Автор Тема: Интересная геометрия.  (Прочитано 2643 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1190
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #45 : 28 Декабрь 2017, 13:21:53 »
Ну, вот и выведите. Я хочу на нее посмотреть.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #46 : 28 Декабрь 2017, 13:34:25 »
Ну, вот и выведите. Я хочу на нее посмотреть.

Смотрите:

Конечно есть, формула для радиуса вписанной окружности дляпрямоугольного треугольника элементарно выводится учеником средней школы, для этого достаточно вспомнить что стороны любого треугольника можно представить в виде:
AB=x+y
BC=y+z
CA=z+x
где x, y, z расстояние от вершины до точки касания вписанной окружности, а так как мы знаем что при прямом угле радиусы с отрезками от точки касания до прямого угла образуют квадрат. то данное уравнение можно переписать как:
AB=x+y
BC=y+r
CA=x+r
сложим второе и третье уравнение
BC+CA=x+y+2r
теперь вычтем из него 1е
BC+CA-AB=x+y-x-y+2r => r=(BC+CA-AB)/2
Кстати, если Вам действительно интересно то данная формула применима не только к прямоугольному треугольнику, а вообще к любому, а именно при её помощи можно вычислить расстояние от вершин, до точек касания вписанной окружности.

2x=AB+BC-CA
2y=BC+CA-AB
2z=CA+AB-BC
« Последнее редактирование: 28 Декабрь 2017, 13:45:02 от Race »

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 453
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #47 : 28 Декабрь 2017, 13:52:10 »
Головолом,
что бы найти середину отрезка, необходимо найти концы отрезка. Этот момент мне и не ясен.

И Вы меня пугаете, что значит на биссектрисе будет лежать диаметр, он что 1 что ли? Я всегда думал что диаметром является любая хорда проходящая через центр окружности, в нашем случае биссектриса угла проходит через центр, но что это дает?
А чем вам не нравятся точки пересечения биссектрисы и вписанной окружности в качестве концов отрезка-диаметра?  :o
В общем получается так:
1) биссектриса угла В проходит через центр вписанной окружности
2) отрезок на биссектрисе, ограниченный вписанной окружностью будет диаметром вписанной окружности
3) делим этот отрезок-диаметр пополам и получаем центр вписанной окружности.
Если и сейчас не понятно, тогда я уже не знаю, как ещё объяснять. Ну или спросите в конце концов Странника, он мои рассуждения обычно понимает и переводит на ещё более понятный язык  ;D

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #48 : 28 Декабрь 2017, 13:58:55 »
Головолом,
Ваша логика мне понятна, но не понятно каким образом вы определили концы отрезка совпадающего с диаметром.Ведь именно в этом вся соль задачи.
Ваше оъяснение, на данный момент, сводится к тому, что расположение отрезка ограничивающего диаметр вписанной окружности является очевидным, но не приводите вообще никаких данный по поводу определения местоположения вышеуказанных точек.

Со стороны это выглядит так: "потому что я так сказал", но по логике вещей, данные точки расположены на биссектрисе определенным образом, для каждой пары отрезков имеющих общую точку, на биссектрисе их будет всего 2!

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #49 : 28 Декабрь 2017, 16:14:57 »
Головолом,
у меня появилось время, черчу все пошагово и с описанием.
1. Имеем окружность и 2 хорды, 1 край которых совпадает. Рисуем:

2. Строим биссектрису угла АВС. Вспомогательные окружности убираю.

3. Без дополнительных построений, сама биссектриса дала нам 1 точку, свое пересечение с окружностью. Точку указал на пред идущем рисунке.
4. Собственно вопрос. Где на данной биссектрисе, будет располагаться вышеупомянутый диаметр? И по каким признакам он является очевидным?
Может я что то не знаю, может есть какие то тайны мироздания, которые делают ответ на мой вопрос тривиальным, но постичь не в состоянии.
« Последнее редактирование: 28 Декабрь 2017, 16:23:41 от Race »

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 453
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #50 : 28 Декабрь 2017, 16:57:26 »
Начну всё с начала:
Шаг 1: строю биссектрису угла В, для этого провожу окружность 1 с центром в В, затем из точек пересечения окружности 1 с отрезками АВ и ВС провожу окружности 2 и 3 того же радиуса. Они пройдут также через точку В. Через точки пересечения окружностей 2 и 3 провожу прямую, которая и будет биссектрисой угла В (точнее, не сама прямая, а лучи, лежащие на ней и выходящие из точки В). Один из лучей будет пересекать вписанную окружность в точках E и F

Отступление для доказательства: по свойству касательных, проведённых из одной точки (отрезки ВА и ВС) точки касания к окружности будут равноудалены от общей точки (В) и эти же касательные будут лежать под равными углами к прямой, проведённой через центр окружности и общую точку (В). Отсюда следует, что наша биссектриса будет совпадать с этой прямой и проходить через центр вписанной окружности. Отсюда можно сделать вывод, что отрезок  EF, проходя через центр вписанной окружности и являющийся её же хордой, по совместительству (и счастливому совпадению) будет являться ещё и диаметром данной вписанной окружности.

Шаг 2: Делю отрезок EF пополам, построив окружности равных диаметров в точках E и F и проведя через точки их пересечения прямую. Точка пересечения новой прямой с диаметром EF (О) будет серединой данного диаметра и (опять же по счастливой случайности) центром вписанной окружности.

Шаг 3: из точки С через точку О строю луч, который будет являться биссектрисой угла BCD (доказательство рассмотрено выше). Далее нужно отложить луч зеркально СВ относительно СО. Для этого строим окружность 6 с центром с точке С. Через точки пересечения данной окружности со вписанной окружностью провожу прямую. Из точки пересечения данной прямой и биссектрисы СО строю окружность 7 таким радиусом, чтобы она проходила через точку пересечения отрезка ВС и последней построенной прямой. Соответственно с другой стороны точка пересечения данной окружности с последней построенной прямой должна будет лежать на отрезке CD. Следовательно через неё и проводим прямую из точки С. А точка пересечения этой прямой с описанной окружностью будет искомой точкой D

Вот как-то так, доступнее ход своих мыслей я изложить не могу  :(

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #51 : 28 Декабрь 2017, 17:03:01 »
Начинает проясняться. Вы точки E и F взяли построив отфонарную окружность вписанную в угол АВС?

Собственно если двигать центр вписанной окружности по биссектрисе то и отрезок EF двигается!

« Последнее редактирование: 28 Декабрь 2017, 17:07:40 от Race »

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 453
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #52 : 28 Декабрь 2017, 17:15:17 »
Начинает проясняться. Вы точки E и F взяли построив отфонарную окружность вписанную в угол АВС?
Если вчитаетесь в условие ВАШЕЙ задачи, в которой написано:
Цитировать
Известно, что 4-угольник ABCD есть и вписанным (в некую окружность), и описанным (вокург некой окр.). Нам даны только точки A, B, C этого 4-угольника. Как построить (циркуль, линейка) точку D?
То поймёте, что ОТФОНАРНОЙ будет являться окружность, вокруг которой описан (по условию) четырёхугольник ABCD.
Или мы решаем с вами разные задачи???  :o

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #53 : 28 Декабрь 2017, 17:27:28 »
То поймёте, что ОТФОНАРНОЙ будет являться окружность, вокруг которой описан (по условию) четырёхугольник ABCD.
Или мы решаем с вами разные задачи???  :o
Категорически с вами не согласен:
 Описать окружность можно вокруг абсолютно любого треугольника АВС причем единственным образом.
Факт №1.
Значит помимо 3 точек, нам известна еще и описанная окружность.

Описать окружность вокруг четырехугольника можно только при определенны условиях: сумма противоположных углов должна ровняться 180 градусам, причем выполнить это можно единственным образом.
Вписать окружность в четырехугольник можно только при определенных условиях: сумма противоположных сторон должна попарно совпадать. AB+CD=AD+BC, причем выполнить это можно единственным образом.

Факт №2
Если же Вы, при заданной описанной окружности, выбираете произвольную вписанную, то четырехугольник ABCD получится одновременно вписанным и описанным только в том случае, если Ваша удача позволяет постоянно срывать Джек-поты в 6 на 36.


Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 453
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #54 : 28 Декабрь 2017, 17:35:39 »
Тогда нарисуйте условие вашей задачи

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #55 : 28 Декабрь 2017, 17:45:03 »
Тогда нарисуйте условие вашей задачи
Не понимаю как можно по другому интерпретировать условие, что четырехугольник ABCD является одновременно и описанным и вписанным, затем выложу уже выполненное построение с стертыми вспомогательными линиями.

Для каждой тройки точек, можно построить всего 1 четырехугольник удовлетворяющий условию.

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 453
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #56 : 28 Декабрь 2017, 17:58:31 »
Как раз условие я так и понял. Но вот не понял, что  вы не можете понять в моём решении.
Так, например, красная окружность в вашем условии и будет являться ОТФОНАРНОЙ в моём решении.
И теперь уже я не понимаю, что мы тут решаем  :wall:

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #57 : 28 Декабрь 2017, 18:22:39 »
Как раз условие я так и понял. Но вот не понял, что  вы не можете понять в моём решении.
Так, например, красная окружность в вашем условии и будет являться ОТФОНАРНОЙ в моём решении.
И теперь уже я не понимаю, что мы тут решаем  :wall:



Отфонарная фиолетовая и как сами видите четырехугольник ABCD' безусловно описанный, но ни в коей мере не вписанный.
Красная окружность ни в коем случае не отфонарная. Ее расположение можно получить как аналитически, так и построением. Причем, попрошу заметить, она одна такая, а фиолетовых может быть бесконечное кол-во.

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 453
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #58 : 28 Декабрь 2017, 18:41:14 »
Тогда объясните мне, почему когда я рисую вписанную (по условию) окружность, то она отфанарная, а когда вы её рисуете, то она не отфанарная?  :o ... или мне её красной тоже надо было нарисовать???
П.С.: предположу ещё одно - окружности, видимо, не заданы явно.
« Последнее редактирование: 28 Декабрь 2017, 18:46:56 от Головолом »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #59 : 28 Декабрь 2017, 18:44:45 »
Головолом,

Ок, предположим, что Ваша окружность не отфонарная.
Вернемся к нашим баранам, каким образом вы определяете положение точек E и F?

Если строите случайную вписанную в угол АВС окружность, то случайная=отфонарная.
Если же их местоположение вы определяете какими то манипуляциями - решаете задачу, то она ни в коем случае не отфонарная, и именно метода которым Вы определяете местоположение этих точек, я и пытаюсь добиться от Вас последние надцать постов.

Вы извините конечно, но у меня складывается ощущение, что Ваш аккаунт взломал Головотяп и троллит меня  :o
« Последнее редактирование: 28 Декабрь 2017, 18:46:17 от Race »