Автор Тема: Трапеция и окружности  (Прочитано 587 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 136
    • Просмотр профиля
Трапеция и окружности
« : 03 Март 2018, 17:52:07 »
Боковые стороны равнобедренной трапеции являются диаметрами двух окружностей. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных плоскости, в которой лежит трапеция. Докажите, что всякая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекающая одну из окружностей, пересекает и вторую окружность.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1425
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Трапеция и окружности
« Ответ #1 : 03 Март 2018, 18:07:40 »
Вроде бы каждая прямая проведенная через одну из окружностей и точку пересечения диагоналей, будет образующей некоторого конуса. Это требуется доказать?

Подумал не требуется. Так как у обоих конусов пара образующих является диагоналями трапеции, то вполне логично предположить что любая другая пара образующих  тоже будет пересекаться в той же самой точке и быть общей для обоих конусов.
« Последнее редактирование: 03 Март 2018, 18:38:27 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1425
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Трапеция и окружности
« Ответ #2 : 03 Март 2018, 19:50:14 »
Цилиндр это тело вращения, имеющее одинаковое сечение если его производить под заданным углом к оси. Тут же получается что то похожее на конус, перекошенный немного) :rest:

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Трапеция и окружности
« Ответ #3 : 03 Март 2018, 19:56:42 »
Не-а, это именно цилиндр, только его основания не параллельные.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1425
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Трапеция и окружности
« Ответ #4 : 03 Март 2018, 20:57:38 »
Ок эллиптический цилиндр, в который вписано два эллиптических конуса)

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Трапеция и окружности
« Ответ #5 : 03 Март 2018, 21:47:55 »
Усеченный цилиндр, если точнее.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1425
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Трапеция и окружности
« Ответ #6 : 03 Март 2018, 22:42:29 »
Дело в том, что у обычного цилиндра сечение не перпендикулярное к оси - эллипс, а тут окружность - основание цилиндра эллипс, а сам он эллиптический. А вот исписано в него два кривоватых конуса)

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 136
    • Просмотр профиля
Re: Трапеция и окружности
« Ответ #7 : 09 Апрель 2018, 21:52:02 »
Моё решение было такое

Проводим плоскость перпендикулярную плоскости трапеции и пересекающую боковые стороны трапеции в точках P1,P2 и окружности в точках Q1,Q2(Здесь показана развёртка). Если точка M лежит на прямой Q1Q2, то должно выполняться равенство
Q1P1/P1M=Q2P2/P2M.

Из теоремы синусов получаем:
P1M/sin(α)=P1A1/sin(φ)
P1M/sin(β)=P1B1/sin(ψ)
перемножаем
(P1M)2/[sin(α)*sin(β)]=P1A1*P1B1/[sin(φ)*sin(ψ)]
или
P1A1*P1B1/(P1M)2=sin(φ)*sin(ψ)/[sin(α)*sin(β)]
или
sqrt(P1A1*P1B1)/P1M=sqrt{sin(φ)*sin(ψ)/[sin(α)*sin(β)]}
треугольник A1B1Q1 - прямоугольный, sqrt(P1A1*P1B1)=Q1P1
Q1P1/P1M=sqrt{sin(φ)*sin(ψ)/[sin(α)*sin(β)]}
В формуле для Q2P2/P2M меняются местами φ и ψ, но результат от этого не меняется.

Разумеется что то же самое будет для любого четырехугольника у которого подобны треугольники A1B1M и A2B2M