Автор Тема: Геометрические задачи.  (Прочитано 22933 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #645 : 21 Сентябрь 2018, 13:46:33 »
Моё решение 2-й задачи

Здесь числа подобраны так что решение (x=60, y=80) можно угадать.
В общем случае систему уравнений
f(x,y)=x(x-a)-y(y-b)=0
g(x,y)=(ay+bx-xy)²-r²(x²+y²)=0
можно решить так:
производные
fx(x,y)=2x-a, fy(x,y)=-2y+b
gx(x,y)=2(ay+bx-xy)(b-y)-2r²x, gy(x,y)=2(ay+bx-xy)(a-x)-2r²y.
Если (x,y) - некоторое приближенное решение, то следующее приближение (x+δ,y+ε) вычисляется из системы линейных уравнений
fxδ+fyε=-f
gxδ+gyε=-g

Для доказательства минимальности используется тот же приём что и в первой задаче. Но это только в случае если высота треугольника больше радиуса окружности.
« Последнее редактирование: 21 Сентябрь 2018, 15:44:28 от c2h5oh »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #646 : 21 Сентябрь 2018, 19:01:11 »
Вспомнилась задача:

Задача про треугольник заданной площади.

Внутри прямого угла произвольным образом взята точка. Требуется провести через нее прямую, отсекающую от прямого угла треугольник заданной площади. Решение выполнить построением с помощью циркуля и линейки. Площадь задана нарисованным квадратом. Пусть площадь  квадрата задана такая, что построение требуемого треугольника возможно.

Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #647 : 23 Сентябрь 2018, 02:56:06 »
По просьбе Tugrikа

Ув. тов. хрипунов уже решил задачу 2) из поста
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg79449.html#msg79449
почти тем же самым способом, который я уже раньше предлагал и которым собирался решать и сам. У нас отличие лишь в тактической части. Мне показалось, что мой путь немного короче.

См. рис. https://ibb.co/bQDJwp

Возьмём за основу угол α. а - известно. Тогда находим d и с. Зная с, находим d+e. Зная d, находим е. b дано по условию. Зная b и e, находим искомый отрезок |FE| как зависимость от α или cosα, sinα, tgα, уж не знаю, что там в конце вылезет. Дальше берём производную, = её 0 и т.д.. Я бы этот способ назвал полугеометрическим-полуаналитическим.

----------------------

Засим, предлагаю другой способ, полностью аналитический, вообще без хоть какой-либо геометрии. Через графики.

1) Пусть точка Т – точка на круге, через которую проведён искомый касательный отрезок [Xy=0,Yx=0].
ХТ и YT – это координаты точки Т.

См. рис. https://ibb.co/h0x3wp
 
Уравнение кривой нашего круга (сразу подставляем вместо точки (x,y) круга точку касания (xT,yT))

(yT - 40)^2 + (xT - 65)^2 = 23^2 = 529                (1)

2) Уравнение касательной к заданному кругу в заданной его точке Т можно вывести, но оно есть в инете:

(x – 65)(xT - 65) + (y - 40)(yT - 40) = 529                (2)

Из (1) выражаем yT:

yT = 40 ± sqrt(529 – (xT - 65)^2)                   (3)

и подставляем (3) в (2) и получаем уравнение касательной в зависимости от иксовой координаты хТ точки касания Т:

(x - 65)(xT - 65) ± (y - 40)*sqrt(529 – (xT - 65)^2) = 529

В знаке ± верхний знак «+» относится к верхней из двух точек касания Т2, которая нас не интересует. Поэтому оставляем нижний знак «-»:

(x - 65)(xT - 65) - (y - 40)*sqrt(529 – (xT - 65)^2) = 529          (4)

3) Найдём координаты точек пересечения касательной (4) с осями X и Y. Для этого поочерёдно приравниваем x и y нулю. Сначала найдём координату Xy=0. Для этого положим y=0:

(xY=0 - 65)(xT - 65) - (0 - 40)*sqrt(529 – (xT - 65)^2) = 529

xY=0 = [529 - (40)*sqrt(529 – (xT - 65)^2)]/(xT - 65) + 65                   (5)

Теперь найдём координату Yx=0. Для этого положим x=0:

(0 - 65)(xT - 65) - (y - 40)*sqrt(529 – (xT - 65)^2) = 529

yX=0 = - (529 + 65*(xT - 65)) / sqrt(529 – (xT - 65)^2) + 40                  (6)

Чисто для некоторого упрощения записи, заменим
xT – 65 = x

Тогда перепишем (5) и (6) в виде:

xY=0 = [529 - 40*sqrt(529 – x^2)]/x + 65                   (5_2)

yX=0 = - (529 + 65x) / sqrt(529 – x^2) + 40                  (6_2)

4) Длина отрезка касательной в точке Т получается из Пифагора:

X0Y0 = sqrt( (5_2)^2 + (6_2)^2 ) =
= sqrt{ [(529 - 40*sqrt{529 – x^2})/x + 65]^2 + [40 - (529 + 65x) / sqrt(529 – x^2)]^2 }        (7)

(7)  - это зависимость длины отрезка X0Y0 касательной в точке Т. От неё надо взять производную, приравнять её нулю, решить такое получившееся уравнение (7)’ = 0, найти хmin, при котором (7)’=0 и подставить это xmin  в (7) и так получить уже известный нам ответ. Я начинал делать это сам, но обломался ввиду громоздкости. Хотя видно, что это реально сделать.

Я уравнение (7) засунул в онлайн калькулятор

www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+(sqrt(((529-40*sqrt(529-x%5E2))%2Fx+%2B+65)%5E2%2B(40-(529%2B65*x)%2Fsqrt(529-x%5E2))%5E2))+on+%5B-15..-10%5D

который очень быстро и изящно нашёл сразу как ответ
xmin = -69/5 = - 13.8,
так и подставил этот xmin в (7) и нашел минимальную длину

X0Y0 = 100

Единсвтенное, что мне нужно было сделать самому – это определить интервал (-15, -10), на котором искать минимум, потому что функция (7) имеет два минимума. Это я сделал, построив график (7) в

http://yotx.ru/#!1/3_h/ubO2f7O2f7Rgzhf23/aH/zbB90cLBvxBD@1/b/iSTyxsbG2c7lJugA/E8kkTfOdi4399Z3dne396CnZ7vrO9AN0MHmxtnOJfT0DLy3u/1PJJE3znYuN/fWd3Z313d29w/2STTsxs4p4/F0i/G4dXmxu7@1DwQ=

Чтобы найти координату хТ для этой точки Тmin, нужно вспомнить, что мы заменили xT – 65 = x. Тогда

хТ = 65 – 13,8 = 51,2

===============

Ув. тов. хрипунов, я согласен, что инверсия искажает расстояния. Но ведь при применении инверсии мы её делаем туда-обратно. Если бы я умел делать инверсию, то я бы всё-таки попробовал и посмотрел, что там получается после инверсии. Может быть что-то толковое, что поможет найти положение чего-нибудь для минимальности искомого касательного отрезка (при инверсии - кружка).

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #648 : 24 Сентябрь 2018, 01:28:49 »
По просьбе Tugrikа

Решение задачи www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg79510.html#msg79510

Задача оказалась довольно несложной.

Моё решение основано на предварительном аналитическом анализе, решении квадратного ур-я и т.д.. Т.е. я не просто угадал. Излагать всё подробно я не буду, ибо другие члены-корреспонденты (особенно ув. тов. хрипунов) тоже обычно не излагают ход своих мыслей и идеи.

----------------------

Описание построения:

По условию, площадь задана квадратом. Расположим этот квадрат (зелёный) вершиной в вершину С заданного прямого угла.

См. рис. https://ibb.co/hibYWp

Пусть произвольная заданная точка А (лишь для определённости – это не важно) находится снаружи зелёного квадрата.

1) Наверное, это не обязательно, но мне, для упрощения последующих операций, захотелось перестроить заданный зелёный квадрат в голубой прямоугол CFEB такой же площади, одна сторона [FE] которого проходит через заданную точку А. Это сделать легко через гомотетию (голубые кружок, линии и точки).

2) Строим фиолетовый круг с центром в точке А и радиусом |AE|. Он пересечёт вертикаль в точке G.

3) Строим красный круг с центром в точке В и радиусом |FG|. Он пересечёт горизонталь в точках X1 и Х2.

4) Из точки Х1 проводим красную прямую Х1А, и она отсечёт первый (красный) искомый треугол Х1LC.
Из точки Х2 проводим оранжевую прямую Х2А, и она отсечёт второй (оранжевый) искомый треугол Х2КC.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #649 : 24 Сентябрь 2018, 14:12:08 »
Tugrik,
где там гомотетия? Мне на ум приходит только среднее геометрическое для определения корня квадратного из произведения двух отрезков. Если Вы как то смогли прицепить гомотетии, откройте тайну плз.
« Последнее редактирование: 24 Сентябрь 2018, 14:25:47 от Race »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #650 : 24 Сентябрь 2018, 16:21:26 »
По просьбе Tugrikа

Решение задачи www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg79510.html#msg79510

Задача оказалась довольно несложной.

Моё решение основано на предварительном аналитическом анализе, решении квадратного ур-я и т.д.. Т.е. я не просто угадал. Излагать всё подробно я не буду, ибо другие члены-корреспонденты (особенно ув. тов. хрипунов) тоже обычно не излагают ход своих мыслей и идеи.

----------------------

Описание построения:

По условию, площадь задана квадратом. Расположим этот квадрат (зелёный) вершиной в вершину С заданного прямого угла.

См. рис. https://ibb.co/hibYWp

Пусть произвольная заданная точка А (лишь для определённости – это не важно) находится снаружи зелёного квадрата.

1) Наверное, это не обязательно, но мне, для упрощения последующих операций, захотелось перестроить заданный зелёный квадрат в голубой прямоугол CFEB такой же площади, одна сторона [FE] которого проходит через заданную точку А. Это сделать легко через гомотетию (голубые кружок, линии и точки).

2) Строим фиолетовый круг с центром в точке А и радиусом |AE|. Он пересечёт вертикаль в точке G.

3) Строим красный круг с центром в точке В и радиусом |FG|. Он пересечёт горизонталь в точках X1 и Х2.

4) Из точки Х1 проводим красную прямую Х1А, и она отсечёт первый (красный) искомый треугол Х1LC.
Из точки Х2 проводим оранжевую прямую Х2А, и она отсечёт второй (оранжевый) искомый треугол Х2КC.
Это - верное решение! :thumbs up:
Таким способом можно решить и многие близкородственные задачи ( например, разделить произвольный треугольник на две равноплощадные части прямой, проходящей через заданную произвольную точку)
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #651 : 30 Сентябрь 2018, 23:17:09 »
По просьбе Tugrikа

После моего решения задачи из поста www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg79510.html#msg79510
ув. тов. хрипунов брякнул небрежно: «Таким способом можно решить и многие близкородственные задачи ( например, разделить произвольный треугольник на две равноплощадные части прямой, проходящей через заданную произвольную точку)», а я, по доверчивости, подумал, что действительно это теперь, после решения той предыдущей задачи, уже будет не сложно. И я с энтузиазмом взялся за решение задачи о разделении треугла на две равновеликие части прямой, проходящей через произвольную заданную точку D. Но, всё оказалось не так-то просто для меня. При решении сей задачи я занаймандохался не на шутку. Всё-таки решил её, но у меня осталось ощущение, что я пошел далеко не самым лёгким путём.

Итак, задача: дан произвольный треугольник ABC. Снаружи его (это лишь для определённости) задана точка D. Поручение: через точку D нужно провести прямую, разделяющую треугольник АВС на две равновеликие части.

Моё решение получилось геометрическим лишь постольку поскольку. Весь анализ, на самом деле, чисто аналитический. И решение состоит из трёх больших этапов –

1) построение прямоугольного треугольника с одним углом, совпадающим с углом заданного произвольного треугольника, и полуравновеликим ему;

2) тупо нахождение площади треугла, отмахиваемого прямой, проходящей через точку D, на сторонах произвольного угла;

3) выведение и решение квадратного уравнения;

4) графическая интерпретация корней этого квадратного уравнения.

Первый этап, на самом деле, наверное, не обязателен. Он на суть не влияет и лишь позволяет упростить квадратное уравнение и его графическую интерпретацию. На сколько это упрощение существенно упрощает 4й этап я не знаю, ибо не пробовал решать без 1го этапа. Сам по себе 1й этап весьма нетривиальный. Но он локализованный и решается как отдельная задача.

------------------------------

Итак, решение.

Этап первый. См. рис. https://ibb.co/ehsEoe

1) Построим на угле АСВ прямоугольный треугол CHV с площадью 1/2 от площади треугла АВС. Для этого поставим точку Е такую, что |CE| = 1/4 |CA|. Тогда площадь EFGC будет равна половине площади АВС.

2) Пусть катеты искомого треугла CHV – это a и h. Тогда h/a = g/e и h = ag/e. Здесь g = |EK|, e = |CE| и b = |CG|. Площадь треугла CHV = ah/2 = aag/2e. И эта площадь должна быть = eb, т.е.
aag/2e = eb .
Отсюда aa = 2eeb/g. Т.е. a равна среднегеометрическому от отрезков e и 2eb/g.

3) Отрезок eb/g находим стандартно. Для этого построим параллель отрезку СВ через точку G. И тогда |CL| = eb/g. Удвоим его до точки M. Отрезок СP будет среднегеометрическим от отрезков e и 2eb/g. И, значит, а = |CP|.
Так мы построили прямоуглый треугол CHV с площадью 1/2 от площади заданного треугла АВС.


Этап вторый. См. рис. https://ibb.co/dqZ28e

4) Обозначим положение заданной произвольной точки D через d и z. Обозначим угол между искомой прямой DJ и перпом к стороне треугла АС через ß. Обозначим угол АСВ через α.
Нам требуется найти площадь треугла JWC. Выразим её через его сторону |CJ| = a+y и углы α и угол CJW = 90°-ß.

S(JWS) = 0.5(a+y)^2∙sinα∙sin(90°-ß)/sin(α + 90°-ß) = 0.5(a+y)^2∙sinα∙cosß/(sinα∙sinß + cosα∙cosß)                 (1)

5) Обозначим |DJ| = m; |CV| = p. Тогда
sinα = h/p; cosß = d/m; sinß = (z-y)/m; cosα = a/p
Подставляем всё это в (1) и получаем:

S(JWS) =  0.5(a+y)^2 ∙ hd/[h(z-y) + ad]                (2)


Третий этап.

6) По условию задачи, (2) должно быть = ah/2 (тут и используется результат первого этапа - сейчас можно будет сократить на h/2), т.е.
 
0.5(a+y)^2 ∙ hd/[h(z-y) + ad] = ah/2             

Сокращаем, преобразуем и получаем квадратное уравнение относительно y:

d∙y^2 + a∙(2d+h)y – ahz = 0                (3)

Решение (3) даёт корни

y1,2 = {-a∙(2d+h) ± sqrt[ (a∙(2d+h))^2 + 4adhz ]}/2d           

7) Сразу скажу, что нижний знак минус в ± даёт решение не на самом заданном треугле, а на продолжении его сторон, поэтому он даёт виртуальное решение, и мы его отбрасываем. Остаётся

y = {-a∙(2d+h) + sqrt[ (a∙(2d+h))^2 + 4adhz ]}/2d            (4)


Четвёртый этап.

8) Для геометрической интерпретации (4) дробь разделяем на два слагаемых и знаменатель 2d загоняем под корень:

y = -a∙(2d+h) /2d + sqrt[ (a∙(2d+h)/2d)^2 + ahz/d]            (5)

Последний член ahz/d в (5) надо представить так, чтобы это был квадрат некоего отрезка f. Тогда весь корень в (5) – это будет гипотенуза от двух катетов-слагаемых внутри корня – отрезок “sqrt”.
f^2 = ahz/d = a ∙ hz/d. Тогда f – среднее геометрическое от отрезков a и hz/d.
Повторяющийся два раза член a∙(2d+h) /2d – это просто половина отрезка a, умноженного на (2d+h) /d.
 
А весь отрезок y – это будет разница между отрезками sqrt и a∙(2d+h) /2d, т.е. отрезок [CQ]. Переносим отрезок [CQ] в точку Н и получаем искомую точку J. Прямая DJ – Искомая прямая.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #652 : 01 Октябрь 2018, 03:11:06 »
По просьбе Tugrikа
Корректное построение. Совсем простых построений тут, по -видимому,  быть не может.    Я же имел ввиду, что любой треугольник с точкой можно афинным преобразованием перевести в прямоугольный.  Далее выполнить построение из предыдущей задачи, а затем вернуть системе исходный вид.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...