Автор Тема: 33 богатыря  (Прочитано 4794 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: 33 богатыря
« Ответ #30 : 16 Январь 2018, 00:31:43 »
Языком математики я излагал уже V2/V1 = (m+1)/m, то есть как у Вас, но не просто 2 целых, а отличающихся на единицу. А по логике, богатыри стартуют из одной точки и едут с разными скоростями. Как только путь пройденный быстрым станет на 1 круг превышать путь медленного произойдет обгон. И он должен по условию в исходной точке произойти. Допустим я взял Вашу формулу и задал
n1 = 3
n2 = 5
Когда первый проедет 3 круга, а второй 5, они действительно встретятся в исходной точке. Но когда первый проедет 1.5 круга, а второй 2.5 они тоже встретятся на противоположном конце круга.

Богатыри стартовали из исходной точки и через время T быстрый догнал медленного. Скорости будут равны пройденному пути, деленному на время:
V1 = x*S/T
V2 = y*S/T
где S - длина круга, а x и y - число кругов, проехавших каждым.
Если число кругов будет не целым, то обгон произойдет не в исходной точке, а если разница в числе кругов будет больше 1, то это будет не первый обгон.
Тут можно только добавить, что V2/V1 = y/x, a y=x+1

Я не знаю, как еще объяснить, может сформулируете, что конкретно не понятно?

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #31 : 16 Январь 2018, 01:49:36 »
что то я явно упускаю.
тогда я официально сдаюсь, гадать не люблю, а строго подхода я не вижу.

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #32 : 16 Январь 2018, 05:20:22 »
А вот индукция чего-то не просматривается.  :(
Так имелась в виду не классическая индукция, где требуется доказать, что если что-то там верно для n=1 и n=k, то оно верно и для n=k+1, а более свободное оной толкование, в том смысле, что если мы имеем трех богатырей, то можем поиметь и четвертого, имея четырех, можем поиметь пятого, ... , имея n, можем поиметь n+1.

Абсолютные скорости, удовлетворяющие этим отношениям, например
V1=2; V2=3; V3=4;
Ага, это те самые начальные значения, двигаясь от коих, можно отыскать остальные.

Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 585
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #33 : 16 Январь 2018, 13:52:19 »
Похоже, индукция взяла своё. Вот моё решение по поводу Х богатырей (можно перевести на 33)
Для Х богатырей скорость самого медленного будет равна 1, а самого быстрого (Х-1)/(Х-2). Скорости остальных будут равномерно распределены на этом интервале.
Так, например, для 7 богатырей скорости будут в интервале от 1 до 6/5 с шагом в 1/30. А цикл будет повторятся каждые 30 кругов.
Ну а для 33 богатырей их скорости будут в интервале от 1 до 32/31 с шагом в 1/992. А цикл составит 992 круга.
Проверил максимум для 10. Результаты приложил немного поскромнее.

Пояснения по результатам:
верхняя строка - скорость каждого богатыря (кругов в единицу времени)
первый столбец - количество кругов, пройденное самым медленным богатырём (со скоростью 1)
в остальных ячейках указано количество кругов, на которое данный богатырь опережает самого медленного
« Последнее редактирование: 16 Январь 2018, 14:11:36 от Головолом »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #34 : 16 Январь 2018, 14:10:01 »
Вас я хоть понимаю)
Только наверное должно быть (n-1)/(n-2) где n - кол-во богатырей.
Если бы Вы еще объяснили как Вы получили столь замечательную зависимость, я был бы Вам чрезвычайно благодарен.

Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 585
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #35 : 16 Январь 2018, 14:20:40 »
Рад, что вам понятно.
Без разницы, какая буква, просто мне Х не надо на другую раскладку переключать, а вашу надо  ;D
Зависимость я получил без каких либо математических выкладок, только идя от меньшего к большему, а затем и к общему (т.н. индукцией). Просто, изначально было понятно, что чем больше богатырей, тем меньше должна быть разница в их скорости, а первый должен обогнать предпоследнего вместе с последним. Да и на каждом кругу были обгоны. Только с кучностью значений долго не мог определиться.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #36 : 16 Январь 2018, 14:26:49 »
Понятно, спасибо!
Блин, позор мне. Не смог справиться с обработкой результатов исследования. А ведь это моя профессия... То что я по ней не работаю уже свыше 10 лет, меня нисколько не оправдывает.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: 33 богатыря
« Ответ #37 : 16 Январь 2018, 16:39:54 »
Так, например, для 7 богатырей скорости будут в интервале от 1 до 6/5 с шагом в 1/30. А цикл будет повторятся каждые 30 кругов.
Не очень я понял Ваши таблицы, но скорости как я понимаю будут для 7 богатырей следующие:
30/30 31/30 32/30 33/30 34/30 35/30 36/30
Но тогда отношение скоростей 4-го и 2-го будет 33/31. Это означает, что когда 4-й проедет 16.5 кругов, то 2-й за это же время проедет 15.5 кругов, и обгон случится не в начальной точке круга, а в середине.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #38 : 16 Январь 2018, 17:11:05 »
Странник,
я извиняюсь за свою тупость. Ну не могу я постичь смысл того, что Вы пишите.

Понемногу начинаю видеть свет в конце тонеля. Аналогично для 35/30 с 31/30, когда первый проедет 17,5 кругов, второй проедет 15,5?
То есть, это еще одно ограничение, отношение между скоростями должно быть некоторым рациональным числом, причем либо числитель, либо знаменатель, либо и первый и второй одновременно должны быть кратны 2?

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: 33 богатыря
« Ответ #39 : 16 Январь 2018, 17:20:26 »
Рейс, я придумал, как доказать формулу V2/V1 = (m+1)/m
Если скорости относятся как V2/V1, то пройденный путь (в кругах) в любой момент времени будет иметь то же отношение:
V2/V1 = S2/S1
При этом первый обгон произойдет тогда, когда быстрый пройдет путь ровно на 1 круг больше.
S2 = S1 + 1
V2/V1 = (S1+1)/S1
Если решить это уравнение относительно S1 (V2/V1 - константа), то мы получим, пройденный путь одним из богатырей к моменту первого обгона. Чтобы обгон прошел в заданной точке этот путь должен быть целым числом кругов. Это и накладывает требования на отношение скоростей.

Upd. То есть отношение скоростей должно быть возможно представить, как отношение путей (S1+1)/S1, где S1 - целое число, имеющее физический смысл, как число кругов перед первым обгоном.
« Последнее редактирование: 16 Январь 2018, 17:25:47 от StrannikPiter »

Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 585
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #40 : 16 Январь 2018, 18:07:01 »
Не очень я понял Ваши таблицы, но скорости как я понимаю будут для 7 богатырей следующие:
30/30 31/30 32/30 33/30 34/30 35/30 36/30
Но тогда отношение скоростей 4-го и 2-го будет 33/31. Это означает, что когда 4-й проедет 16.5 кругов, то 2-й за это же время проедет 15.5 кругов, и обгон случится не в начальной точке круга, а в середине.
Наверное, вы правы. Надо как-то пересмотреть распределение скоростей, видимо, оно будет неравномерным.

Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 585
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #41 : 17 Январь 2018, 13:27:45 »
Кажется, нашёл кое какую зависимость:
1) скорости, как я уже и говорил, будут распределяться неравномерно от медленного к быстрому богатырю
2) скорость Н-го богатыря (где Н от 2 до К-1, К - количества богатырей) будет такой, что он будет обгонять 1-го богатыря за количество кругов, которое будет средним между количеством кругов, за которое обгонят 1-го богатыря богатыри Н-1 и К (второй будет обгонять первого в 2 раза дольше чем богатырь К). Т.е. если мы имеем 5 богатырей, а 5-ый богатырь обгоняет 1-го каждые 8 кругов, то 2-ой богатырь должен обгонять первого каждые 16 кругов, 3-ий - каждые (16+8)/2=12 кругов, 4-ый - каждые (12+8)/2=10 кругов;
3) отсюда можно увидеть, что нам необходимо иметь определённое количество интервалов для распределения между богатырями, которое будет тем больше, чем ниже скорость самого быстрого. А чтобы получить это количество, скорость самого быстрого должна быть больше скорости самого медленного на 1/2К-2, где К - количество богатырей
4) распределение скоростей между богатырями будет иметь следующий вид: 1+1/(2К-2+2К-Н), где К - количество богатырей, а Н - номер богатыря в интервале от 2 до К-1
Например для 7 богатырей скорости составят:
1 - 1
2 - 1+1/64
3 - 1+1/48
4 - 1+1/40
5 - 1+1/36
6 - 1+1/34
7 - 1+1/32
Все богатыри смогут одновременно встретиться в точке пересечения через 48960 кругов

Сомневаюсь, что доступно объяснил, но уж как смог...  :crazy:
« Последнее редактирование: 17 Январь 2018, 14:48:03 от Головолом »

Оффлайн AleksT95

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 491
    • Просмотр профиля
Re: 33 богатыря
« Ответ #42 : 17 Январь 2018, 15:52:57 »
Готовая идея для игрушки, на смартфон. Рандомно задаётся скорость первой точки по кругу, а игрок подбирает скорость в угловых секундах, синхронизируя другие.  :wall: 

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: 33 богатыря
« Ответ #43 : 17 Январь 2018, 16:34:29 »
Например для 7 богатырей скорости составят:
1 - 1
2 - 1+1/64
3 - 1+1/48
4 - 1+1/40
5 - 1+1/36
6 - 1+1/34
7 - 1+1/32
Проверяем в какой точке встретятся второй и четвертый
V4/V2 = (1+1/40)/(1+1/64) = 328/325
V4/V2 = S4/S2 = (S2+1)/S2 для момента первого обгона
328/325 = (S2+1)/S2
S2 = 325/3 = 108.33(3) кругов
S4 = S2 +1 = 328/3 = 109.33(3) кругов
Не целое число  :no:

Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 585
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: 33 богатыря
« Ответ #44 : 18 Январь 2018, 12:12:11 »
У меня уже закончились идеи  :wall:
А может это невозможно вообще  :o
П.С. Вот есть скорости для 4 богатырей: 1, 1+1/4, 1+1/3, 1+1/2
 и для 5: 1, 1+1/4, 1+4/15, 1+3/10, 1+1/3
По всем правилам Странника проверены, но закономерности пока не вижу
« Последнее редактирование: 18 Январь 2018, 12:37:29 от Головолом »