Автор Тема: Максимальная длина биссектрисы. + Построение треугла по биссектрисе и основанию.  (Прочитано 1490 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Головотяпу Апполониевичу, а также всем любителям геометрии типа снн, Страннику, Головолому и, конечно же, самому Раце, посвящается. Ну, и остальным, кто считает себя любителем землемерия.

Сначала повторяю мою дивную чудо-задачу:

Биссектриса, выходящая из одного из углов треугольника, делит противоположную этому углу сторону этого треугольника на отрезки длиной a и b. Найти минимальную и максимальную длину этой биссектрисы.

Волею судьбы-насмешницы эта задача сначала попала в древнюю замусоренную тему
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,1052.msg73778.html#msg73778
и уже получила там множественные отклики. Но мало того, что эта задача, достойная иметь свою отдельную тему, теряется там среди шлака, её ещё Ле вша Маша присыпала какой-то бурдой про свои любимые очки и ЧКГП. Поэтому я переношу её в отдельную тему.

Поскольку сия задача придумалась у меня с подачи Race и по ходу решения двух его задач из
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8907.msg73662.html#msg73662   и
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8913.msg73750.html#msg73750  (там сразу две задачи)
и слилась со второй и третьей из них, я выкладываю тут своё решение изначальной моей задачи про максимальную длину биссектрисы, плавно переходящее в решение его (Раце) задач про построение треугла по биссектрисе и определение максимальной высоты треугла при заданных a и b.

===================================================

Итак, вот, откуда у меня родилась задача про максимальную длину биссектрисы, делящей основание треугла на отрезки a и b.
Когда Раце справедливо меня пристыдил, что я не знаю «основное свойство биссектрисы» (суть которого в том, что a/b = a’/b’, если d - биссектриса (в обозначениях рисунка 1) или a/b = x/y (в обозначениях рисунка 2)), я начал рассматривать это свойство и пытаться его сам доказать. Оказалось, что оно весьма просто доказывается с помощью теоремы синусов, применённой к двум смежным треуглам, на которые биссектриса разбивает изначальный треугол.
   У этих двух смежных треуглов есть по одной одинаковой стороне, по одному одинаковому углу и ещё два их смежных угла в сумме дают 180°. И ограничений на применение при доказательстве теоремы синусов, вроде как, нету, ибо, хотя там по ходу доказательства и появляется деление на синус, и доказательство становилось бы непригодным в случае равенства одного из синусов нулю, синус становится нулём только в случае вырожденного треугольника, когда треугол превращается в отрезок или луч. И для случая вырожденных треугольников основное свойство биссектрисы не работает. Но оно работает во всех случаях невырожденных треугольников, потому что для всех невырожденных треугольников ни один из углов не равен нулю.

   Хмы!, подумал я. Значит, как ни вытягивай биссектрису, хоть до бесконечности, стороны a’ и b’ (т.е. боковые стороны треугла, лежащие слева и справа от биссектрисы) должны оставаться в пропорции a’/b’ = a/b, согласно этому основному свойству биссектрисы. Но они будут, по мере вытягивания биссектрисы в ∞, обе тоже стремиться к ∞, т.е. при d -> ∞, a’ -> ∞ и b’ -> ∞. Разница же между ними a’-b’ не может превысить a-b, т.е. a’ и b’ будут -> ∞ синхронно и одинаково. Значит, при стремлении длины биссектрисы к ∞, отношение длин a’/b’ -> 1, в то время как отношение a/b всегда будет оставаться неизменным. При этом понятно, что чтобы нарушилось соотношение a’/b’ = a/b,  a’ и b’ вовсе не обязательно реально уходить в бесконечность, и соотношение a’/b’ = a/b уже нарушится при достаточно больших, но конечных длинах a’ и b’, т.е. при какой-то определённой максимальной, и при этом очень даже конечной, длине биссектрисы dmax.

    Для меня это моё «открытие» было как гром среди ясного неба – всю жизнь жил, жил, жрал, опорожнялся, спал, размножался (точнее, только воспроизвестись удалось) и не подозревал, что биссектриса-то при заданных a и b не может быть сколь угодно длинной. Т.е. я пребывал в таком же глубинном заблуждении, как и Странник, Раце, и все тут остальные, в пачку взятые. Вот тут-то мне из захотелось радостно задать этот вопрос публике. Странник, правда, сразу опять облажался, но я его всё равно люблю.

    Но, прежде чем задать этот вопрос, я захотел сам найти эту максимальную длину биссектрисы. Сначала нашёл «на пальцах», а потом и строго математически.

=========================================================

1)  Нестрогое нахождение dmax на пальцах.

Зырим в рисунок 1. Там изображены 5 ситуаций с одинаковыми a и b, но с растущим отрезком d. Видно, что по мере роста отрезка d, чтобы ему оставаться биссектрисой, ему приходится загибаться (поворачиваться) в сторону более короткого из отрезков a и b, т.е. в сторону b. Но загибаться дальше в сторону b, чем как просто лечь на отрезок b, отрезок d не может.
    При этом нету видимых причин полагать, что отрезок d, начиная c какой-то определённой длины и продолжая удлиняться, остановит своё поворачивание и потом начнёт вдруг загибаться в обратную сторону. Также нету видимых причин полагать, что есть какой-то определённый угол ßmax между 0° и 180°, на котором d достигнет максимума, а при дальнейшем повороте в сторону b вдруг начнёт укорачиваться. Короче, тенденция отрезка d, при росте его длины, поворачиваться в сторону отрезка b должна всё время сохраняться вплоть до того, как он ляжет на отрезок b.
       ОК, значит, вроде, понятно, что максимальным отрезок d должен стать, когда он ляжет на отрезок b (это есть случай 5 на рисунке 1). Но, как я сказал выше, вплоть до самого этого крайнего случая (вплоть до вырождения треугла) должно работать соотношение a’/b’ = a/b. Т.е. при стремлении ß -> 180° не должно произойти какого-то скачка, и это соотношение должно оставаться верным при ß -> 180°. Когда ß -> 180°, отрезки a’, b’ и d должны стремиться к таким длинам, какие у них были бы при ß = 180°.

Теперь немного арифметики. Рассмотрим случай ß = 180°, к которому стремиться картина при росте d. Это есть ситуация 5) на рис. 1. При этом отрезки a, b, a’, b’ и dmax станут соотноситься так:

a' = a + dmax;    b’ = dmax – b.

Подставляем эти «крайние» a’ и b’ в «основное свойство биссектрисы»  a’/b’ = a/b:
 
(a + dmax)/(dmax – b) = a/b

и преобразуем:

(a + dmax)∙b = (dmax – b)∙a    =>   ab + dmax∙b = dmax∙a – ba   =>   dmax∙a - dmax∙b = 2ab   =>  dmax(a – b) = 2ab  =>

dmax = 2ab/(a-b)

Т.о. мы на пальцах получили заветную формулу для максимальной длины dmax без всякой тригонометрии и высшей математики. Правда, с использованием «основного свойства биссектрисы», на которое Раце раскрыл мне глаза (или напомнил хорошо забыто за 35 лет старое).

Я, честно говоря, думал, что я единственный и первый в мире, кто получил эту формулу. Но Раце говорит, что Ипполит Греческий уже раньше подсуетился до меня. Абидна, да?


2) Строгое нахождение dmax с применением тригонометрии и супервысшей математики.

Вообще-то, процедура довольно простая, банальная и примитивная. Я думаю, что Раце пошутил, что он, якобы, никогда не вывел бы это. Уж не знаю, знали ли синусы и косинусы во времена Апполония.

Зырим на рис. 2.
Для левого треугла (со сторонами a, x и d) из теоремы синусов и косинусов имеем:

x = a∙sinß/sinα                            (1)
x2 = a2 + d2 + 2ad∙cosß             (2)

подставляем х = из (1) в (2) и получаем:

(a∙sinß/sinα)2 = a2 + d2 + 2ad∙cosß

Выражаем из этого sin2α:

sin2α = a2∙sin2ß/(a2 + d2 + 2ad∙cosß)           (3)

Делаем всё тоже самое для правого треугла (со сторонами b, y и d) и получаем:

sin2α = b2∙sin2ß/(b2 + d2 - 2bd∙cosß)            (4)

Видим, что левые стороны (3) и (4) равны, поэтому приравниваем их правые части и получаем:

a2∙sin2ß/(a2 + d2 + 2ad∙cosß) = b2∙sin2ß/(b2 + d2 - 2bd∙cosß)

Сокращаем на sin2ß и преобразуем:

a2∙(b2 + d2 - 2bd∙cosß) = b2∙ (a2 + d2 + 2ad∙cosß)

a2∙d2 - 2bd∙a2∙cosß = b2∙d2 + 2ad∙b2∙cosß
a2∙d - 2b∙a2∙cosß = b2∙d + 2a∙b2∙cosß
a2∙d - b2∙d = 2a∙b2∙cosß + 2b∙a2∙cosß
d(a2 – b2) = d(a-b)(a+b) = 2ab∙cosß∙(b+a)
d(a-b) = 2ab ∙ cosß

d = 2cosß ∙ ab/(a-b)                (5)  -  формула Головотяпа

Т.о. мы вывели формулу, связывающую длину биссектрисы d и угол ß, который она составляет с основанием.

Когда же d будет максимальным? Смотрим: a и b фиксированы, а ß и, соответственно, cosß могут меняться. Косинус – ограниченная функция, меняется от -1 до +1. Значит максимум cosß = 1 (это у нас при ß = 0°). Подставляем ß = 0° и получаем:

dmax = 2∙ab/(a-b)                    (6)  -  формула Апполония-Головотяпа.


========================================================================

Заодно разберёмся с Рацевской максимальной высотой при бытии d биссектрисой.

Высота h при определённом d и ß равна:

h = d∙sinß = 2∙sinß∙cosß∙ab/(a-b) = sin(2ß)∙ab/(a-b)           (7)

Член 2ab/(a-b) фиксирован, и меняться может только член sinß∙cosß = 1/2∙sin(2ß). Найдём максимум sinß∙cosß или 1/2∙sin(2ß).
Для этого надо взять первую производную от sinß∙cosß по ß (или от 1/2∙sin(2ß)), приравнять её нулю, найти в какой точке ß она равна нулю и убедиться, что вторая производная от cosß∙sinß в этой точке < 0 (это есть стандартное условие максимума функции).

(sinß∙cosß)’ = sinß’∙cosß + sinß∙cosß’ = cos2ß – sin2ß
или
1/2∙ sin(2ß)’ = 1/2∙2∙cos(2ß) = cos(2ß)


Приравниваем нулю:

cos2ß – sin2ß = 0     =>    cos2ß = sin2ß   =>   tg2ß = 1    =>  tgß = 1    =>   ß = 45°
или
cos(2ß) = 0     =>  2ß = 90°     =>   ß = 45°


Вторая производная от sinß∙cosß
(sinß∙cosß)‘’ = cos2ß’ – sin2ß’ = 2cosß∙cosß’ – 2sinß∙sinß’ = -2cosß∙sinß - 2sinß∙cosß = -4∙sinß ∙ cosß = -2∙sin(2ß)
или
(1/2∙sin(2ß))’’ = cos(2ß)’ = -2∙sin(2ß)


Подставляем ß = 45°, получаем -2∙sin(90°) = -2, что есть < 0, т.е. данный экстремум функкции sinß∙cosß = 1/2∙sin(2ß) при ß = 45° есть максимум.

Сама же sinß∙cosß = 1/2∙ sin(2ß)   при ß = 45° равна sin45°∙cos45° = 1/2∙sin(2∙45°) = 1/2

И высота h = 2sinß∙cosß ∙ ab/(a-b) = sin(2ß) ∙ ab/(a-b) при ß = 45° становится максимальной:

hmax = ab/(a-b)                   (8)

============================================================================

Теперь докажем, что конец биссектрисы, по мере её роста, описывает полуокружность.

Вспоминаем, что d = 2cosß∙ab/(a-b), т.е. длина биссектрисы имеет вид

d = 2r∙cosß,    где r = ab/(a-b)              (9)

Смотрим на рисунок 3.
Пусть мы имеем какой-то произвольный отрезок на плоскости (x,y), подчиняющийся закону (9). Пусть один его конец имеет координату (0, 0). И пусть он имеет длину d и, соответственно, образует с осью х угол ß. Тогда его проекции на оси х и у будут равны, соответственно, dx = 2r∙cos2 ß и dy = 2r∙cosß∙sinß. А координаты его второго конца будут:

x = 2r∙cos2ß                    (10)
y = 2r∙cosß∙sinß              (11)

Выражаем cosß из (10), получаем:

cosß = √(x/(2r))             (12)

Вспоминаем «основное тригоном. тождество» sin2ß + cos2ß = 1, откуда sinß = √(1 – cos2ß).
Тогда (11) переписываем в виде:

y = 2r∙cosß∙sinß = 2r∙cosß∙√(1 – cos2ß)

и подставляем сюда cosß из (12):

y = 2r∙√(x/(2r))∙√(1 – x/(2r))

Возведём лево и право в квадрат:

y2 = 4r2∙x/(2r)∙(1 – x/(2r)) = 2r ∙ x∙(1 – x/(2r)) =  x∙(2r – x) = 2rx – x2
y2 = 2rx – x2                    (13)

Теперь перенесём начало координат вправо на величину r. Для этого сделаем преобразование координат x’ = x - r. Это даст нам замену переменных x = x’ + r. Подставим это в (13) и получим:

y2 = 2r(x’ + r) – (x’ + r)2 = 2rx’ + 2r2 – (x’2 + 2x’r + r2) = 2rx’ + 2r2 – x’2 - 2x’r - r2 = r2 – x’2

Перепишем это в виде:

y2 + x’2 = r2

Если кто не в курсе, это есть ни что иное, как уравнение окружности на плоскости (х’, у) с центром в начале координат. На плоскости же (х, у) это будет кривая окружности с центром с координатами в точке (х=r, 0). Т.о. мы доказали, что биссектриса, подчиняясь закону d = 2cosß∙ab/(a-b), должна своим концом описывать круг с радиусом r = ab/(a-b).

==============================================

Теперь ещё кусочек ликбеза для тех, кто «случайно» этого не знает, который мне понадобился при решении задачи «построить циркулем»:

Геометрическое умножение отрезка а на число b и одновременно его деление на число c, т.е. из a получение ab/c.

См. рисунок 4. Доказывается это просто из подобия треугольников. Имеем такие соотношения для длин сторон:

(x+b)/(a+c) = b/c

Преобразуем:

(x+b)с = b(a+c)        =>     xc + bc = ab + bc      =>     xc = ab      =>     

x = ab/c

=============================================================================
=============================================================================

Теперь, выполнив всю теоретическую часть, переходим к самому главному:

Построение с циркулем и линейкой треугла по биссектрисе, равной d и выпущенной из точки, делящей основание на отрезки a и b.

Блин! Как я устал!

После толстых подсказок Раце про роль окружности радиусом r = ab/(a-b), у меня получилась нижеследующая галиматья. Главное, я слышал слова Раце "Окружность! Окружность!", но я их игнорировал, ибо думал, что они относятся исключительно к снн с её озабоченностью высотой, которая (снн), ясное дело, что ничего циркулем строить не собиралась. Головолом, по его словам, всё понял, но почему-то тоже строить не стал, хотя он даже умеет умножать числа геометрически. Пришлось опять мне. Ну, заодно кое-чему научился и припомнил начала матанализа.

Смотрим рисунок 5:

0) На прямой 0 откладываем отрезки a и b и, тем самым, получаем основание искомого треугла.
1) Строим перпендикуляр 1 к основанию треугла из точки D, из которой будет торчать биссектриса.
2) На расстоянии b ниже основания строим параллель 2 основанию (из точки Е). Не пугайтесь, это не обязательно делать именно так. Я это сделал просто чтобы потом центр окружности, которую описывает конец биссектрисы, сразу оказался на линии основания треугла, т.е. там, где нужно.
3) Из точки Е влево откладываем отрезок 3 длиной b.
4) От левого конца отрезка 3 вправо откладываем до точки F отрезок 4 длиной a так, чтобы между точками E и F получить отрезок длиной a-b.
5) Из точки F до точки G откладываем отрезок 5 длиной a.
6) Из точки F в точку D проводим зелёную прямую 6.
7) Через точку G проводим голубую прямую 7, параллельную зелёной прямой 6. Прямая 7 пересечёт вертикаль 1 в точке H так, что |DH| = ab/(a-b) = r. Это же будет и максимально возможная высота hmax.
8) На прямой основания (линия 0) от точки D до точки R откладываем отрезок 8 длиной |DR| = |DH|, найденной в пункте 8).
9) Строим розовую окружность 9 с центром в точке R и с радиусом r = |DR|.
10) Строим красную окружность 10 с центром в точке D и с радиусом d. Пересечение этой окружности с розовой окр. 9 даст искомую вершину (точку С) искомого треугла.

Отрезок DH’ – это биссектриса d(hmax) при максимальной высоте hmax = |RH’|


Это моё построение мне лично не нравится, ибо оно не интуитивное и требует одного дополнительного вспомогательного построения снаружи и в отрыве от искомого треугла - линию 2. Но зато оно возникло не наугад, а есть следствие анализа и полностью обоснованное, научное и методичное: сначала создали теоретическую базу и решили задачу аналитически, а потом придумали как воплотить это на холсте. ))

Всё-таки надеюсь, что у Вас есть более эвристичное построение.


==================================================================
==================================================================

Уважаемый Головотяп, в который раз выражаю Вам свою признательность.

Ссйчас разбирал Ваше решение и пришел к выводу, что такой подход показывает избыточность условия.
То есть, при нем нет необходимости в точных размерах отрезков AD и DC, достаточно задать только их отношение друг к другу k=AD/DC.
Таким образом условие опубликованной задачи является избыточным!


"Уважаемый Головотяп, в который раз выражаю Вам свою признательность." - Вы, однако, психолог ничуть не хуже, чем геометр. Умеете подмасливать. Чувствуется украинское происхождение.

   Я уже много раз говорил, что мыслительный процесс - весчь сугубо вероятностная. Как повезёт. Да, конечно, ещё очень важны факторы умственных способностей, имеющихся в распоряжении знаний и умений и время обдумывания. Но при фиксированных этих факторах остальное - найдёте ли вы решение и как быстро - это как повезёт.

Даже тут бывало много случаев, когда то Вы тупите, а я нахожу классное решение, то я туплю, а Вы находите его. Я вижу, что у нас с Вами очень разный менталитет, стиль мышления, подход, набор знаний и т.д. И такое различие очень ценно, когда образуется коллектив. Нужно чтобы были очень разные люди. Да, разные люди чаще ссорятся, но зато именно в таких ситуациях чаще рождаются хорошие и необычные решение. Синергия, короче.


"избыточность условия." - Я с Вами согласен. Я не думал об этом и не заметил этого в явном виде, пока Вы не сказали. Но я сразу заметил, что второй вопрос "Найти косинус угла", после первого вопроса, выглядит очень неестественно: задача, вроде не тривиальная и не для школьного урока, и первый вопрос не простой. А второй вопрос чисто на тупое знание теоремы косинусов - просто подставить числа в формулу (не считая необходимости сложить 1+2=3). Если бы не были конкретно даны длины тех двух отрезков, а только соотношение длин 2:1, то нужно было бы сначала их найти. И тогда вопрос "Найти косинус угла" не сводился бы просто к подстановке чисел в формулу и смотрелся бы гармоничнее.

Вообще, то, что я решил эту задачу на порядок более лёгким способом, чем Вы - это чисто Ваша заслуга. Просто после той моей самоэкзекуции с задачей про окружность, вписанную в равнобедренный треугол, где я нашёл 4 сложных решения, а оказалось, что просто надо было разглядеть нужную пару подобных треуглов, я теперь везде параноидально высматриваю подобные треуглы. Странно, что Вы сами их не высмотрели. Там же всего-то 4 треугла - сметреть почти не на что, а Вы заблудились в трёх соснах. ))
« Последнее редактирование: 29 Июль 2017, 22:33:35 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Блин, оказывается изначально я поняла условия в задаче не так. Я думала ( вероятно, как и Странник), что нужно найти соотношение максимальности длины биссектрисы в зависимости от РАЗЛИЧНОГО соотношения отрезков, на которые она разбивает основание! О чем я и пыталась толковать ранее. Т.е. я решала совсем другую задачу. :wall: :crazy:
(ↄ)

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
И чтобы было понятно, что я имела в виду, решите такую задачу:
Даны множество треугольников, равных по площади и основанию, которое поделено биссектрисой из противоположного ему угла на отрезки а и б. В каком треугольнике биссектриса будет минимальна, а в каком максимальна?
(ↄ)

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Я условие понял правильно, мне просто решать аналитически было неохота, а к геогебре доступа сейчас нет. Поэтому я попытался представить задачу в уме и пришел к выводу, что чем меньше угол взять между основанием и биссектрисой, тем длиннее эта биссектриса получится. Я конечно подозревал, что вряд ли тогда Головотяп стал бы задавать свой вопрос, но чтобы сделать ему приятное, наступил на капкан.  :)

И чтобы было понятно, что я имела в виду, решите такую задачу:
Даны множество треугольников, равных по площади и основанию, которое поделено биссектрисой из противоположного ему угла на отрезки а и б. В каком треугольнике биссектриса будет минимальна, а в каком максимальна?
Если заданы не только отрезки а и б, но и площадь, то тогда, как я понимаю, множества треугольников не получится. Их будет не больше двух.

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Если уж я затупила, то по полной программе усложнила себе жизнь! Конечно же величины отрезков в пределах одного треугольника могут быть как бесконечно большими, так и бесконечно малыми ( вернее, основание треугольника), а для множества треугольников с указанными параметрами ( одинаковой высотой и площадью)- разными, т.е. а и б = x и y.
 
(ↄ)

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Раз уж Головотяп свое большое независимое исследование свойств биссектрисы  посвятил в том числе и мне, то я выражаю Головотяпу благодарность за проделанную кропотливую работу, а так же неравнодушной ко всяким треуглам честной компании в виде вопроса по известной картине, ассоциирующейся у меня с пресловутыми углами.
Сестра Гранта Вуда - известного американского художника, утверждала, что на картине "Американская готика" изображены отец и дочь, моделью для которой явилась она сама. Журналисты же усматривали в персонажах супружескую пару. Так кто же ошибся: художник или журналисты?
Вы, конечно же, спросите, - ну, и где же вопрос про треуглы? Хорошо. Заодно перечислите все элементы картины, где есть явный трезубец.
(ↄ)

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Заодно перечислите все элементы картины, где есть явный трезубец.
- вилы
- шов комбинезона
- лица у обоих
- цветок в горшке на окне, самый левый

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1434
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Головотяп,
решение поставленной мною задачи, я определил чисто экспериментальным путем.
Моему удивлению не было предела, когда я обнаружил, что второй конец биссектрисы, при закреплении первого, двигается по окружности.
Если помните, я везде пытаюсь всунуть теорему Р-С хД.
После чего опубликовал задачу на двух ресурсах.
На втором, где тоже далеко не сразу решили, решивший посоветовал мне вспомнить окружность Аполлония. После чего я и ознакомился с теорией.

Что касается выведения формулы, если честно, я просто не попробовал её вывести... Хотя и прочитал несколько выведений.
Есть еще 1 интересный способ определения центра окружности ГМТ для второго конца биссектрисы.

Строим произвольный треугольник АВС, при заданных отрезках а и б (на которые разбит АС), строим биссектрису смежного с В, вершиной треугольника, угла. Это биссектриса пересечет продолженную сторону АС в центре нашей окружности ГМТ, на расстоянии аb/(а-b).

Ну и чисто мой, полученный на основании т-мы Р-С способ.
Строим произвольный треугольник, такой что BD - остается биссектрисой. Строим серединный перпендикуляр к биссектрисе. Точка пересечения перпендикуляра и продолжения стороны АС, будет являться центром окружности ГМТ.
« Последнее редактирование: 31 Июль 2017, 11:33:34 от Race »

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1434
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Хорошо. Заодно перечислите все элементы картины, где есть явный трезубец.
- вилы
- шов комбинезона
- лица у обоих
- цветок в горшке на окне, самый левый
Я бы еще добавил окна и двери. Пусть трезубец там не явный, но все равно четко прорисован.

Масоны?

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Головотяп допустил опечатку в тексте (забыл поменять 180 на 0):
 В п.1)  Нестрогое нахождение dmax на пальцах.

"Т.е. при стремлении ß -> 180° не должно произойти какого-то скачка, и это соотношение должно оставаться верным при ß -> 180°. Когда ß -> 180°, отрезки a’, b’ и d должны стремиться к таким длинам, какие у них были бы при ß = 180°.

Теперь немного арифметики. Рассмотрим случай ß = 180°, к которому стремиться картина при росте d."

 НЕ ЧИТАТЬ!
 
ВОТ ВЕРНЫЙ ТЕКСТ:

"Т.е. при стремлении ß -> 0° не должно произойти какого-то скачка, и это соотношение должно оставаться верным при ß -> 0°. Когда ß -> 0°, отрезки a’, b’ и d должны стремиться к таким длинам, какие у них были бы при ß = 0°.

Теперь немного арифметики. Рассмотрим случай ß = 0°, к которому стремиться картина при росте d".

(ↄ)

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Race, StrannikPiter! Вы верно нашли  явные трезубцы. Хотелось бы уточнить, что на лицах  их образ создают складки и добавить, что трезубец присутствует в пальцах руки фермера и тени от рамы.

Цитировать
Масоны?
:o Т.е. вы хотите сказать, что на картине представлена какая-то иная ( масонская) разновидность родственных отношений?
(ↄ)

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1434
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Race, StrannikPiter! Вы верно нашли  явные трезубцы. Хотелось бы уточнить, что на лицах  их образ создают складки и добавить, что трезубец присутствует в пальцах руки фермера и тени от рамы.

Цитировать
Масоны?
:o Т.е. вы хотите сказать, что на картине представлена какая-то иная ( масонская) разновидность родственных отношений?
Глянул википедию, оказывается трезубцы есть и на швах пиджака, но, наверное, их можно рассмотреть только на оригинале, на моем мониторе ничего не видно)

Если честно я не рассматривал картину с точки зрения родственных отношений. А вот с точки зрения тайных обществ, скрывающихся в глуши, очень даже подходящим выглядит трезубец.

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Race, StrannikPiter! Вы верно нашли  явные трезубцы. Хотелось бы уточнить, что на лицах  их образ создают складки и добавить, что трезубец присутствует в пальцах руки фермера и тени от рамы.

Цитировать
Масоны?
:o Т.е. вы хотите сказать, что на картине представлена какая-то иная ( масонская) разновидность родственных отношений?
Глянул википедию, оказывается трезубцы есть и на швах пиджака, но, наверное, их можно рассмотреть только на оригинале, на моем мониторе ничего не видно)

Если честно я не рассматривал картину с точки зрения родственных отношений. А вот с точки зрения тайных обществ, скрывающихся в глуши, очень даже подходящим выглядит трезубец.

Я вам про Фому, а вы мне про Ерему! ;D
Я подумала, что вы пару обозвали  масонами на мой основной вопрос: кто они - муж и жена или отец и дочь?

По поводу тайного  или зловещего смысла, то автор картины говорил, что писал просто воспоминания из детства. А получилось то, что получилось.
(ↄ)

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1434
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Единственный раз, когда я не стал подробно расписывать доказательство подобия двух треуглов и написал систему 3-х уравнений в строчку, Вы стали меня обвинять в неграмотности.
Не обвинил, а всего лишь не сразу понял. Но, сразу же разобрался.

Вот предложенные Вами методы:
1) "Есть еще 1 интересный способ определения центра окружности ГМТ для второго конца биссектрисы.
Строим произвольный треугольник АВС, при заданных отрезках а и б (на которые разбит АС), строим биссектрису смежного с В, вершиной треугольника, угла. Это биссектриса пересечет продолженную сторону АС в центре нашей окружности ГМТ, на расстоянии аb/(а-b).
"

и

2) "Ну и чисто мой, полученный на основании т-мы Р-С способ.
Строим произвольный треугольник, такой что BD - остается биссектрисой. Строим серединный перпендикуляр к биссектрисе. Точка пересечения перпендикуляра и продолжения стороны АС, будет являться центром окружности ГМТ.
"

Где доказательство или обоснование? Что, так просто "Строим произвольный треугольник, такой что BD - остается биссектрисой" при конкретных заданных a и b? Я тоже, при поиске решения, заметил, что серединный перпендикуляр к биссектрисе проходит через центр окружности. Но я не стал этот метод развивать, ибо сходу не знал, как его доказать.

В этих двух методах (1) и 2)) если я Вас правильно понял, получается, что уже построили треугольник с биссектрисой, выходящей из заданной точки D на заданной стороне AC (т.е. при заданных a и b). Т.е. для решения задачи использовали построение, которое, по сути, та же самая задача. Если же Вы строите произвольный треугольник, т.е. с произвольной вершиной В, то биссектриса, выходящая из точки D, не будет проходить через эту точку В. Если же эта точка В всё-таки может быть использована при дальнейших построениях, то это не тривиально и это надо доказывать. В математике недоказанные методы, но вроде как работающие, не считаются научными, и их нельзя навязывать другим как верные.

Или эти два метода некорректны, или Вы их описали, как всегда, тяп-ляп - лишь бы покороче и я их не понял.

Я уже не буду, без Вашего подробного расписывания, сам для себя доказывать эти два предложенных Вами метода, ибо я уже решил эту задачу, может быть и громоздко, но 100% обоснованно и научно.

Короче, как хотите.

Я неоднократно упоминал, что к сожалению, на данном этапе могу оперировать только геометрическими решениями.
Да, безусловно, что то в голове осталось от аналитики, но очень мало.
В меру своих возможностей я пытаюсь доказывать геометрические построения аналитически, но у меня не всегда это получается.

Так же, неоднократно, упоминалось, что я использую при своих манипуляциях, кастыль - Автокад. Без него, я бы точно не справился.
В идеале же, требуется вместо костыля, использовать аналитическое доказательство, геометрической гипотезы.

Так же, очень помогает, если есть четкое представление в каком направлении двигаться. Так вот, у Вас оно прослеживается, у меня нет.

Не стоит смотреть на решенные мною задачи. Я на решение каждой трачу довольно таки много времени и без доступа к интернету (теория) и автокаду (костыль) вряд ли решил бы даже 50%.

1. Способ с биссектрисой внешнего смежного угла.
Пусть заданы отрезки a, b, на которые разбивает сторону АС, биссектриса BD. Построить окружность ГМТ т. В.
-от т. А откладываем окружность радиусом  x*a
-от т. В откладываем окружность радиусом x*b
-получили т. B' (как точку пересечения окружностей) принадлежащую окружности ГМТ т. В..
-строим прямые АВ и АС
-строим биссектрису угла смежного с АВС.
-продолжаем сторону АС до пересечения с биссектрисой.



Кстати, Вы были совершенно правы, когда не поверили мне на слово, так как биссектриса смежного угла пересечет АС на расстоянии l2rl, от точки D.

Доказать, что точка Е будет находиться на окружности ГМТ, я естественно могу чисто геометрически, доказав что угол ЕВD, прямой, а значит, на ЕD, как на диаметре можно построить окружность проходящую через т. D, E, B - причем только одну.
После чего можно выполнить еще одну либо несколько итераций, останется доказать, что т. Е, E', E" и так далее совпадут.

К сожалению, я учился не на прикладном факультете, а на практическом.
У нас общий вектор был смещен, в сторону эксперимента, обработке результатов уделялось меньше внимания.
Чисто логически я вывел, что если соотношение отрезков a и b стремится друг к другу (a -> b), то r -> ∞, при равенстве, a=b, r=∞, а это значит, что в знаменателе присутствует (a-b).
Большего, я не смог определить.

 

« Последнее редактирование: 31 Июль 2017, 13:52:46 от Race »

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1434
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Во! Совсем другое дело! Молодец!

К чести свой (или к смягчению своей тупости) хочу сказать, что это именно тот метод, которым я и сам хотел двигаться с самого начала, когда уже ознакомился с "основным свойством биссектрисы a/b = a'/b'". Я и сам смекнул, что надо использовать подобие сторон a/b = a'/b' и построить какой-то другой вспомогательный треугол со сторонами a' и b'. Но на тот момент я ещё не знал, что полученная вершина B' будет лежать на окружности r = ab/(a-b), поэтому застрял и бросил. Ну а когда узнал про эту окружность, то к своим предыдущим попыткам строить вспомогательный треугольник с вершиной B' уже возвращаться не стал, так как типа зачем, если можно сразу построить окружность радиусом r = ab/(a-b). Да, оказалось, что радиус  r = ab/(a-b) отложить тоже не тривиально, и я поначалу с ним тоже застрял, и уже хотел возвращаться к построению вспомогательного треугольника с вершиной B'. Но зато когда узнал геометрический метод умножения на х и одновременного деления на у (т.е. a -> ax/y), то так обрадовался, что хотел строить с использованием именно его, а про вспомогательный треугольник с вершиной B' от радости даже и не вспомнил. )))))))))))))))))))))))))

Кстати, в Ваших методах 1) и 2) нужно умножать a и b на одинаковое число х, а это ведь тоже не так уж тривиально (требует дополнительных посторонних построений, точно так же как и в моём методе) и добавляет громоздкости построению. Так что ещё не известно, чей метод более компактен - Ваш или мой, так как Вы свои методы 1) и 2) не изобразили и не описали пошагово с нумерованием чирков как я это сделал. На вскидку мне кажется, что у Вас будет на 1 чирок больше. Может быть потом, для интереса, прорисуете свои методы, чтобы честно сравнить, какой же метод самый простой с точки зрения построения? Мне очень хочется это узнать, чтобы понять, типа я совсем глупый или всё-таки не совсем. ))))))))))))))
Метод основанный на аналитике, на мой взгляд, всегда даст фору интуитивному, так как позволяет оптимизировать построение, что наглядно видно по данной задаче.
Помните как было, когда мы немного залезли в ПГ, я пытался решать интуитивно, в итоге решение удвоения угла, относительно биссектрисы, сам же и не смог объяснить.