Автор Тема: Треугольник  (Прочитано 838 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Треугольник
« : 12 Февраль 2018, 01:40:45 »
Доказать, что если в произвольном треугольнике, через точку пересечения биссектрис построить прямые параллельные сторонам то точки их пересечения с сторонами треугольника, дадут по ромбу при каждом угле.

Задача авторская, приятного изыскания.

« Последнее редактирование: 12 Февраль 2018, 01:45:15 от Race »

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Треугольник
« Ответ #1 : 12 Февраль 2018, 02:03:18 »
Точка пересечения биссектрис - это центр не то вписанной, не то описанной окружности. Тем более что диагонали ромбов и есть биссектрисы. Дальше думайте сами.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Треугольник
« Ответ #2 : 12 Февраль 2018, 02:04:41 »
Точка пересечения биссектрис - это центр не то вписанной, не то описанной окружности. Дальше думайте сами. Тем более что диагонали ромбов и есть биссектрисы.
Читая Вас я все больше понимаю выражение "горе от ума"))))

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Треугольник
« Ответ #3 : 12 Февраль 2018, 02:06:57 »
Получайте!


Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 585
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Треугольник
« Ответ #4 : 12 Февраль 2018, 12:15:24 »
1) В четырёхугольнике АБВГ противоположные углы будут попарно равны, т.к. образованы параллельными отрезками.
2) Треугольники АБГ и ВБГ будут равны по признаку равенства одной стороны (БГ) и двум углам (АБГ и ВБГ - по условию, А и В - из п.1)
3) Следовательно, углы БГА и БГВ будут равны
4) Т.к. углы Б и Г равны, а угол Г делится отрезком БГ пополам, то и треугольники АБГ и ВБГ будут равнобедренными, следовательно все четыре стороны четырёхугольника будут равны между собой. Отсюда получаем, что данный четырёхугольник будет являться ромбом.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Треугольник
« Ответ #5 : 12 Февраль 2018, 12:21:11 »


Док-во простое. Вот короткая версия доква в стиле Странника (хотя получше), пока он дрыхнет и не мешает мне своими «Дядя! Реши задачку! Ну реши задачку! Ну, дядя!»


Достаточно доказать, что все 4 стороны равны, и тогда это – ромб по определению ромба.
 
Докажем на примере вершины А. Для остальных вершин В и С докво аналогично.

https://ibb.co/eHHvBS

1) Угол ^DAO = угол ^ЕAO (обозначен α), ибо прямая АO – это биссектриса промеж прямых АЕ и AD по условию.

2) Угол σ = α, ибо прямая AD || ЕO по построению.

3) Угол ß = α, ибо прямая DO || АЕ по построению.

4) Раз σ = α и ß = α, то прямая АО есть биссектриса также и для угла DOE. Но, главное, что треуглы АЕО и ADO оба равнобедренные и подобны друг другу по равенству двух углов.

5) Но у подобных треуглов АЕО и ADO есть общая сторона, значит они ещё и конгруэнтны (или, как минимум, симметричны, чего тоже достаточно).

6) Раз треуглы АЕО и ADO оба равнобедренные, то |AD| = |DO| и |АЕ| = |ЕО|.

7) А раз треуглы АЕО и ADO ещё и конгруэнтны, то |AD| = |DO| = |АЕ| = |ЕО|, т.е все 4 стороны 4-х-угольника ADOE равны, значит он ромб, по определению ромба.

У меня ещё есть и более полное и подробное докво в стиле Головотяпа, если что.

=======================

Вот, Раце. Решил я Вашу задачу. Но почему Вы мои задачи не решаете? У меня есть ещё последняя (восьмая в этом году) ещё не заданная задача с гвоздями, которая позволила мне убедиться в универсальности моего супермощного метода. Мне хочется узнать, можно ли (можно, конечно, но на сколько это сложно) 7ю и 8ю задачи решить общечеловеческими методами без моего метода.


По мере возможности решаю, если пропускаю какие то, то по невнимательности.
Пока из тех что видел не решил только ту, что с циркулем, не выходит.
По придумыванию задач не ко мне, у меня не сильно соображалка работает в эту сторону, все "придуманные" мною задачи, это последствия каких либо решенных задач, зачастую Ваших.

1. Пусть АВСД - четырехугольник образованный при одном из углов треугольника.
2. АВСД - параллелограмм, так как образован параллельными прямыми.
3. В то же время АС - не только диагональ, но и биссектриса угла ВАД, но так как АВСД параллелограмм, то и угла ВСД.
4. Из п. 3 следует что углы ВАС и АСВ равны между собой, а это значит что касающиеся стороны параллелограмма СВ и ВА так же равны.
5. Параллелограмм у которого равны касающиеся стороны - ромб.

Головотяп и Головолом  :beer: :thumbs up:
« Последнее редактирование: 12 Февраль 2018, 12:34:37 от Race »