Автор Тема: Квадраты = кубам  (Прочитано 1411 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1691
    • Просмотр профиля
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #15 : 14 Февраль 2018, 01:57:15 »
Подбором несложно получить только подбором неинтересно. А аналитически я такие не умею решать.

Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #16 : 14 Февраль 2018, 03:52:59 »
forpost,
a и b є R?
Не обязательно.

Для произвольных чисел мы решили, как бы...
Это решение приближенное, а надо точное.

Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #17 : 14 Февраль 2018, 03:55:20 »
Подбором несложно получить только подбором неинтересно. А аналитически я такие не умею решать.
Ага, это оно! А аналитическое решение совсем простое.

Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #18 : 14 Февраль 2018, 23:06:43 »
Fortpost! Для Вашей задачи про кубы и квадраты я, полуаналитическим путём, нашёл ещё одну пару точных чисел
17/65 и 68/65,
так что подождите, не публикуйте правильный ответ, пока я свои мыслишки не сообщу Вам и остальной гопкомпании.


Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #19 : 14 Февраль 2018, 23:08:12 »
Fortpost! Для Вашей задачи про кубы и квадраты я, полуаналитическим путём, нашёл ещё одну пару точных чисел
17/65 и 68/65,
так что подождите, не публикуйте правильный ответ, пока я свои мыслишки не сообщу Вам и остальной гопкомпании.


Fortpost! Для Вашей задачи про кубы и квадраты я, доработанным путём, нашёл ещё две пары точных чисел:

13/63 и 65/63  ;

37/217 и 222/217.

И раньше ещё было 17/65 и 68/65. И дальше будет до бесконечности как по конвейеру.

Так что я нашёл почти полностью аналитическое решение для одной из возможных бесконечных серий решений.
Так что подождите, не публикуйте правильный ответ, пока я не оформлю решение до конца. Но это уже завтра. И буду Странника учить, который мямлит «А аналитически я такие не умею решать». Хоть Странник ни черта ничо решать не умеет, но хорошо, что у Странника есть мозги. Они называются «Головотяп».


Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #20 : 14 Февраль 2018, 23:09:19 »
Fortpost! Для Вашей задачи про кубы и квадраты я, полуаналитическим путём, нашёл ещё одну пару точных чисел
17/65 и 68/65,
так что подождите, не публикуйте правильный ответ, пока я свои мыслишки не сообщу Вам и остальной гопкомпании.


Fortpost! Для Вашей задачи про кубы и квадраты я, доработанным путём, нашёл ещё две пары точных чисел:
13/63 и 65/63  ;
37/217 и 222/217.
И раньше ещё было 17/65 и 68/65. И дальше будет до бесконечности как по конвейеру.

Так что я нашёл почти полностью аналитическое решение для одной из возможных бесконечных серий решений.
Так что подождите, не публикуйте правильный ответ, пока я не оформлю решение до конца. Но это уже завтра. И буду Странника учить, который мямлит «А аналитически я такие не умею решать». Хоть Странник ни черта ничо решать не умеет, но хорошо, что у Странника есть мозги. Они называются «Головотяп».

Для

www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,9141.0.html

Не выдержал ждать до завтра, и, дико борясь со сном, вот, нет сил уже писать вывод формул, потом напишу (если добрый буду), а пока только сами формулы. Это семейство решений, конечно, не единственное из точных и аналитически задаваемых.


Ниже n означает натуральные числа, начиная с 2 и больше, т.е. n = 2, 3, 4, 5, 6 ... .

Каждое n даёт ДВЕ пары искомых чисел.


Первая пара (оба числа положительные):

a1 = (n2 + 1) / (n3 + 1)

b1 = (n3 + n) / (n3 + 1)


И вторая пара (одно число положительное, а второе - отрицательное):

a2 = - (n2 + 1) / (n3 - 1)

b2 = (n3 + n) / (n3 - 1)

==========================

Проверено электроникой. Но вы там все ещё проверьте, а то я уже давным давно невменяемый, и на автопилоте сквозь сон.
Кстати, это решение - моя реабилитация за 33 богатырей. Я на половине решения 33 б-рей бросил, отложив в долгий я щик. Но я ещё не сдался и не читал чо вы там все понаписали.

Если всё правильно, то цветы - в машину, аплодисменты - в студию, а Страннику - мороженное.

==================

А, да, вот ещё графическое решение. График функций f(x) = x3 - x2 (синий) и f(x) = x2 - x3 (красный)

https://ibb.co/essnBS


Пи.Ссать. Если хоть кто-нибудь решит мою чудесную и простую задачу про недоотрытую колонну, я ему персонально и по секрету расскажу, как я выводил эти формулы. А то пообнаглели все, мои задачи игнорировать, а не мои - решать..

Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #21 : 14 Февраль 2018, 23:10:22 »
И буду Странника учить, который мямлит «А аналитически я такие не умею решать».
Это была специальная такая, жирная наживка для Вас!  ;D

Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #22 : 14 Февраль 2018, 23:23:43 »
Не согласен с формулировкой forpost потому напишу сюда.
1. В условии не было ни слова про то что а и б должны быть рациональными.
2. В условии не было ни слова про то что требуется точный ответ.

forpost,
a и b є R?
Не обязательно.
В каких случаях сумма квадратов двух чисел может быть точно равной сумме кубов тех же чисел?

Вся мощная аналитика решения Головотяпа зиждется на:
1.(х22)z=x3+y3
В этом случае, вводим:
x/z=a y/z=b
Имеем:
(x2+y2)/z2=(x3+y3)z3=z(x2+y2)/z3=(x2+y2)/z2

То есть задача преобразовывается в
нахождения некоторой тройки натуральных чисел, для которых выполняется условие:
22)z=x3+y3 =>z=(x3+y3)/(x2+y2)=(x+y)(x2-xy+y)/(x2+y2)=(x+y)(1-xy/(x2+y2)

Не буду глубоко анализировать, копну с поверхности:
x=7 y=3*7
x+y=4*7=28
xy=147
x2+y2=490
xy/(x2+y2)=0.3
(x+y)(1-xy/(x2+y2)=28*0.7=19.6

Вот еще одна мега пара найдена...

a=70/196=10/28=5/14 b=210/196=30/28=15/14

Проверяем 125+3375=3500/2744=250/196=25+225


Наиболее просто находить такие комбинашки задавшись:

y=nx
Тогда имеем:
xy=nx2
x2+y2=x2(n2+1)
k=xy/(x2+y2)=n/(n2+1)

n=1 k=1/2=0.5
x=y=1
z=2*0.5=1
a=b=1

n=2 k=2/5=0.4
x=1 y=2
z=3*0.6=1.8
a=5/9 b=10/9

n=3 k=3/10=0.3
x=1 y=3
z=4*0.7=2.8
a=5/14 b=15/14

n=4 k=4/17 (c k которое нельзя отобразить в десятичной дроби разберусь потом)

n=5 k=5/26

n=6 k=6/37

n=7 k=7/50=0.14
x=1 y=7
z=8*0.86=6.88
a=25/172 b=175/172

Ну и так далее, осталось только разобраться в рациональных значениях кое-нта k.


Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #23 : 14 Февраль 2018, 23:25:49 »


Для

www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,9141.0.html

Не выдержал ждать до завтра, и, дико борясь со сном, вот, нет сил уже писать вывод формул, потом напишу (если добрый буду), а пока только сами формулы. Это семейство решений, конечно, не единственное из точных и аналитически задаваемых.


Ниже n означает натуральные числа, начиная с 2 и больше, т.е. n = 2, 3, 4, 5, 6 ... .

Каждое n даёт ДВЕ пары искомых чисел.


Первая пара (оба числа положительные):

a1 = (n2 + 1) / (n3 + 1)

b1 = (n3 + n) / (n3 + 1)


И вторая пара (одно число положительное, а второе - отрицательное):

a2 = - (n2 + 1) / (n3 - 1)

b2 = (n3 + n) / (n3 - 1)

==========================

Проверено электроникой. Но вы там все ещё проверьте, а то я уже давным давно невменяемый, и на автопилоте сквозь сон.
Кстати, это решение - моя реабилитация за 33 богатырей. Я на половине решения 33 б-рей бросил, отложив в долгий я щик. Но я ещё не сдался и не читал чо вы там все понаписали.

Если всё правильно, то цветы - в машину, аплодисменты - в студию, а Страннику - мороженное.

==================

А, да, вот ещё графическое решение. График функций f(x) = x3 - x2 (синий) и f(x) = x2 - x3 (красный)

https://ibb.co/essnBS


Пи.Ссать. Если хоть кто-нибудь решит мою чудесную и простую задачу про недоотрытую колонну, я ему персонально и по секрету расскажу, как я выводил эти формулы. А то пообнаглели все, мои задачи игнорировать, а не мои - решать..
Ого) Интересный подход. Только необычно для Вас то, что Вы совершенно не дали никакого объяснения и доказательства.

Мой подход полностью обоснован и изложен, хотя конечно остались проблемы с коэффициентом k...

Ваш же подход полностью охватывает весь ряд натуральных чисел.

Понаписали Вы конечно, пока я пару часов пытался выкроить время на написание собственного опуса.

ЗЫ. Теперь я ухожу в подполье, а Вы мои посты копипастите в тему forpost  :rest:

Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #24 : 14 Февраль 2018, 23:26:48 »
Ура.
Я доработал свой метод,  до конца (пока только для положительных a и b). И главное, в отличие от Гудвина Головотяпа, полностью его доказал!
n=5 k=5/26
z=6*21/26
a=13/63 b=5a=65/63

n=6 k=6/37
z=7*31/37=217/37
a=37/217 b=6a=222/217

n=8 k=8/65
z=9*57/65=513/65
a=65/513 b=8a=520/513


Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #25 : 14 Февраль 2018, 23:28:03 »
Доработал мой метод и для ab разных знаков.

1. a и b положительные.

a=x/z b=y/z y=nx

z=x(1+n)(1-k)

k=n/(1+n2)

n є N

a=1/[(1+n)(1-k)] b=n/[(1+n)(1-k)]

2. a и b разных знаков:

a=x/z b=-y/z y=nx

z=-x(n-1)(1+k)

a=(-1)/[(n-1)(1+k)] b=n/[(n-1)(1+k)]



Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #26 : 14 Февраль 2018, 23:29:12 »
Ура.
Я доработал свой метод,  до конца (пока только для положительных a и b). И главное, в отличие от Гудвина Головотяпа, полностью его доказал!


Ув. тов. Раце. Вы верно заметили, что я не привёл вывод своих формул, что не типично для меня. В доказательстве они не нуждаются, так как доказательство – это просто подставить их в условие задачи, и убедиться (что я, кстати, сам не делал ещё, ибо мне спать уже часов 6 как пора, и щас я не буду это делать, ибо сил нет).

Но Вы опять невнимательно прочитали мои сообщения. Я там сразу предупредил, что пока без вывода, только сами формулы. Но это не значит, что я их не вывел. Иначе откуда я их взял? Случайно такие не придумаешь. И ещё я не дал вывода потому, что вывод у меня получился такой ошизохренительный и нетривиальный, что его писать у меня больше часа займёт, а оптимизировать и сокращённо писать мне неохота. Там творчества немеренно. Я всю ночь работал над этой задачей и 3аjе6ался не на шутку.

Кроме того, если будет хоть чьё-то решение моей задачи про колонну, то я обещал, что точно выложу вывод моих формул.

Но красоте моего решения нет равных – чисто в общем виде для произвольного n - просто голенькие n-очки безо всяких там конкретных частных случаев с цифрами. Сразу все решения в мире.

Вы там всё время говорите о "Своём методе". Но тут никакой метод не нужен, а нужны голые формулы в общем виде с ОДНИМ только параметром n для нахождения ЛЮБОЙ пары чисел числа.

Если в мои две пары формул вставить знак "±", то будет вообще только одна пара формул. Но я это завтра сделаю


Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #27 : 14 Февраль 2018, 23:30:21 »
Самое интересное, что если в моем решении заменить k на n, то оно полностью продублирует конечный результат Головотяпа, опубликованного без объяснения...

Думаю можно считать, что задача решена полностью.

Но вот само условие я бы немного подкорректировал, на мой взгляд корректнее было бы указать что либо a, b є R, либо запретить пользоваться Кордано-Виетами.

Задача получилась безусловно интересной) Не взирая на то, что я и Головотяп её решили параллельно, но решение в общем виде первый опубликовал Головотяп, потому право на публикацию в соответствующей теме явно принадлежит ему.

Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #28 : 14 Февраль 2018, 23:32:06 »
Ув. тов. Раце. Вы верно заметили, что я не привёл вывод своих формул, что не типично для меня. В доказательстве они не нуждаются, так как доказательство – это просто подставить их в условие задачи, и убедиться (что я, кстати, сам не делал ещё, ибо мне спать уже часов 6 как пора, и щас я не буду это делать, ибо сил нет).

Но Вы опять невнимательно прочитали мои сообщения. Я там сразу предупредил, что пока без вывода, только сами формулы. Но это не значит, что я их не вывел. Иначе откуда я их взял? Случайно такие не придумаешь. И ещё я не дал вывода потому, что вывод у меня получился такой ошизохренительный и нетривиальный, что его писать у меня больше часа займёт, а оптимизировать и сокращённо писать мне неохота. Там творчества немеренно. Я всю ночь работал над этой задачей и 3аjе6ался не на шутку.

Кроме того, если будет хоть чьё-то решение моей задачи про колонну, то я обещал, что точно выложу вывод моих формул.

Но красоте моего решения нет равных – чисто в общем виде для произвольного n - просто голенькие n-очки безо всяких там конкретных частных случаев с цифрами. Сразу все решения в мире.

Вы там всё время говорите о "Своём методе". Но тут никакой метод не нужен, а нужны голые формулы в общем виде с ОДНИМ только параметром n для нахождения ЛЮБОЙ пары чисел числа.

Если в мои две пары формул вставить знак "±", то будет вообще только одна пара формул. Но я это завтра сделаю


Ну хз, у меня в общем виде, вместе с оформлением решение заняла часа 3.
В моих постах все выведено от а до ять. Метода там действительно нету, максимум есть использование формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов, не более того.
Правда со мной сыграла злую шутку любовь к коэффициентам, но повторюсь, если в моем решении подставить k, выраженную через n, то оно полностью продублирует ваше.

Оффлайн fortpost

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Квадраты = кубам
« Ответ #29 : 14 Февраль 2018, 23:33:34 »
Извиняюсь что столько понаписал, на сегодня последнее сообщение.

На данный момент и мое и Головотяпа решение охватывает все n  є N
Но, почему n обязательно должно принадлежать N, а не R. Это пока не доказано. И как это доказать, я на данный момент не вижу.

Грубо говоря мы свели задачу к

x2(1+n2)=x3(1+-n)3
Для данного уравнения найдены все х для n є N.
Осталось либо доказать что a не может быть равно Rb, либо найти решение уже для такого соотношения.

К примеру 2a=3b и так далее и тому подобное.