Автор Тема: Геометрические задачи.  (Прочитано 14078 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #630 : 13 Август 2018, 23:22:55 »
Насчет ромба. ;D

Берём прямоугольник со сторонами a и b. Проводим через центр две перпендикулярные прямые под углом ф к сторонам прямоугольника. Очевидно что точки пересечения со сторонами прямоугольника образуют ромб с диагоналями a/cos(ф), b/cos(ф).

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #631 : 13 Август 2018, 23:28:32 »
400/27
Ну хоть что то вы с лету не решили... Хотя должен признаться если бы написали 400/28=100/7 то и тут бы были правы)

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 4859
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #632 : 14 Август 2018, 01:42:51 »
Фигуру в центре можно разбить на 28 конгруэнтных треугольника; а весь треугольник состоит из 400 таких треугольников. Итого площадь центральной фигуры 28/400  .   Такие задачи для меня утомительны. Я  пошагово вычислял  величины высот и сторон . С моими арифметическими "задатками" тут легко запутаться. Удостоверился в ответе только начертив фигуру.
« Последнее редактирование: 14 Август 2018, 01:52:58 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #633 : 14 Август 2018, 10:36:03 »
Арифметика тут несложная. Считаем что высота АВС равна 1. Его площадь 1/sqrt(3). Нижняя точка звезды находится на расстоянии 1/5 от основания, верхняя на расстоянии 1/2. Два равносторонних треугольника, образующие звезду, имеют расстояния от центра до вершин a=1/2-1/3=1/6 и b=1/3-1/5=2/15.
Площадь звезды 3a2sqrt(3)/4+3(b-a/2)2/sqrt(3)=7/(100sqrt(3)).

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #634 : 19 Август 2018, 14:06:41 »
Вот ещё решение этой задачи через векторы


Пусть дан 4-угольник, построенный на векторах a,b,c. Диагонали a-b, c.
p,q - некоторые числа. f найдём из уравнения
f=pa+x(-pa+b+p(c-b))=qb+y(-qb+a+q(c-a)) или
ap(1-x)+bx(1-p)+cxp=ay(1-q)+bq(1-y)+cqy.
Отсюда x=q, y=p, f=ap(1-q)+bq(1-p)+cpq.
Пусть t-некоторое число (0<t<1/2). Вместо (p,q) подставим (t,t), (1-t,t), (1-t,1-t), (t,1-t).
Получим вектора соответствущие вершинам 4-угольника:
f1=at(1-t)+bt(1-t)+ct2
f2=a(1-t)2+bt2+c(1-t)t
f3=a(1-t)t+b(1-t)t+c(1-t)2
f4=at2+b(1-t)2+ct(1-t).
Диагонали:
f2-f4=a(1-2t)-b(1-2t)=(a-b)(1-2t)
f3-f1=c(1-2t).
Диагонали параллельны диагоналям 4-угольника на векторах a,b,c, отношение площадей k=1/(1-2t)2.
При t=2/5 k=25.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #635 : 16 Сентябрь 2018, 17:55:24 »
Две задачи.

1. Дан отрезок BC и точка D на нём (BD≠DC). Дан угол α. Построить точку A такую что BAC=α и для любой прямой, проходящей через D и пересекающей лучи AB и AC в точках В' и С', выполняется неравенство BC<B'C'.

2. Внутри прямого угла построена окружность радиуса r=23, центр которой находится на расстоянии a=40 и b=65 от сторон угла. Найти минимальную длину отрезка, касающегося окружности, концы которого лежат на сторонах угла.
« Последнее редактирование: 16 Сентябрь 2018, 18:02:39 от c2h5oh »

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1190
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #636 : 16 Сентябрь 2018, 19:02:15 »
Третья задача. Сумма первой и последующей дуги - возраст Антона Григорьевича. Сумма второй и последующей дуги - возраст Николая Григорьевича. Сумма третьей и последующей дуги - возраст Петра Ильича. Назовите американского пианиста, возраст которого - длина всей окружности.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 4859
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #637 : 17 Сентябрь 2018, 20:19:17 »


1. Дан отрезок BC и точка D на нём (BD≠DC). Дан угол α. Построить точку A такую что BAC=α и для любой прямой, проходящей через D и пересекающей лучи AB и AC в точках В' и С', выполняется неравенство BC<B'C'.

Один из вариантов построения показан на рисунке
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #638 : 17 Сентябрь 2018, 22:57:07 »
 :beer:
Моё решение такое.

Строим точку E и проводим прямые через B и C перпендикулярно EB и ЕС. Точка пересечения этих прямых и есть точка A. Легко доказывается что она лежит на окружности и симметрична точке E относительно центра. Проведём через D какую-нибудь прямую B'C' и повернём треугольник EBC вместе с высотой ED вокруг E - получаем треугольник EB''C''. Поворачиваем так чтобы B''C'' был параллелен В'С' - тогда В''С'' будет внутри треугольника AB'C' и следовательно В'С'>B''C''=BC.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 4859
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #639 : 18 Сентябрь 2018, 15:02:00 »
:beer:
Моё решение такое.

Строим точку E и проводим прямые через B и C перпендикулярно EB и ЕС. Точка пересечения этих прямых и есть точка A. Легко доказывается что она лежит на окружности и симметрична точке E относительно центра. Проведём через D какую-нибудь прямую B'C' и повернём треугольник EBC вместе с высотой ED вокруг E - получаем треугольник EB''C''. Поворачиваем так чтобы B''C'' был параллелен В'С' - тогда В''С'' будет внутри треугольника AB'C' и следовательно В'С'>B''C''=BC.

У меня доказательство такое же, только я построение представил максимально сжатым.

А вторая задача графически что-то не дается.  Вычислить можно.
Используя формулу поиска тангенса наклона искомого отрезка для случая точки ( этот тангенс равен кубическому корню из а/b) , можно сначала найти искомый отрезок , проходящий через центр  окружности, затем уменьшить получившуюся "гипотенузу"  - переместить ее на расстояние  радиуса от найденной, и посчитать снова.  Получился результат   100.4648
« Последнее редактирование: 18 Сентябрь 2018, 15:07:44 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #640 : 18 Сентябрь 2018, 18:56:26 »
Получился результат   100.4648
Может быть 100.4668?

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 4859
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #641 : 18 Сентябрь 2018, 20:31:24 »
Получился результат   100.4648
Может быть 100.4668?
Да, только это все равно неверное решение.  Ответ тут должен быть ровно 100, только пока не понятно, как его получить.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 114
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #642 : 18 Сентябрь 2018, 20:49:39 »
Ну да, числа так подбирались чтобы логарифмы были целые))

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 4859
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #643 : 18 Сентябрь 2018, 20:55:13 »
Пока экспериментально подтверждается ответ 100.
« Последнее редактирование: 18 Сентябрь 2018, 21:23:06 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 4859
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #644 : 21 Сентябрь 2018, 03:05:09 »

2. Внутри прямого угла построена окружность радиуса r=23, центр которой находится на расстоянии a=40 и b=65 от сторон угла. Найти минимальную длину отрезка, касающегося окружности, концы которого лежат на сторонах угла.

Да, действительно, там 100.  Составные отрезки 64 и 36.
Решал через производную.  За икс взял косинус а.  Потом выразил гипотенузы заштрихованных треугольников. Производную функции зависимости от а  всей длины приравнял к нулю, и т.д.  Потом  два кусочка посчитал исходя из косинуса а : он равен 3\5
Графическое решение с помощью циркуля и линейки найти не удалось  :unknown:

« Последнее редактирование: 21 Сентябрь 2018, 03:46:01 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...