Автор Тема: Дуга на клочке бумаги  (Прочитано 1522 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5500
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Дуга на клочке бумаги
« : 30 Январь 2018, 10:59:45 »
У вас в распоряжении полоска бумаги ограниченной ширины, все построения должны уместиться на ней.
На самом краю отмечены две точки. На плоскости проведена окружность.  Центр любой дуги, проходящей через две эти точки и пересекающей окружность, будет находиться  за пределами полоски. Окружность расположена по центру полоски.
Нужно с помощью циркуля и линейки построить точку касания  дуги, проходящей через две точки, и окружности ( неважно, какого края).
« Последнее редактирование: 30 Январь 2018, 13:40:09 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #1 : 30 Январь 2018, 14:01:35 »
Все таки выложу решение для полуплоскости, жалко времени)

Рис. 1. На нем мы построили центральную проекцию точек А и В и определили ось проекции (прямую 7)

Рис. 2. Определили радикальную точку, через которую будет проходить радикальная ось, для заданной и искомой окружностей.

Рис. 3. Строим поляру точки Р относительно окружности, так как радикальная ось будет являться касательной к заданной и проходить через точку Р. Точка пересечения поляры и окружности даст нам точку касания касательной, а так же точку касания проекции дуги A'B' т. K'. Отражаем её относительно оси проекции, получаем искомую точку К.

Не пронумеровал красную окружность.
Итого, используя идею Головотяпа с зеркальной проекцией я управился за 20 действий.
« Последнее редактирование: 30 Январь 2018, 14:36:10 от Race »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5500
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #2 : 30 Январь 2018, 17:45:05 »
Race, все точно по первоначальному условию.  Я, конечно же загадывал другое решение, но не смог наложить нужные ограничения. Теперь внес.
Поскольку условие уже не редактируется, еще ограничение:
- У нас нет циркуля, но есть прямоугольный треугольник.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #3 : 30 Январь 2018, 17:54:19 »
Я уже даже Вашу старую задачу раскопал.
Там где я познакомился с радикальными осями впервые.
Пока понял что:
1. Если заданы точка А и В, то радикальный центр для заданной и пучка возможных окружностей будет находиться на прямой АВ.
2. Расстояние до точки Р (радикального центра), должно быть строго завязано на величине и расположении отрезка АВ, центре заданной окружности и её радиусе.

Но вот как это вычислить, ума не приложу.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #4 : 30 Январь 2018, 19:21:49 »
... и определили ось проекции (прямую 7)...
А она зачем нужна? Только чтобы отразить точку К'? А разве нельзя просто провести межцентровую прямую K'O?
Центральная симметрия же.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #5 : 30 Январь 2018, 19:42:03 »
Дома нету интернета, заранее извините за ошибки.
Решил исходную с циркулем.
1 строим дугу АВ максимальным возможным радиусом.
2. Строим произвольную окружность пересекоющую АВ и окружность.
3. Строим радикальную ось. Точка пересечения радикальной и прямой АВ —т. Р.
4. Из Р строим касательные к окружности, задача решена.


Осталось придумать с угольником.

Странник, решение не оптимизирвано. К примеру A'B' и Р должны находиться на 1 прямой, и тд.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5500
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #6 : 30 Январь 2018, 20:54:50 »
Дома нету интернета, заранее извините за ошибки.
Решил исходную с циркулем.
1 строим дугу АВ максимальным возможным радиусом.
2. Строим произвольную окружность пересекоющую АВ и окружность.
3. Строим радикальную ось. Точка пересечения радикальной и прямой АВ —т. Р.
4. Из Р строим касательные к окружности, задача решена.


Осталось придумать с угольником.

Странник, решение не оптимизирвано. К примеру A'B' и Р должны находиться на 1 прямой, и тд.

Корректное решение.

Осталось найти способ построения без циркуля, но с прямоугольным угольником. Он очень лаконичен: можно провести всего 8 прямых линий( это если центр данной окружности отмечен на чертеже, и нам не нужно "химичить", чтобы его найти).
« Последнее редактирование: 30 Январь 2018, 21:16:37 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #7 : 31 Январь 2018, 13:00:52 »
hripunov,
В общем, у меня пока не вышло. Потому прошу еще одну подсказку:
Имеет ли значение какой у нас угольник. 45 на 45, 30 на 60, или это без разницы?:) И требуется только возможность построения перпендикуляров?

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5500
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #8 : 31 Январь 2018, 13:15:12 »
hripunov,
В общем, у меня пока не вышло. Потому прошу еще одну подсказку:
Имеет ли значение какой у нас угольник. 45 на 45, 30 на 60, или это без разницы?:) И требуется только возможность построения перпендикуляров?

Значит, задачка получилась.  Хорошо, когда голову ломаешь, а потом находится решение.
Угольник - только для перпендикуляров.
В виде намека на закономерность, которая используется в этой задаче, выложу в другой теме одну задачку, которая посвящена закономерности, о которой не все знают.
« Последнее редактирование: 31 Январь 2018, 15:47:15 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Удалец

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #9 : 04 Февраль 2018, 18:36:33 »
я правильно понимаю, что при решении задачи можно было использовать циркуль?

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5500
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #10 : 04 Февраль 2018, 20:55:19 »
я правильно понимаю, что при решении задачи можно было использовать циркуль?

Нет, циркуль отменен для пущего усложнения .  С циркулем слишком просто.  Условие скорректировано в "Ответ #2".  Есть прямоугольный угольник для опуска перпендикуляров, а циркуля нет.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #11 : 05 Февраль 2018, 16:16:46 »
При решении данной задачи Головотяп решил еще более сложную, на мой взгляд, а именно:

Заданны 3 касающихся окружности 1 и 2 внешним образом, 1 и 3я внутренним.
1я - окружностью.
2я и 3я - 2мя общими точками.
Построить поляру т. Р (радикального центра, для 3 окружностей) на 1 окружности.


Разобрался я с 1 решением Головотяпа.
Элегантно. Автор воспользовался заданной окружностью и её центром, что бы получить равновеликие катеты.
В двух прямоугольных треугольниках. Прямые углы получены исходя из того, что касательные перпендикулярны к радиусу.
В итоге он получил 2 точки окружности (основания высот прямоугольных треугольников, опущенных на гипотенузы. Проходящей через т. А  и В и пересекающих заданную.
Что интересно, радикальная ось для построенной и заданной окружности, пройдет через т. Пересечения AG и ВН (в обозначениях рисунка автора) т. Е. Более того, именно через эту точку пройдет и поляра заданной окружности, относительно радикального центра.
Так же, найдена еще 1 чудесная закономерность, а именно, если перенести задачу с прямоуглами на наши дугу и окружностью, то прямая построенная через основания высот, всегда пересечет прямую проведенную через свободные вершины треуглов в радикальном центре. Почему не знаю) Прямая првоеденная через точку Е, которую Головотяп просто обязан был назвать точкой "Джи" (всем бы потом объяснял что в честь 1 буквы его ника, с гордостью!) пройдет общая радикальная ось дуги а заданной окружности.
« Последнее редактирование: 05 Февраль 2018, 17:43:03 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #12 : 05 Февраль 2018, 19:55:04 »
Продолжение того, что прошу опубликовать:
2) Это - первое из моих 4х решений задачи хрипунова, и оно должно идти в тему


Оказалось, что во многих случаях данное решение работает и на узкой полоске бумаги. По крайней мере в случае рисунка из условия точно работает. Но можно подобрать такое расположение, что не будет работать. Буду думать, как это обойти.

https://ibb.co/c0csb6

По сути, здесь у меня сохранилось моё предыдущее решение, где я облажался с непонятым условием (к неописуемой радости Странника), но с привинченным костылём в виде параллельного переноса заданного круга вниз так, чтобы он наехал на разрешённую условием дугу, проходящую через точки А и В.
   Но вы не думайте, что я просто тупо не думая сделал парал. перенос, а он, случайно оказалось, что работает. На самом деле это вовсе на параллельный перенос, как это кажется на первый взгляд, а отражение запрещённой дуги с центром, расположенным выше края бумаги и проходящей через заданный круг, относительно края бумаги. А какя разница с парал. переносом в данном случае? А такая, что расстояние для смещения заданного круга удваивается, т.е. равно не |JC|, а |CC'| (или |JJ'|, если смотреть второй рисунок по ссылке ниже). Удвоение смещения имеет место именно при зеркальном отображении, а не при парал. переносе.
   Параллельный перенос части ансамбля (а не всего ансамбля), сам по себе, вовсе не должен работать. Это же не создание копии или подобия всего рисунка, о чём я говорил ранее. Поэтому я такое даже не стал бы и пробовать.
    Я начал делать параллельный перенос только после того, как увидел (такое моё маленькое "открытие"), что не только сами дуги, проходящие через точки А и В и через заданный круг, дают нужные точки D и E, но также и отражения этих дуг от прямой АВ. И это не удивительно, ведь центры отраженных дуг точно так же лежат на серединном перпе к отрезку АВ.

    Смотрите второй рисунок

https://ibb.co/mDNE66

- зелёная дуга с центром J не пересекает заданный чёрный круг, согласно условию задачи. Но её отражение от линии АВ - сизая дуга с центром в J' пересекает заданный круг в точках D и E. И эти точки D и E тоже дают ту же самую нужную точку F.
  Но центр J' лежит в запрещённой зоне, и , как говорил Раце, "построить такую дугу вообще невозможно". Также и отразить верхнюю часть зелёной дуги, лежащей в запрещённой зоне, я тоже не знаю как, даже циркулем.
  К счастью, круг - настолько симметричная фигура, что для него что отражение, что парал. перенос - один хрен. И его зеркальное отражение от зелёного к сизому - это тоже самое, что парал. перенос вверх на расстояние JJ'. Но это сделать невозможно. Зато возможно перенести вниз заданный круг, получить нужные точки D' и E' от его пересечения с зелёной дугой, а потом их вернуть вверх.
  Для проверки правильности точки F, полученной таким способом, нарисована "невидимая" дуга с центром в самой верхней красной точке, и эта дуга касается заданного круга в точке К.


Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #13 : 05 Февраль 2018, 20:04:00 »
Продолжение:
3) Это - второе из моих 4х решений задачи хрипунова

------------

Полоска может быть максимально узкой, даже практически касаться заданного круга, оставляя стремящийся к нулю зазор между кругом и прямой АВ, а снизу – так вообще обрезать круг почти до его центра. Что касается расположения и диаметра круга - честно говоря, не особенно пробовал, но, по идее построения, там не должно быть теоретических ограничений.

   Я не смотрел намёки хрипунова, благодаря которым, как я понял, всё можно решить, якобы, в 8 линий. Я решил с нуля собственными знаниями и благодаря открывшемуся для меня некоему тыщапервому свойству окружностей, для демонстрации которого я скоро выложу одну микрозадачку.
   Это моё решение, так как сделано без использования намёка хрипунова, получилось в очень много чирков (в 30, если совсем без оптимизации, но ясно, что чирков 5 можно сэкономить), поэтому рисунки даны по этапам. Пока без всякой оптимизации для пущей понятности.


Этап I.
https://ibb.co/m25m4R

1)   Из точек А и В строим перпы к направлениям ОА и ОВ в рамках полоски. Они пересекутся в некой точке Х выше полоски. Точка Х – очень особенная и важная, как оказалось.
2)   Строим какую-либо линию, пересекающую заданную окружность в двух точках, например, проходящую через центр заданного круга О, и такую, чтобы прошла через точку Х. Это делается стандартным способом одной линейкой в 8 чирков.   


Этап II.
https://ibb.co/iFxSB6

Строим ещё одну линию, пересекающую заданный круг, и такую, чтобы прошла через точку Х. Это делается стандартным способом одной линейкой в 8 чирков.


Этап III.
https://ibb.co/kvew4R

По точкам пересечения этих двух линий, полученный на предыдущем этапе, строим поляру к точке Х и заданной окружности. Она пересечёт линию АВ в заветной точке F.


Этап IV.
https://ibb.co/eHmnB6

   Для точки F строим поляру к заданному кругу (лучше 8-чирковым методом, дабы легче не вылезти за края полоски). Поляра пересечёт заданный круг в искомой точке К касания заданной окружности и дуги АКВ.
 
   Примечательно, что эта поляра тоже пройдёт через точку Х. Если бы точка Х была доступна, то задача решилась бы намного быстрее.
   Для проверки проводим в геогебре дугу АКВ и убеждаемся, что она пересекает заданный круг только в одной точке К, т.е. касается его.


Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Дуга на клочке бумаги
« Ответ #14 : 05 Февраль 2018, 20:17:52 »
Продолжение:
4) Это - третье из моих 5и (оказывается 5и, а не 4х) решений задачи хрипунова


С задачей хрипунова
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,9114.0.html
мне пока так и не удалось разобраться. У меня слишком мало волос на лице и теле для этого. Но, пока ковырялся в ней по моему любимому методу «проводи всё через всё, пока не получится» (ни хрена не получилось, кстати), заметил одну «закономерность», которую проэксплуатировал ниже, не понимая её. На этом «помощь» хрипунова для меня закончилась.
     Как я на неё вышел? Я подумал, что, наверное, не зря в этой задаче хрипунова фигурируют высоты прямоуглых треуглов. Что-то, наверное, с них можно поиметь. А что, кроме точки их пересечения? Но этого мне оказалось достаточно, чтобы я придумал второй третий, намного менее многочирковый метод решения предыдущей задачи хрипунова про узкую полоску
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,9113.0.html
Точка пересечения высот Y в совокупности с моей недоступной точкой Х сотворили соитие.

Этап I.

https://ibb.co/eHOjox

1) Строим отрезок ОА.
2) Как и в предыдущем решении, из точек А и В проводим перпы к направлениям ОА и ОВ.
3) Из точки А строим касательную к заданному кругу и автоматически находим точку касания С (хрипунов, автор задачи, утверждает, что это можно сделать угольником в один чирок).
4) Из точки С строим перп к отрезку АО (голубой). Это типа высота прямоуглова треугла хрипунова.
Далее надо сделать всё тоже самое для точки В и так найти точку пересечения Y высот двух прямоуглых треуглов. Но выяснилось, что её можно найти, проведя перп стороне полоски через центр круга.
5) Строим перп стороне полоски через центр круга. Пересечение этого перпа с перпом к ОА (высотой треугла) даст точку Y.
Если бы недоступная точка Х была доступна, то осталось бы провести линию XY и её пересечение с кругом дало бы искомую точку касания круга с дугой АВ. Но, так как Х недоступна, её надо притянуть в полоску. Поэтому, едем дальше.

Этап II.

https://ibb.co/jjSoFc

6) Для того, чтобы сместить точку Х в поле полоски, строим уменьшенное антиподобие треугла АВЕ относительно точки Y. Толстые фиолетовые линии – это цетральная симметрия относительно центра Y боковых зелёных. Пересечение линии EY с кругом – это искомая точка К.


Линий получилось 12 - это намного меньше, чем в моём предыдущем решении. Но далеко не 8, как у хрипунова. Буду думать дальше.