Автор Тема: Интересная геометрия.  (Прочитано 5050 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #75 : 07 Январь 2018, 21:55:03 »
Странник, я забыл как называется эта формула, для 3 касающихся и одной вырожденной, формулу то я помнил) но лезть в гугл постеснялся.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #76 : 07 Январь 2018, 22:40:45 »
значит 12?

а если бы требовалось узнать радиус 2 ?
то корень кв. из 96?

Ага, именно так.

Странник, я забыл как называется эта формула, для 3 касающихся и одной вырожденной, формулу то я помнил) но лезть в гугл постеснялся.

Эээ, понятия не имею, о какой формуле речь. Я-то без всяких формул решал, просто взял отношения радиусов исходя из подобия фигур. Например фигура состоящая из первой и второй окружности подобна фигуре, состоящей из второй и третьей. А еще проще рассматривать фигуры 1-2-3 и 3-4-5, но я сразу не догадался так сделать.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #77 : 07 Январь 2018, 23:20:10 »
Погулял с ребенком и понял о чем вы)

плохо помню, там что то если 4 окружности касаются то обязательно выполняется равенство:

1/r1+1/r2+1/r3+1/r4=1
В нашем случае общая касательная будет выступать окружность центр которой бесконечно удален, соответственно задача для любых двух касающихся окружностей и общей касательной сведется к:

1/r1+1/r2=1
Если я правильно помню)

А непосредственно в этой задаче, как вы и указали применяется подобие радиусов:

r2/r1=r3/r2=r4/r3=r5/r4=A
теперь идем с конца и с начала:

r5=Ar4
r1=r2/A
r5/r1=A2r4/r2

В итоге А4=9/4
r3=r5/A2=r1*A2=8*3/2=18*2/3=12
« Последнее редактирование: 07 Январь 2018, 23:41:25 от Race »

Оффлайн ABC145

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 7
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #78 : 08 Январь 2018, 01:08:35 »
если 4 окружности касаются то обязательно выполняется равенство:

1/r1+1/r2+1/r3+1/r4=1


Есть подобная формула, но она выглядит так:
1/r1^2+1/r2^2+1/r3^2+1/r4^2=(1/2)*(1/r1+1/r2+1/r3+1/r4)^2
и применяется только в том случае, если каждая из этих четырёх окружностей касается каждой из остальных, а тут такой четверки нет. Прямую в этой формуле действительно можно считать окружностью бесконечного радиуса, но все равно не получается - если взять 3 меньших окружности и общую касательную, то первая и третья окружности не касаются, а если две меньших окружности и две общих касательных, то общие касательные являются пересекающимися прямыми и аналогичны пересекающимся, а не касающимся окружностям (касающимся окружностям аналогичны параллельные прямые). Поэтому эта формула не работает. А вот решение с подобием работает.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #79 : 08 Январь 2018, 01:12:25 »
Есть подобная формула, но она выглядит так:
1/r1^2+1/r2^2+1/r3^2+1/r4^2=(1/2)*(1/r1+1/r2+1/r3+1/r4)^2
и применяется только в том случае, если каждая из этих четырёх окружностей касается каждой из остальных, а тут такой четверки нет. Прямую в этой формуле действительно можно считать окружностью бесконечного радиуса, но все равно не получается - если взять 3 меньших окружности и общую касательную, то первая и третья окружности не касаются, а если две меньших окружности и две общих касательных, то общие касательные являются пересекающимися прямыми и аналогичны пересекающимся, а не касающимся окружностям (касающимся окружностям аналогичны параллельные прямые). Поэтому эта формула не работает. А вот решение с подобием работает.
Ога, не подходит, так как вторая окружность являющуюся второй касательной, пересекает первую, а не касается её.

Пришлось поднимать старые задачи. Уравнение называется - теоремой Декарта. Давно было, запамятовал.
« Последнее редактирование: 08 Январь 2018, 01:27:41 от Race »

Оффлайн николай

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5481
    • Просмотр профиля
    • E-mail

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #81 : 08 Январь 2018, 03:05:55 »
Вроде тривиальная задача.

S=r2pi[1/4+2*4*45/360+(2-sqrt2)290/360]-1=r2pi[1/4+1+(6-4sqrt2)/4)-1=r2{pi(11-4sqrt2)-4}/4

Вроде теперь правильно.
« Последнее редактирование: 08 Январь 2018, 03:18:51 от Race »

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #82 : 08 Январь 2018, 03:32:43 »
Проще написать r^2.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #83 : 08 Январь 2018, 14:35:57 »
Николай,
доброе утро, я нашел площадь сечения, Вы её имели в виду или плоскость поверхности?
« Последнее редактирование: 08 Январь 2018, 14:44:14 от Race »

Оффлайн николай

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5481
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #84 : 08 Январь 2018, 16:51:28 »
сечения @}->-- :beer:

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #85 : 08 Январь 2018, 18:24:57 »
Николай, ну тогда вроде правильно нашел.
Понятное дело сделал несколько допущений, но без них, задача на мой взгляд нерешаема.
Алаверды: старые интересные  задачки.
1.

2.

3.


Первая единственная не тривиальная.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #86 : 08 Январь 2018, 21:13:37 »
Артем, что-то у Вас как-то путано изложено. Написано что М пересечение квадрата с окружностью, а нарисовано, как пересечение квадрата с диагональю. Точка В это вершина квадрата? Если да, тогда ОВ не равно 5 см. Если нет, то почему ОМ равно ВМ? Похоже Вы нарисовали нечеткий рисунок и сами в нем запутались.

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #87 : 08 Январь 2018, 21:58:43 »
Похоже Вы нарисовали нечеткий рисунок и сами в нем запутались.

Да, Вы правы. Видимо, я ещё не до конца отошёл от праздников.  ;D

Удалил это решение. А я ещё обрадовался, что такое простое число получилось.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1520
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #88 : 08 Январь 2018, 22:05:18 »
Странник,
кстати, если мне не изменяет память, то первую задачу аналитически Вы и я не решили по простому)
А относительно просто решение имеет быть ;)

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #89 : 08 Январь 2018, 22:13:50 »
Я думаю, 2 решается так. Треугольник, соединяющий точки пересечения квадрата и окружности и центр, имеет стороны 5, 5 и 6 и высоту 4 (состоит из двух классических прямоугольных треугольника 3-4-5). Через арктангенс определяем угол, через угол и площадь круга определяем площадь сектора, вычитаем площадь треугольника получаем площадь куска круга, торчащего наружу квадрата. А зная прощадь этого куска, а также площади квадрата и круга легко определить искомую площадь.
Хотя наверняка тут тоже какие-то готовые формулы есть и все решается гораздо проще.