Автор Тема: 33 богатыря  (Прочитано 1525 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #45 : 18 Январь 2018, 13:46:01 »
Сложность еще в том, что для равного кол-ва богатырей подойдут разные скорости.

К примеру, все скорости для 5ти богатырей, удовлетворят 4 богатыря, и так далее, то есть кол-во возможных скоростей возрастает в геометрической прогрессии, и так как богатырям нету предела, нету предела и возможному распределению скоростей.

К примеру для 3 богатырей подойдут такие наборы:
1, 2/3, 1/2; 3/4, 1/2, 1/4; 3/8, 1/4, 1/8
Для 4х:
1/2, 1/3, 1/4, 1/6;

Так как Вашу алгебру (с индукцией) я явно не вытягиваю, получить такие соотношения мне помогла геометрия. Эти скорости подходят на 110 процентов.

По поводу ограничений Странника, интересно, они для данного набора скоростей выполняются или нет?

В общем, для 4х богатырей, геометрически очень удобно искать скорости, а вот для большего числа, пока не выходит...
Причем, в отличие от алгебры, данный способ не обманет, скорости должны подходить железобетонно.
« Последнее редактирование: 18 Январь 2018, 14:44:47 от Race »

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 428
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #46 : 18 Январь 2018, 14:34:14 »
Для 3 богатырей выбор как раз небольшой будет. Второй и третий набор, если я правильно его понял, не подойдут, т.к. скорость быстрого не может быть более чем в 2 раза выше скорости медленного, иначе он догонит его раньше точки пересечения. Аналогично и для 4х.
А от наборов скоростей будет ещё зависеть и цикл - количество кругов, через которое все встретятся в одной точке. Этот цикл к тому же должен быть кратен всем разницам скоростей каждой пары богатырей. Подбирал соотношения и для 5, и для 6 богатырей, но там уже сильно увеличивается цикл. Так что теоретически и для 33 богатырей можно подобрать такое соотношение, но это уже дело не для смартфонов, тут и хороший компьютер загрузится очень надолго.

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #47 : 18 Январь 2018, 14:38:31 »
Тьху. Не с той стороны расположил время и расстояние на графике.

Извиняюсь, буду переделывать.
« Последнее редактирование: 18 Январь 2018, 14:53:51 от Race »

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1636
    • Просмотр профиля
Re: 33 богатыря
« Ответ #48 : 18 Январь 2018, 15:10:08 »
и для 5: 1, 1+1/4, 1+4/15, 1+3/10, 1+1/3
По всем правилам Странника проверены,...
Ну не знаю, как вы проверяете...  :paper:
Для пяти богатырей всего 10 пар получается, их вроде несложно проверить. А тут сразу видно, что как минимум две пары не годятся:
1 и 1+4/15
1 и 1+3/10

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #49 : 18 Январь 2018, 15:49:26 »
В общем дальше 3 индукция не идет.

Для 3 все понятно, как минимум устраивают абсолютные скорости 2, 3 и 4. А вот как дальше....
« Последнее редактирование: 18 Январь 2018, 15:57:04 от Race »

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1636
    • Просмотр профиля
Re: 33 богатыря
« Ответ #50 : 18 Январь 2018, 16:27:34 »
Для 3 богатырей выбор как раз небольшой будет.
Для 3 выбор бесконечный, я в самом начале выводил
v2/v1 = (m+1)/m
v3/v2 = (n+1)/n
v3/v1 = (k+1)/k
...
m*n = k*(m + n + 1)
Это уравнение можно решить следующим образом, задаться произвольным k и произвольным положительным целым p. Получаем m как
m = p*k
n = (p*k + 1)/(p-1)
Отсюда видно, что для p=2, n всегда будет получаться целым и легко получить коэффициенты:
k=1; m=2; n=3;
k=2; m=4; n=5;
k=3; m=6; n=7;
То есть можно взять любое k и по нему вычислить
m = 2*k
n = 2*k + 1

Например:
k=357
m=714
n=715
V1=1
V2=1+1/714
V3=1+1/357

Можно аналогично вывести и для 4 и для 5 богатырей, но проблема в том, что с каждым богатырем число уравнений в системе растет, вычисления становятся более громоздкими и для 33 вручную вычислить нереально. А какого-то четкого алгоритма, при помощи которого можно было бы переходить от известного распределения скоростей к распределению для большего числа богатырей (что видимо и подразумевается под индукцией) я не вижу.
« Последнее редактирование: 18 Январь 2018, 16:42:46 от StrannikPiter »

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 428
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #51 : 18 Январь 2018, 18:55:25 »
В общем, понятно, что что-то сделать можно, но очень сложно, что практически невозможно  :o

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #52 : 18 Январь 2018, 20:01:43 »
Странник,
вы уж простите, что туплю, но я еще немного Вас помучаю  :duel:.

Как Вы пришли к этой замечательной формуле? V1/V2=(n+1)/n


Я не просто так спрашиваю, данная формула убедительно показывает, что отношение скоростей должно выражаться рациональным числом, у которого числитель и знаменатель не может выражаться только четными или не четными числами.

Что исключая вариант для 3 богатырей, доказывает рациональный характер абсолютных скоростей.

К примеру n - четное, тогда V1/V2=(2k+1)/2k
                  не четное, тогда V1/V2=(2k+2)/(2k+1)
Правда хз что это дает....



« Последнее редактирование: 18 Январь 2018, 21:21:03 от Race »

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1636
    • Просмотр профиля
Re: 33 богатыря
« Ответ #53 : 18 Январь 2018, 22:49:06 »
Рейс, а Вы вот этот пост не пропустили случайно? Я его специально для Вас писал.
Рейс, я придумал, как доказать формулу V2/V1 = (m+1)/m
Если скорости относятся как V2/V1, то пройденный путь (в кругах) в любой момент времени будет иметь то же отношение:
V2/V1 = S2/S1
При этом первый обгон произойдет тогда, когда быстрый пройдет путь ровно на 1 круг больше.
S2 = S1 + 1
V2/V1 = (S1+1)/S1
Если решить это уравнение относительно S1 (V2/V1 - константа), то мы получим, пройденный путь одним из богатырей к моменту первого обгона. Чтобы обгон прошел в заданной точке этот путь должен быть целым числом кругов. Это и накладывает требования на отношение скоростей.

Upd. То есть отношение скоростей должно быть возможно представить, как отношение путей (S1+1)/S1, где S1 - целое число, имеющее физический смысл, как число кругов перед первым обгоном.

Я не просто так спрашиваю, данная формула убедительно показывает, что отношение скоростей должно выражаться рациональным числом, у которого числитель и знаменатель не может выражаться только четными или не четными числами.

Строго говоря четными может, если скажем числитель и знаменатель домножить на 2, то будут четные и отношение не изменится. Но если сократить числитель и знаменатель насколько возможно, то они должны на 1 отличаться. А рациональным отношение должно быть обязательно.

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #54 : 19 Январь 2018, 01:12:21 »
Upd. То есть отношение скоростей должно быть возможно представить, как отношение путей (S1+1)/S1, где S1 - целое число, имеющее физический смысл, как число кругов перед первым обгоном.

Я это все читал, но все равно не понимаю почему именно один, к примеру берем скорости 1 и 3/4

Физический смысл, 1 за 1 Т проедет 1 круг
2 за 4 Т проедет 3 круга. Где тут 1?

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1636
    • Просмотр профиля
Re: 33 богатыря
« Ответ #55 : 19 Январь 2018, 01:51:25 »
Физический смысл, 1 за 1 Т проедет 1 круг
2 за 4 Т проедет 3 круга. Где тут 1?
Первый за 1Т проехал 1 круг. А второй сколько? Второй 3/4 круга. То есть он отстал только на четверть круга. Обгон произошел? Нет.
Первый за 2Т проехал 2 круга. А второй сколько? Второй 1+1/2 круга. Отстал на пол круга. Обгон произошел? Нет.
Первый за 3Т проехал 3 круга. А второй сколько? Второй 2+1/4 круга. Отстал на 3/4 круга. Обгон произошел? Нет.
Первый за 4Т проехал 4 круга. А второй сколько? Второй 3 круга. Отстал на 1 круг. Обгон произошел? Да.
Именно тогда, когда дистанция первого на 1 круг превышает дистанцию другого и происходит обгон.
А отношение скоростей равно отношению путей для одного и того же момента времени. Время берем то, в которое происходит обгон (в данном примере 4Т). Пути берем в кругах.
V1/V2 = S1/S2 = (4 круга)/(3 круга)
Пути должны быть целыми и отличаться на 1 круг (потому что время мы взяли соответствующее моменту обгона).
Если отношение скоростей взять неправильное, то разница путей все равно будет равна 1, так как это признак обгона, но сами пути получатся не целыми, и обгон произойдет не в заданной точке.

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #56 : 19 Январь 2018, 01:59:59 »
Спасибо!  :surrender:

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 428
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #57 : 19 Январь 2018, 12:06:46 »
Вот ещё было бы интересно увидеть версию автора, а то он как-то отстранился  :(

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #58 : 19 Январь 2018, 12:22:15 »
Продолжим мучить Странника)
и так думал и этак. На данный момент мы получили подтверждение практикойВашей теории.

Но:
1. Как вы пришли к таким выводам?
2. Почему, к примеру, не может в числителе быть n+2, n+3..... n+k?

Зависимость (n+1)/n как то можно получить эмпирически? или нужно быть обладателем интеллекта сильно выше среднего?

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1636
    • Просмотр профиля
Re: 33 богатыря
« Ответ #59 : 19 Январь 2018, 18:40:40 »
1. Как вы пришли к таким выводам?
2. Почему, к примеру, не может в числителе быть n+2, n+3..... n+k?
1. Покумекал и понял.  :) Сложнее было формализовать и строго Вам доказать, а вообще-то это очевидно, что число кругов между встречами - целое, а разница кругов при первом обгоне - единица.
2. Если в числителе n+2, то это означает, что богатыри проехали оба целое число кругов и встретились в исходной точке, но это не первая их встреча. Пути, пройденные каждым из них, растут линейно и от нуля. Разница путей тоже. Значит если сейчас разница путей равна два круга, значит раньше был момент, когда разница была равна одному кругу и тогда тоже был обгон. Чтобы понять в какой точке был предыдущий обгон нужно числитель и знаменатель разделить на 2 (или, если в числителе n+k, то разрелить на k). Получим отношение скоростей (m+1)/m, где m=n/2 (m=n/k). Если m получилась целая, то и первый обгон был в начальной точке, а если нет, то нет.

Зависимость (n+1)/n как то можно получить эмпирически? или нужно быть обладателем интеллекта сильно выше среднего?
Придется видимо Вам покупать пару коней и экспериментировать.  ;D И еще мечи и шлемы  ;D