Автор Тема: Сумма углов под которыми виден отрезок в треугольнике  (Прочитано 1056 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1620
    • Просмотр профиля
    • E-mail
На плоскости задан равнобедренный треугольник АВС. С основанием ВС и углом α при вершине А.
Основание разбито на n+1 равных отрезков n точками Pi (i принимает значение от 1 до n и Є N).
Чему равна сума углов под которыми из точек Pi виден отрезок AP расположенный на стороне АВ если |AP|=|AB|/(n+1).

Задача честно скомунизжена с другого форума, где публиковалась как несколько усложненная задача с школьной олимпиады. Впоследствии была еще немного усложнена мной. Приятного решения.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5597
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Что такое "угол, под которым из точки виден отрезок"? Это угол между лучом, направленным из заданной точки в середину отрезка, и самим отрезком?
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1620
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Нет это именно угол под которым из точки видно отрезок. То есть для точки Pi это будет угол APiP.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5597
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Нет это именно угол под которым из точки видно отрезок. То есть для точки Pi это будет угол APiP.
Да, уже посмотрел значение этой формулировки (без пояснений не догадаешься).
Разумеется, суммарный угол будет равен
90 минус угол  при основании
Попробовал найти графическое доказательство, но оказалось, что его нужно снабжать восьмиэтажной писаниной, которая превратится в очень пространные рассуждения (описание четного, нечетного вариантов, соответствий,отражений,  и т.п.) . Просто выложу картинку без претензии на строгое доказательство:
« Последнее редактирование: 28 Март 2018, 20:04:34 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1620
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Теперь правильно) Но в условии задан угол при вершине) :P

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5597
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Теперь правильно) Но в условии задан угол при вершине) :P
Тогда  - альфа пополам.
А Вам удалось получить короткое доказательство без тригонометрии?
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1620
    • Просмотр профиля
    • E-mail
с подсказкой да)
Правда на n точек задачу перевел я, в оригинале их было всего 4.
Но индукцией, по идее легко доказать.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1620
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Все сдались?:)  :duel:

Давайте упростим до уровня школьной олимпиады. Не района, не города, не области, а просто школы:

На плоскости задан равносторонний треугольник.
Основание ВС разбито на 5 равных отрезков точками P1, P2, P3, P4.
Чему равна сума углов под которыми из точек P1, P2, P3, P4 видно отрезок АР принадлежащий стороне АВ, если известно что |AB|=5|AP|.
Задача имеет как минимум 2 чисто геометрических решения, без тригонометрии, сложной аналитики и тд и тп.
« Последнее редактирование: 02 Апрель 2018, 17:10:06 от Race »

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Все сдались?:)  :duel:
В смысле? Дык Хрипунов же ж уже решил? Там вроде все понятно.  :o

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1620
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Аналитику мы пока так и не увидели. Да даже построение без компьютера точно так же.
Тем не менее эта задача максимум для школьников 8 класса!
А не для взрослых юзеров чертежных приложений.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1620
    • Просмотр профиля
    • E-mail
▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐


Аналитику мы пока так и не увидели. Да даже построение без компьютера точно так же.
Тем не менее эта задача максимум для школьников 8 класса!
А не для взрослых юзеров чертежных приложений.

Вот кальный кусок "аналитики".

https://ibb.co/jAjSRc

Рассмотрим случай разбиения на нечётное число отрезков. Для чётного числа всё будет тем более так, ибо вертикальная ось симметрии рисунка по части точек Pi, в случае чётного числа, уже появляется вообще сразу. Тем более, что я на всякий случай проверял и рисовал.

Докво на примере разбиения на 7 отрезков. Изначально было 9, но было совсем трудно разглядывать.

В докве нигде не используется колво разбиения, кроме как число n. Все рассуждения отталкиваются от отрезков, крайних от точек В и С, и идут индукцией к середине отрезка ВС. А середина рассматривается отдельно.


Проведём параллель из точки Pn к стороне АС. Получим точку P. Отрезок |AP| = |AB|/(n+1)) по теореме Фалоса.
Из точек А и Р напроводим пучки чёрных и, соответственно, зелёных прямых в точки Рi. Для каждой зелёной прямой проведём параллель из точки А. Одна из них совпадёт со стороной треугла АС, поэтому сторона АС стала красной. Красные прямые пересекут основание треугла в точках Qi. При этом каждая точка Qi будет соответствовать определённому отрезку [Pi-1Pi].

Рассмотрим угол φi, под которым отрезок АР будет виден, например, из точки Pi. Он будет равен углу, под которым будет виден красный отрезок PiQn-1 из точки А. Это потому, что прямые PPi и AQn-1 параллельны по построению.
   Соответственно, сумма углов φi (i = 1,n) из всех точек Pi будет равна сумме углов, под которыми будут видны все красные отрезки из точки А.

Можно строже доказать, что прямая AQi есть ось симметрии получившегося построения по части точек Pi и Qi, но, я думаю, вполне достаточно будет такого рассуждения:


Крайние зелёный и красный отрезки ВР1 и PnC равны изначально.
Теперь шаг в сторону, и докажем лемму - что углы ^BPP1 и ^Pn-1PPn равны.

Треуглы BPPn и ВАС подобные, ибо прямые PPn и АС параллельны по построению, а их углы, противоположные этим парал. прямым, совпадают. Раз треугол ВАС равнобедренный (по условию), то и треугол BPPn равнобедренный. Отрезки ВР1 и Pn-1Pn, отложенные от вершин В и Pn на основании равнобедренного треугла BPPn, равны по условию. Значит углы ^BPP1 и ^Pn-1PPn, образованные этими равными отрезками, равны:

^BPP1 = ^Pn-1PPn      (1)


Далее. Угол ^BAQ2 равен углу ^BPP1, ибо прямые PP1 и AQ2 параллельны по построению:

^BAQ2 = ^BPP1      (2)

 Углы ^QnAC и ^Pn-1PPn равны, ибо их стороны попарно параллельны по построению:

^QnAC = ^Pn-1PPn     (3)


Сравнивая (1), (2) и (3) получаем:

^BAQ2 = ^QnAC         (4)

Из (4) следует, что |BQ2| = |QnC|, откуда следует, что

|P1Q2| = |QnPn|            (5)

Т.о. вторая от краёв В и С треугла ВАС пара красного и зелёного отрезков оказалась равна.


Далее. Так как |P1P2| = |Pn-1Pn|, то из (5) следует, что

|Q2P2| = |Pn-1Qn|         (6)

Т.о. третья от краёв В и С треугла ВАС пара красного и зелёного отрезков оказалась равна.

Аналогично и по индукции можно доказать, что каждому красному отрезку соответствует равный зелёный отрезок, симметричный относительно середины отрезка ВС.

---------------------------

Осталось доказать, что серединный отрезок Pn/2Pn/2+1 (в данном примере это отрезок P3Pi) поделится точкой Qn/2+1, соответствующей серединному отрезку (здесь это точка Qi), пополам.

Так как точка Р смещена от точки А на одну порцию (по построению), то основание равнобедренного треугла BPPn делится точками Pi на чётное колво равных отрезков. И левый край серединного отрезка (здесь это точка Р3) будет лежать на середине основания равнобедренного треугла BPPn. Значит прямая, идущая из его вершины Р в левый край серединного отрезка (здесь это прямая РРз) будет перпендикулярна основанию.

Далее. Прямая, идущая из точки А в точку Q, соответствующую серединному отрезку, (здесь это прямая AQi) параллельна прямой, идущей из точки Р в левый край серединного отрезка (т.е. здесь это прямой РРз) по построению. Т.о. серединная прямая (здесь это прямая AQi) тоже будет перпендикулярна основанию.
    Значит точка Q, соответствующая серединному отрезку (здесь это точка Qi), делит серединный отрезок пополам. А это значит, что красный и зелёный отрезки, делящие серединный отрезок, равны, симетричны и состыковываются, причём прямо в середине отрезка ВС.

Учитывая всё выше сказанное, получается, что красные отрезки в сумме занимают половину отрезка ВС, причём симметрично зелёным отрезкам относительно серидины отрезка ВС. Следовательно, сумма углов, под которыми из точки А видны все красные отрезки, будет равен α/2.

Выше уже было сказано, что каждый конкретный красный отрезок [PiQi+1] виден из точки А под таким же углом, как и отрезок АР из точки Pi левого края этого отрезка [PiQi+1]. Поэтому сумма углов, под которыми виден отрезок АР из всех точек Pi тоже равен α/2.


================================

Возможно, что это докво содержит излишества или что-то осталось недоказано. Так или иначе, если в двух словах, основная идея - это что красные отрезки видны из точки А под такими же углами, что и отрезок АР виден из точек Рi, соответственно. А также что красные отрезки симметричны зелёным и в сумме занимают симметрично зелёным половину длины основания ВС.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1620
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Уж слишком сложно. Сегодня не смогу потратить время, но завтра честно сяду разбираться.

Мое решение займет гораздо меньше писанины.

Пусть углы  PiAB разбивают угол А на a+b+...+c+d+c+....b+a=2a+2b+...2c+d для нечетного и на 2a+2b+...+2c для четного числа отрезков.
Пусть углы  PiРB разбивают угол  P1РB на 2e+2f+....+2g для нечетного и на 2e+2f+...+2g+j для четного числа отрезков.

Не сложно убедиться что угол  APiP=PiPB-PiAB
Соответственно сумма всех  APiP примет вид:
1. Для не четного числа отрезков:

[(2e+2f+...+2g)+(e+2f+...+2g)+(e+f+...+2g)+...(e+f+...g)+...+(e+f)+e]=A не сложно убедиться, складывая последний и второй член, предпоследний и третий и так далее, что в итоге мы получим некоторое число равное (n+0.5)A
Аналогичным образом рассмотрев не четное кол-во углов, с некоторым средним, мы убедимся что их сумма будет равной  nA
В итоге (n+0.5)A-nA.
Полностью аналогичным образом доказываем для четного числа отрезков. В этом случаем получим:
nA-(n-0,5)A=0,5А.
« Последнее редактирование: 06 Апрель 2018, 16:20:32 от Race »