Автор Тема: Квадраты = кубам  (Прочитано 2393 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #30 : 14 Февраль 2018, 23:34:21 »
Сегодня у меня явно словесный понос.

Пока ехал домой пришел к выводу что n не должно быть натуральным, оно может быть рациональным, трансцендентным, иррациональным, да вообще любым, главное что бы было больше нуля, к примеру:

n=67/71

a
=(n2+1)/(n3+1)=71(672+712)/(673+713)=4765/4537
b=67*4765/(71*4537)=319255/322127



Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #31 : 14 Февраль 2018, 23:35:45 »
 :yahoo: :bravo: :beer: :beer: :beer:

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #32 : 15 Февраль 2018, 00:03:13 »
forpost,
огромное спасибо, так решить было действительно гораздо интереснее!

Так же приношу свои извинения, я был не прав!

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #33 : 15 Февраль 2018, 00:45:42 »
forpost,
огромное спасибо, так решить было действительно гораздо интереснее!

Так же приношу свои извинения, я был не прав!
:heart:

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #34 : 15 Февраль 2018, 23:07:31 »
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,9141.0.html

Раце: «Сегодня у меня явно словесный понос.»

Глубокоуважаемый вагоноуважатый Раце. Я прекрасно понимаю, почему у Вас понос. Вы данное происшествие восприняли очень эмоционально и близко к сердцу. Я тоже эмоциональный человек, и понимаю Вас. Это Странник не такой – ему хоть кал на голове чеши, он не расстроится, ибо у него слишком высокая самоуверенность и самооценка, и он прекрасно знает, что он Simply the best, и ему не о чём беспокоится. Он знает, что если он опять не может что-то решить, то это просто потому, что ему лень или некогда. И, стоит ему только захотеть, он всё в мире решит. А вот Мы с Вами – Мы полны комплексов неполноценности, и переживаем, когда опять что-то не получается. От того и психуем как придурки.

И в данной задаче, Вы, с подачи всё того же Странника, думали, что задача решена.
    Помните, как Странник самодовольно и надменно гоготал «А мы думали, что все уже решили! А оказывается - в тупик зашли ». И слова фортпоста «Обсуждение зашло в тупик» воспринимались вами обоими как дурь чудака. И Вы по праву считали себя главным решильщиком в этой теме и почивали в лавре, считая, что «Для произвольных чисел мы решили». А тут вдруг припёрся я, и что-то ещё стал говорить. Ну, естественно, Вы расстроились, что Вас теснят на пьедестале. И это нормально.

Я, честно говоря, не собирался решать эту задачу, и даже не читал, что Вы в ней написали. Просто, поскольку ни одна зараза не хотела решать мою очаровательную и простецкую задачу про недоотрытую колонну, я от скуки решил внести свою лепту в эту задачу, особенно после долгой и бесплодной возни с хрипуновскими вывернутыми квадратами. Тоже ведь чтобы повысить самооценку. И начал пытаться решать и писать. Хотя я сильно рисковал, ибо тоже не умею такие решать, как и самодостаточный Странник.

    Сначала моя лепта ограничивалась графическим решением, а также решением до того шага, до которого, как потом выяснилось, уже раньше дорешали и Вы. Только у меня путь к этому оказался попроще, как мне кажется, и без всякой арифметики. И только после того момента я стал смотреть сообщения в этой теме. И когда увидел, что фортпост не удовлетворён, я стал дальше думать.

Дальше ирония судьбы. Слова фортпоста «Можно обойтись обыкновенными дробями, числители и знаменатели которых не больше 10» и «Это решение приближенное, а надо точное», и особенно его слова «5/9 и 10/9 - Ага, это оно!» сильно сбили меня столку. Я подумал, что решение 5/9 и 10/9 вообще единственное или, по крайней мере, что решение должно содержать ТОЛЬКО положительные дроби типа n/m при n, m не больше 10. Именно поэтому, в первую очередь, я вчера ограничился целочисленным n.

Не знаю, стал ли бы я дальше заниматься решением этой задачи и думать о расширении значений n на всю числовую ось, но Ваше рвение заставило меня ещё немного подумать.

Действительно, Вы правы – n может быть произвольным числом. Не правы только в словах «главное что бы n было больше нуля». К счастью, n может быть и отрицательным.
И у меня для вещественности n есть два «доказательства» (или, скорее, иллюстрации).

1) Просто подставляем мои (да, и Ваши тоже  ;D ) формулы из
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,9141.msg76584.html#msg76584
в условие задачи, т.е. в

a^2 + b^2 = a^3 + b^3

и убеждаемся, что всё без проблем сокращается. Причём при проведении сокращений нигде не возникает необходимость и не подразумевается, чтобы n было целым, положительным или рациональным. Для того, чтобы всё сократилось и соблюдалось равенство a^2 + b^2 = a^3 + b^3, n может быть ЛЮБЫМ. Там только для точек n = 1 или -1 исключение, ибо тогда в знаменателе 0.

2) смотрим на графики функций f(x) = x^3 – x^2 и f(x) = x^2 – x^3
https://ibb.co/essnBS
и видим, что они нормальные, непрерывные и дифференцируемые на всей числовой прямой. Кроме того, эти функции начинаются в точках (-∞, -∞) и (-∞, +∞), соответственно, и заканчиваются в точках (+∞, +∞) и (+∞, -∞), соответственно. Это значит, что a и b могут принимать ЛЮБЫЕ значения от  -∞ до +∞. А любое значение для а или b мы не можем обеспечить только натуральными и рациональными n. Значит n просто обязано быть вещественным.

Далее, смотрим на две пары графиков для
a1 = (n2 + 1) / (n3 + 1)
b1 = (n3 + n) / (n3 + 1)
и
a2 = - (n2 + 1) / (n3 - 1)
b2 = (n3 + n) / (n3 - 1)

Для первой пары a1 и b1
http://yotx.ru/#!1/3_8P3Ns/2zfSOG8L@2j9liPGK39jdB@6f7Rgzhf21/Y299B7q1u72xt34B3drdP9gn0bAbWzAE4/GA8Xiwu7@1v7G3fgHd293e2Fu/gG7t7h/sk2jYjZ2zM8bj1tYl43ELsbu/tQ8E

Для второй пары a2 и b2
http://yotx.ru/#!1/3_8P3Ns/2zfSOG8L@2j9lhPGJ39jdB@6f7Rgzhf21/c2NvfQe6tbu9sbd@sbm1u3@wT6JhNw4Yj1sXp4zHg939rf2NvfUL6N7u9sbe@sXm1u7@wT6Jht0AHTAed0BbjEfQwe7@1j4C

Для обеих пар a1 и b1 и a2 и b2
http://yotx.ru/#!1/3_8P3Ns/2zfSOG8L@2j9liPGK3eI@YHcYjdmd/E7R/um/EEP7X9jf21negW7vbG3vrF9Ct3f2DfRINu7EFQzAeDxiPB7v7W/sbe@sX0L3d7Y299Qvo1u7@wT6Jht3YOTtjPG5tXTIetxC7@1v7mxt76zvQrd3tjb31i82t3f2DfRINu3HAeNy6OGU8Huzub@1v7K1fQPd2tzf21i82t3b3D/ZJNOwG6IDxuAPaYjyCDnb3t/YBBw==

Что видим?
Во-первых, видим, что эти графики определены по n для всей числовой прямой, за исключением n = ±1.
А во-вторых, что ещё более важно, что значения а и b непрерывны от  -∞ до +∞ (за исключением a, b = 0), т.е. при непрерывном изменении n они дают непрерывное изменение a, b.
А что с натуральными или рациональными числами n и соответствующими им значениями a и b? Это - лишь точки на непрерывной прямой.
     Это автоматически значит, что у натуральных чисел нет никакого преимущества перед остальными числами, в том числе и отрицательными.

Вообще-то, я уже на более раннем этапе своих изысканий, когда проверял свои заготовки формул на калькуляторе, видел, что n может быть не только рациональным числом. Просто мне вбилось в голову, что фортпост  хотел именно точные числа, поэтому я автоматически отбрасывал все нерациональные числа. А если брать только целое n, то мы гарантировано получали числа a и b в виде дробей, т.е. в точной записи.

А в чём же тогда ирония судьбы, что я сначала думал (с неумышленной подачи фортпоста), что n - только натуральные? А в том, что именно ложное «требование» (точнее, стремление к обеспечению) рациональности чисел a и b (вида n/m) и привело меня к нахождению решения. Как-то пытаясь обеспечить рациональность чисел a и b, я начал делать некоторые преобразования, что и вывело меня именно на нужные формулы. Типа как сопутствующий эффект. Ну а потом мне оставалось сделать последний шаг – обобщить n на любое число, до чего у меня вчера не дошли руки и сон поборол. Но, без Вашего желания сказать последнее слово и поставить точку, и без Вашего желания притянуть это к более произвольным числам, я, возможно, и не стал бы этим заниматься.

▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐

Теперь, чисто до кучи, я опишу самое начало моего рассмотрение, которое привело меня к тем же выводам, которые, как оказалось, были и у Вас по началу.

Я начал решать не прочитав посты в этой теме. И когда типа «решил», то оказалось, что моё первое «решение» привело к тому же сухому остатку, что и у Раце. Только он (сухой остаток) у меня получился более лёгкими и короткими рассуждениями, как мне кажется, чем у Раце.

Я рассуждал так:

Берём исходное условие

a2 + b2 = a3 + b3

и переписываем его в виде

a3 - a2 = - (b3 – b2)

Если обозначить, что a3-a2 — это некая функция F, то получается наипростейшее соотношение

F = -F

Т.е. всё, что нам надо сделать – это подсунуть в F = f(x) какое-нибудь число X, получить ответ Y, а потом решить уравнение f(x) = -Y.
Т.е. берём a3 - a2, подставляем в него любое а, получаем некое А, а потом решаем уравнение

b3 – b2 = -A.

Это совпадает с тем, что Раце написал. Только он шел до этого как-то дольше и сложнее.

На тот момент мне тоже казалось, что задача уже решена, и нужно просто для каждого А решать кубические уравнения вида
b3 – b2 + A = 0.

Хотя решать кубические уравнения в общем виде с параметрическим членом А – это задача достойная целого института, мне казалось, что это удовлетворит фортпоста. Тем более, что я надеялся, что неполное куб. ур. с нулевым линейным членом решается как-то просто.
Но я порылся в инете, и не нашел ничего о решении такого неполного куб. ур.. А сам я не придумал, как его решать.
Но когда я увидел ненарочно введшие меня в заблуждения слова фортпоста, что решения должны быть вида n/m, я сделал два очень важных шага –

1) я сообразил, что если число а имеет вид a = m/n, а число b имеет вид b = k/l, то их можно привести к общему знаменателю n∙l и дальше решать задачу для целочисленных решений вида a = Q и b = S, где  Q и S – целые числа.

2) В процессе моего решения у меня оставалось всё ещё кубическое уравнение, симметричное по Q и S, где оба Q и S были в третьей степени. Точнее, вид уравнения был типа
S^2(P-S) = Q^2(Q-P)

Изначально Q и S у меня могли быть любыми целыми числами. Но, поставив ограничения-зависимости на P и S типа P = Q+T (где Т – целочисленный параметр, аналог n) и S = P+1, мне удалось снизить степень уравнения с кубического до квадратного. И дальше всё пошло несравнимо легче. Решал это квадратное уравнение по общей формуле типа Виета для двух корней х1 и х2. Там у Виета есть квадратный корень, но под корнем подстановкой заменил на целое число в квадрате. И всё.
   То, что в ответе получились две пары чисел a и b – это лишь следствие знака ± перед корнем от дискриминанта в формуле Виета.

Как видите, у нас с Раце были совершенно разные пути к решению. Правда, Раце было на порядок легче, ибо он уже знал правильный ответ (мой ответ)  )))))

Вообще, хотя я не врубался в решение Раце (мне это тяжело), но я вижу, что у него более систематичный, последовательный, аналитичный, рутинный и научный подход. У меня же – наоборот – эвристический и творческий, созерцая и наблюдая, подразумевающий некое везение. Ну, это только дуракам типа меня везёт. Всё, что я делал, для кого-то более умного будет тоже рутина.

▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐

В заключение хочу привести некоторый мой анализ графика, который я собирался изначально написать, но теперь это уже не актуально. Но всё же.

Мне почему-то казалось, что fortpost хотел, чтобы числа a и b были положительные. Поэтому надо было определить, в каких интервалах могут барабаться a и b, чтобы оба оставались положительными.

Строим график функции Y = x3 – x2 на сайте yotx.ru.

http://yotx.ru/#!1/3_8P3NAwZsf4sB2jdiCP9r@5gtxiN2a39za39r34gh/K/t761fbO6t7@wf7JNo2I0tGILxeMB4PNjd39oHBQ==

Из графика видно, что он имеет два экстремума. Точки экстремумов находим стандартно по приравниванию производной нулю:
(x^3 – x^2)’ = 3х^2 – 2х = 0   =>   x(3x - 2) = 0
Получаем х экстремумов: х1 = 0; х2 = 2/3.
При х = 2/3 функция f(x) = x3 – x2 = - 4/27. Т.е. F = -4/27 – это минимальное значение f(x) при положительном х. Но ранее мы получили соотношение F = -F. Значит МАКСИМАЛЬНОЕ значение Fmax = 4/27. Решая
x3 – x2 = 4/27
получаем х = 1.1184337992 (в онлайн калькуляторе).
Т.е. наши числа должны барабаться в интервале от 0 < a < 1.1184337992, чтобы оба были положительными. Причём одно из чисел должно лежать в интервале
0 < a < 1, что даёт отрицательное значение f(x), и тогда b окажется в интервале  1 < b < 1.1184337992, где f(x) > 0. Или наоборот.


Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #35 : 15 Февраль 2018, 23:09:10 »
Да действительно, Вы правы, n может быть и отрицательным.

Гипотеза о положительности возникла из анализа уравнения, еще из первого решения, a>=1; b=<1 либо наоборот.
На глаз, при n>0, такое соотношение выходит автоматически, а вот при n<0 надо было анализировать.

Теперь следующее, для

a=(n2+1)/(n3+1), вариант n=0 вполне подходит, получаем:
a=1, b=0.
Так же подходит вариант n=1 имеем a=b=1
выпадает точка n=-1.

а для a=(n2+1)/(n3-1)
только точка n=1. n=0 a=-1
n=-1 a=-1=-1.



Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #36 : 16 Февраль 2018, 15:34:00 »
для любого a:-1<=a<=1/3 b=(-a-1+/-sqrt(1-2a-3a2))/2
например a=-1/2 b=(-1+sqrt(5))/4
в условии вроде бы не сказано что числа не могут быть иррациональными?

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #37 : 16 Февраль 2018, 16:08:05 »
для любого a:-1<=a<=1/3 b=(-a-1+/-sqrt(1-2a-3a2))/2
например a=-1/2 b=(-1+sqrt(5))/4
в условии вроде бы не сказано что числа не могут быть иррациональными?

a=25/172 <1/3 b=175/172 Є R.

Не обязательно иррациональными, могут и рациональными.
« Последнее редактирование: 16 Февраль 2018, 16:13:23 от Race »

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #38 : 16 Февраль 2018, 17:38:43 »
чтобы b получилось рациональным нужно взять a=1/(1+m/n+n/m)
например m=2 n=3 a=6/19 b=-15/19  или -10/19

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #39 : 16 Февраль 2018, 17:48:32 »
Указанные вами пары не есть верными.
Проверьте ошибку. a и b не могут быть одновременно меньше единицы. А у Вас именно так.
Как минимум на действительном поле.
« Последнее редактирование: 16 Февраль 2018, 17:54:01 от Race »

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #40 : 16 Февраль 2018, 18:50:42 »
это я плохо на условие посмотрел
это решение для задачи a2+a3=b2+b3

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #41 : 16 Февраль 2018, 20:14:15 »
я не пойму решили тут эту задачу или нет. написано всего много а решается она в две строчки
так как a<>0 то a2(1+(b/a)2)=a3(1+(b/a)3. положим b/a=q. a=(1+q2)/(1+q3), b=q(1+q2)/(1+q3), q<>-1,0,1.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #42 : 16 Февраль 2018, 21:19:21 »
Если не брать в расчет ограничение по кью, и добавить в знаменатель вместо + плюс-минус, то это и будет решением задачи.

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #43 : 16 Февраль 2018, 22:33:30 »
я не пойму решили тут эту задачу или нет. написано всего много а решается она в две строчки
так как a<>0 то a2(1+(b/a)2)=a3(1+(b/a)3. положим b/a=q. a=(1+q2)/(1+q3), b=q(1+q2)/(1+q3), q<>-1,0,1.


Молодец! Но это только пол решения. Надо сделать ещё и вторую замену:

b/a = -q

И тогда получите вторую, недостающую пару решений

a2 = - (x2 + 1) / (x3 - 1)
b2 = (x3 + x) / (x3 - 1)


Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #44 : 17 Февраль 2018, 03:51:47 »
я не предполагал что q принимает только положительные значения. если q=-x где x>0 то получаем эти формулы. так что вторая пара решений здесь не нужна.