. Но не ясно одно. Каким методом вообще решать это уравнение? Понятно, что общего алгоритма решения диофантовых уравнений нет, но неужто здесь просто перебор вариантов, выбранных путем нескольких аналитических выкладок наподобие первого?

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1552
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #10 : 02 Май 2018, 16:11:29 »
смущает ажно пятая степень)
Задали бы чего попроще, 3ью хотя бы.
Логика понятна, что сумма х с у в пятой степени дает разницу в 12 с  пятой степенью зета. Но как и в задаче с годами доцентов тут слишком адовые числа выходят, решать такое без компьютерного перебора, либо лайфхака который известен Вам насилие над нервной системой)

Оффлайн guerrino

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #11 : 02 Май 2018, 16:29:40 »
смущает ажно пятая степень)
Задали бы чего попроще, 3ью хотя бы.
Логика понятна, что сумма х с у в пятой степени дает разницу в 12 с  пятой степенью зета. Но как и в задаче с годами доцентов тут слишком адовые числа выходят, решать такое без компьютерного перебора, либо лайфхака который известен Вам насилие над нервной системой)

Откуда 12?

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1552
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #12 : 02 Май 2018, 16:36:27 »
Откуда 12?
Из леса вестимо Спирт же подсказал)

Оффлайн guerrino

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #13 : 02 Май 2018, 16:41:25 »
Откуда 12?
Из леса вестимо Спирт же подсказал)

Это ясно. А откуда вообще 12 получается

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1552
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Степень сумму не меняет
« Ответ #14 : 02 Май 2018, 16:42:25 »

Это ясно. А откуда вообще 12 получается

Думаю рано или поздно forpost расколется и расскажет)