Автор Тема: Геометрические задачи.  (Прочитано 10152 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Геометрические задачи.
« : 02 Август 2017, 14:58:25 »
Задачи от Головотяпа.
Опубликовано 02.08.2017
1. Название темы:
Построить ГМТ пересечения лучей, выходящих из двух точек, и образующих угол α.

Дано:
У вас в распоряжении имеются циркуль и угольник с острым (для определённости) углом α. Угольник может служить также и линейкой. На плоскости заданы две точки – А и B на некотором расстоянии друг от друга. Есть бесконечное семейство Ф(A) лучей AA', выходящих из точки А во всех направлениях. Также есть бесконечное семейство Ф(B) лучей BB', выходящих из точки B во всех направлениях.

Поручение:
За минимальное число ходов (чирков) построить кривую геометрического места точек пересечения тех пар лучей AA' и BB', которые образуют между собой угол α.

2. Доказать, что биссектрисы всех вписанных в окружность углов, опирающихся на одну и ту же дугу, пересекаются в одной точке, и найти эту точку.

Опубликовано 09.08.2017 3. На плоскости нарисован отрезок AB длиной d. У вас есть только циркуль и линейка.

Поручение: Построить такой прямоугольник, который по форме как бы состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону, а периметр этого прямоугольника равен 2d. У меня получилось за 19 чирков, считая все вспомогательные чирки. Сможете за меньше?
Использовать можно циркуль и линейку.

Опубликовано 16.08.17 4. Даны прямая и окружность, касающиеся друг друга. Точка их взаимного касания неизвестна (в явном виде не обозначена).
Поручение:
В минимальное кол-во чирков, построить вторую касательную к этой окружности,

4.1. параллельную данной прямой;
4.2 перпендикулярную данной прямой.
Использовать только циркуль и линейку. Раствор циркуля можно переносить, но, желательно, не более 1 раза за всю историю построения для каждой из подзадач 1) и 2).

Опубликовано 18.08.18 5. Даны прямая и окружность, не имеющие общих точек.
    Поручение:
    В минимальное кол-во чирков, построить касательную к этой окружности, параллельную данной прямой.

  Использовать только циркуль и линейку. Раствор циркуля можно переносить, но, желательно, не более 2 раз за всё построение.

Тут явно пропущены некоторые задачи, так как я просматриваю тему наискосок, попрошу нарыть их автора)

Опубликовано 28.08.18
8) На плоскости дан равносторонний треугольник. Во все его вершины вбиты и не высоко торчат неопределённого диаметра жирные гвозди, так что вершины треугла стали недоступны. Из-за этого вы не можете строить прямые, которые своими продолжениями проходили бы через эти вершины (т.к. линейка бесконечно длинная). Также вы не можете строить окружности, в явном виде проходящие через эти вершины, но можете строить их части, т.е. их дуги (т.к. циркуль может строить не только целые, но также и части окружностей).

Поручение: найти центр данного треугла, используя только циркуль и линейку. Желательно не больше, чем в 11 чирков.


Я пока нашел ещё один способ в 11 чирков, но подозреваю, что можно и в меньше, если найти другой способ.
У меня для 11 чирков было 2 "мягких" переноса циркуля первого рода ("Мягкие" переносы 1го рода - это когда просто оставляется предыдущий растопыр для проведения следующей округи, но не делается "замер" циркулем в другом месте).

Модификация задачи 8) для случая произвольного треугла:

9) На плоскости дан произвольный треугольник. Во все его вершины вбиты и не высоко торчат неопределённого диаметра жирные гвозди, так что вершины треугла стали недоступны. Из-за этого вы не можете строить прямые, которые своими продолжениями проходили бы через эти вершины (т.к. линейка бесконечно длинная). Также вы не можете строить окружности, в явном виде проходящие через эти вершины, но можете строить их части, т.е. их дуги, не налазящие на эти вершины (т.к. циркуль может строить не только целые, но также и части окружностей).

Поручение: найти центр массы (точку пересечения медиан) данного треугла, используя только циркуль и линейку. Желательно не больше, чем в 23 чирка.


Я пока нашел два способа: в 23 и 30 чирков, но подозреваю, что можно и в меньше, если найти другой способ.
У меня в способе в 23 чирка совсем не было переносов циркуля. А в способе в 30 чирков их было аж 6: один 1-го, и пять 2-го рода.

10) На плоскости дан произвольный треугольник.

Поручение: Построить (вписать) равносторонний треугольник, все три вершины которого лежат на разных сторонах данного треугольника, используя только циркуль и линейку. Минимальное кол-во чирков приветствуется.


Замыкающая полушуточная, но корректная задача не для слабонервных, но рассудительных:

11) На плоскости ничего не дано.

Поручение: построить такой специфичный треугольник, через который можно провести такую прямую линию, которая пересечёт сразу все три его стороны. С помощью только циркуля и линейки. Желательно не более, чем в 9 чирков.


Опубликовано 31.08.18

12) На плоскости заданы четыре точки: точки А и В, ранее принадлежавшие стёршейся синей прямой а; и точки M и N, ранее принадлежавшие стёршейся чёрной прямой n. В эти стёршиеся прямые а и n вбиты по жирному гвоздю (не в точку их пересечения), не высоко торчащему из плоскости. Из-за этого вы не можете строить прямые, которые своими продолжениями проходили бы через эти гвозди (т.к. чиркалка бесконечно длинная).

Завет:
а) Найти точку пересечения прямых  а и n. Использовать только чиркуль и чиркалку. Не больше, чем в 8 чирков.

б) Найти точку пересечения прямых  а и n. Использовать только чиркалку.


Опубликовано 04.09.17
13) На плоскости дан произвольный четырёхугольник. Во все его 4 вершины вбиты по жирному гвоздю, так что вы не можете строить прямые, проходящие через эти вершины.

Поручение: одной только линейкой (т.е. БЕЗ циркуля) найти точку пересечения диагоналей данного 4-х-угольника.


14) С помощью циркуля и линейки, найти центр массы произвольного треугольника (точку пересечения медиан) в 5 чирков.

Опубликовано 05.09.17

15 а) На плоскости дана окружность, на которой задана точка А. В центр этой окружности вбит жирный гвоздь, так что вы не можете проводить прямые линии, которые сами или своими продолжениями проходили бы через центр круга.

Поручение: используя только циркуль и линейку, построить точку В, лежащую на данной окружности противоположно точке А относительно центра данной окружности, не более чем в 5 чирков.



15 б) На плоскости даны две примерно одинаковые непересекающиеся и не концентрические окружности - синяя и чёрная, расположенные не далеко др. от др.. У синей окружности задан центр - точка О. А в центр чёрной окружности вбит жирный гвоздь, так что вы не можете проводить прямые линии, которые сами или своими продолжениями проходили бы через центр чёрной окружности. На чёрной окружности задана точка А.

Поручение: используя только линейку (т.е. БЕЗ циркуля), построить точку В, лежащую на черной окружности противоположно точке А относительно центра чёрной окружности.


Опубликовано 06.09.17

16) На плоскости дан произвольный квадрат и прямая b, никак не пересекающая данный квадрат. На прямой b задана точка А.

Поручение: с помощью только циркуля и линейки, постройте из точки А перпендикуляр к прямой b в ТРИ чирка.


17) Для тех, кто решил 15 а) в пять чирков, решить 15 а) в ЧЕТЫРЕ чирка.

Опубликовано 07.09.17

18) На плоскости дан произвольный равносторонний треугольник и прямая b, никак не пересекающая данный треугольник. На прямой b задана точка А.

Поручение: с помощью только циркуля и линейки, постройте из точки А перпендикуляр к прямой b в ТРИ чирка.


Опубликовано 08.09.17 19 а). На плоскости дан произвольный параллелограмм. В точку пересечения его диагоналей вбит жирный гвоздь, так что вы не можете проводить прямые линии, которые сами или своими продолжениями проходили бы через эту точку.
   Поручение: одной только линейкой (т.е. БЕЗ циркуля), найти середины всех четырёх сторон данного параллелограмма. Ориентир для Головолома - 26 чирков.

19 б). На плоскости дан произвольный параллелограмм. Во все его четыре вершины, а также в точку пересечения его диагоналей вбиты по жирному гвоздю, так что вы не можете проводить прямые линии, которые сами или своими продолжениями проходили бы через эти гвозди.
   Поручение: одной только линейкой (т.е. БЕЗ циркуля), найти середины всех четырёх сторон данного параллелограмма. Уж хоть за сколько-нибудь чирков. Ориентир для Головолома - 28 чирков.


20) (Вариация задачи 15 б))
На плоскости даны:
- одна чёрная окружность, с заданой точкой А на ней;
- две концентрические синие окружности с центром, отличным от центра чёрной окружности. Чёрная и синие окружности не пересекаются.
   В центры чёрной и синих окружностей вбиты по жирному гвоздю, так что вы не можете проводить прямые линии, которые сами или своими продолжениями проходили бы через центры окружностей.

Поручение: используя только линейку (т.е. БЕЗ циркуля), построить точку В, лежащую на черной окружности противоположно точке А относительно центра чёрной окружности.


Опубликовано 11.09.17
21 а). На плоскости дан правильный пятиугольник (пентагон). В его центр вбит жирный гвоздь, так что вы не можете проводить прямые линии, которые сами или своими продолжениями проходили бы через этот центр.
   Поручение: одной только линейкой (т.е. БЕЗ циркуля), найти середины всех пяти сторон данного пентагона не более, чем за 23 чирка.

21 б). На плоскости дан правильный пятиугольник (пентагон). Во все его пять вершин вбиты по жирному гвоздю, так что вы не можете проводить прямые линии, которые сами или своими продолжениями проходили бы через вершины и центр.
   Поручение: одной только линейкой (т.е. БЕЗ циркуля), найти середины всех пяти сторон данного пентагона, а также его центр, не более, чем за 40 чирков. Ну или уж хоть за сколько-нибудь чирков.

21 в). На плоскости дан правильный пятиугольник (пентагон). Во все его пять вершин, а также в его центр, вбиты по жирному гвоздю, так что вы не можете проводить прямые линии, которые сами или своими продолжениями проходили бы через вершины и центр.
   Поручение: одной только линейкой (т.е. БЕЗ циркуля), найти середины всех пяти сторон данного пентагона не более, чем за 37 чирков. Ну или уж хоть за сколько-нибудь чирков.


Опубликовано 13.09.17

23_а) На плоскости заданы два луча с общим началом, составляющие прямой угол.
  Поручение: с помощью только циркуля и линейки, построить угол, равный шестой части прямого угла. В минимум чирков.

23_б) На плоскости заданы два луча с общим началом, составляющие прямой угол. В их начало вбит жирный гвоздьть (со всеми вытекающими).
  Поручение: с помощью только циркуля и линейки, построить угол, равный шестой части прямого угла. Не более, чем в 6 чирков.

----------------------

24_а) На плоскости даны две прямые, составляющие прямой угол. В точку их пересечения вбит жирный гвоздьть (со всеми вытекающими).
   Поручение: с помощью только циркуля и линейки, построить квадрат с центром, совпадающим с точкой пересечения заданных прямых (любой). Не более, чем в 8 чирков.

24_б) На плоскости даны две прямые, составляющие прямой угол. В точку их пересечения вбит жирный гвоздьть (со всеми вытекающими).
   Поручение: с помощью только циркуля и линейки, построить квадрат с центром, совпадающим с точкой пересечения заданных прямых и со сторонами, параллельными данным прямым. Не более, чем в 10 чирков, для начала.


Опубликовано 19.09.17

27) На плоскости дана прямая b и две точки А и В по одну сторону от этой прямой. Расстояние между точками А и В, а также расстояние между А и b и расстояние между В и b все три одинаковые. Также дана точка С посередине между В и b.
Поручение: с помощью только линейки, в минимальное кол-во чирков, построить прямую через точку С, параллельную прямой b.


Опубликовано 21.09.17
25) (вариация 22))
На плоскости задана окружность и обозначен её центр О. Неподалёку от данной окружности задана прямая, никак не пересекающая данную окружность. На этой прямой задан отрезок АВ так, что данная окружность лежит по одну сторону от перпендикуляров (не заданных), выходящих из концов отрезка АВ, и не пересекается с ними.
   Поручение: одной только линейкой (т.е. БЕЗ циркуля), на базе отрезка АВ построить равносторонний треугольник. В минимальное кол-во чирков.


26) На плоскости задан круг с центром О и прямая b с точкой С, никак не пересекающая этот круг. Так же задан отрезок АВ, лежащий на заданной прямой а, не имеющий общей точки с прямой b и составляющий произвольный угол с прямой b. Центр О не лежит на прямой а.
   Поручение: На прямой b от точки С отложить отрезок, равнодлинный отрезку АВ. Одной только линейкой (т.е. БЕЗ циркуля). В минимальное кол-во чирков.


Опубликовано 22.09.17

27) В квадрат ABCD вписана пятиконечная звезда по типу морской звезды (не обязательно правильная). Два из её лучей жестко упираются в вершины квадрата А и D. Остальные лучи своими концами могут свободно елозить по всем сторонам квадрата.
    Поручение: построить звезду с максимальной площадью
а) всей звезды;
б) её центральной части.
Пользоваться можно чем угодно, хоть научно-инженерным калькулятором, хоть транспортиром, хоть счётами, хоть циркулем с угольником и рейхсшиной. А, да, и линейкой.


Опубликовано 13.10.17 http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8929.msg74905.html#msg74905
28) На плоскости даны две произвольные пересекающиеся (в 2 точках) окружности произвольного радиуса.
Поручение: Одной линейкой, в минимальное число чирков, найти центры обеих окружностей.



Опубликовано 12.01.18
29) На плоскости дан отрезок длиной 1.
Поручение: с пом. циркуля и линейки построить отрезок длиной в √3 (квадратный корень из 3) в минимальное кол-во чирков


Пропущена 2 задача 2018 года, просьба к Головотяпу найти ссылку на ней!

Опубликовано 28.01.18
31) На плоскости нарисован прямоугольник. Одной линейкой и карандашом найти его центр при следующих ограничениях: в каждую из диагоналей заданного 4-хугольника вбиты по гвоздю (не в центре и не в вершинах), так что невозможно построить ни одну диагональ.
Не более, чем в 8 чирков, для начала. 


Опубликовано 05.02.18
32) Задача (уже четвёртая в этом году).

На плоскости нарисована окружность с обозначенным центром в точке О1. Снаружи этой окружности нарисована точка О2. Теперь представьте, что есть вторая, но невидимая (ненарисованная) окружность с центром в О2, которая проходит через точку О1.
Поручение: одной линейкой и карандашом, построить обе касательные к нарисованной окружности (которая с центром в О1) в точках её пересечения с невидимой окружностью (которая с центром в О2 и проходит через точку О1)
. Ориентир - за не более, чем в 21 чирок (имея ввиду честные построения касательных в 7 или 8 чирков, а не на глаз в 1 чирок).

33) На плоскости нарисована окружность с обозначенным центром в точке А. Снаружи этой окружности нарисована точка В. 
Поручение: одним лишь циркулем, на данной окружности построить обе точки касания воображаемых (невидимых) касательных к ней, выходящих из точки В
. Ориентир - за не более, чем в 9 чирков.
Циркуль - это геометрическая абстракция, дающая возможность только строить круги и не оставляющая следов от иголки.


Опубликовано 06.02.18



« Последнее редактирование: 08 Февраль 2018, 14:53:19 от Race »

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #1 : 03 Август 2017, 01:37:29 »
1. У меня получается за 5 чирков нарисовать окружность с радиусом, равным высоте ( одновременно и биссектрисе) из угла  α -вершины равнобедренного треугольника с  основанием АВ:
1)Соединяем точки А и В.
2) Строим перпендикуляр к АВ с помощью циркуля ( за 3 чирка: равные дуги из А и из В дают точки пересечения, которые затем  соединяем)
3)Острый угол α угольника совмещаем с точками А и В и перпендикуляром таким образом, чтобы его вершина лежала на перпендикуляре, а лучи проходили через А и В. Т.о. получили высоту, которая является радиусом искомого ГМТ.
(ↄ)

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #2 : 03 Август 2017, 03:13:41 »
1. У меня получается за 5 чирков нарисовать окружность с радиусом, равным высоте ( одновременно и биссектрисе) из угла  α -вершины равнобедренного треугольника с  основанием АВ:
1)Соединяем точки А и В.
2) Строим перпендикуляр к АВ с помощью циркуля ( за 3 чирка: равные дуги из А и из В дают точки пересечения, которые затем  соединяем)
3)Острый угол α угольника совмещаем с точками А и В и перпендикуляром таким образом, чтобы его вершина лежала на перпендикуляре, а лучи проходили через А и В. Т.о. получили высоту, которая является радиусом искомого ГМТ.
Я не Головотяп, но на мой взгляд, ГМТ будет иметь другую форму)
Сейчас нету автокада дома) но даже если логически рассуждать, при таком построение ГМТ не пройдет через точки А и В, а оно должно проходить через них - априори.

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #3 : 03 Август 2017, 10:28:58 »
Может, чего не догоняю, но у мен все проходит. :crazy:
(ↄ)

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #4 : 03 Август 2017, 11:19:53 »
Может, чего не догоняю, но у мен все проходит. :crazy:
Тогда либо я не понимаю, либо Вы не полностью выложили свое решение.

Вот я выполнил все построения указанные в Вашем решении.
Подскажите где высота, и откуда чертить окружность)  :surrender:

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #5 : 03 Август 2017, 11:26:16 »
 
Цитировать
не полностью выложили свое решение.
Видимо, да. Выложите полностью, пожалуйста. "Простенькая" геометрия последнее время что-то никак в голове не переваривается. Вероятно, замещается более насущными проблемами.
(ↄ)

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #6 : 03 Август 2017, 11:50:18 »
Цитировать
не полностью выложили свое решение.
Видимо, да. Выложите полностью, пожалуйста. "Простенькая" геометрия последнее время что-то никак в голове не переваривается. Вероятно, замещается более насущными проблемами.
Я не понимаю, что брать за радиус, и где центр окружности.
Если радиус равен СД - то не верно.  :rest:

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #7 : 03 Август 2017, 18:09:59 »
CHH, я понимаю, что как девушке Вам приятно заинтриговать собеседника, но прошу Вас, расставить уже точки над "i", где же радиус нашего ГМТ и его центр?

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 428
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #8 : 03 Август 2017, 18:26:25 »
По задаче 1 возьму на себя смелость уточнить девушку, пока Рейс не пострадал от её загадочности  ;D
Сэкономим один чирок, не соединяя точки, а сразу по п. 2 построим перпендикуляр к воображаемому отрезку АВ, проходящий через его середину, за те же 3 чирка. Затем, имея угольник с углом а, проводим линию через точку А (можно через В - роли не играет) под углом а к перпендикуляру (в ту сторону, куда "смотрят" все углы - в нашем случае вверх). Получаем точку пересечения С, которая будет являться центром искомой окружности, а радиусом её будет отрезок АС. Пятым чирком строим искомую окружность, которая и будет ГМТ
« Последнее редактирование: 03 Август 2017, 18:28:59 от Головолом »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #9 : 03 Август 2017, 18:33:06 »
Головолом,
Вы почти правы) Но, все же допустили одну не точность)) Исправите?  :angel:
(Радиус вы определили совершенно точно!)

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 428
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #10 : 03 Август 2017, 18:59:35 »
Не, я пас. Будьте добры, уж тыкните сами меня носом  ;D

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #11 : 03 Август 2017, 19:09:43 »
Давайте я дам толстую подсказку.

Известный факт, что все вписанные углы опирающиеся на одну хорду, направленные от нее в одну сторону равны между собой. А с другой стороны? )

Оффлайн South Paw Mary

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 628
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #12 : 03 Август 2017, 19:25:20 »
Симметрично.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1155
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #13 : 03 Август 2017, 19:58:49 »
Симметрично.
А какую же форму примет ГМТ для острого угла?
одна из наиболее любимых женщинами, да чего уж скрывать и мужчинами тоже, кстати)

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические задачи.
« Ответ #14 : 04 Август 2017, 00:20:31 »
CHH, я понимаю, что как девушке Вам приятно заинтриговать собеседника, но прошу Вас, расставить уже точки над "i", где же радиус нашего ГМТ и его центр?


А какую же форму примет ГМТ для острого угла?
одна из наиболее любимых женщинами, да чего уж скрывать и мужчинами тоже, кстати)

90-60-90? Типа такой:
(ↄ)