Автор Тема: Интересная геометрия.  (Прочитано 3138 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 483
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #30 : 25 Декабрь 2017, 19:26:44 »
Построил поточнее, посчитал. В первый раз ошибся в определении бОльшего радиуса. Пришлось посчитать ещё синусы углов и построить дополнительный треугольник внутри бОльшей окружности. В итоге сумма радиусов сейчас получилась 8.
П.С. Решение полностью писать не удобно, т.к. много дробей с корнями.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #31 : 26 Декабрь 2017, 01:39:45 »
Головолом,
теперь правильно.
Но можно гораздо проще,

r1+r2+r3=(a+b-20+8+20-c-a+8+c-b)/2=16/2=8

Соответственно можно сделать вывод, что для любого прямоугольника разделенного подобным образом значение суммы радиусов будет зависеть только от меньшей стороны и численно ровняться ей (естественно при возможности подобного построения, а именно a>2b, где b - меньшая сторона).


Задача с вписанным и описанным четырехугольником гораздо более интересна, никто не хочет повозиться?
« Последнее редактирование: 26 Декабрь 2017, 01:48:24 от Race »

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 483
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #32 : 26 Декабрь 2017, 12:20:40 »
В принципе, догадывался, что есть какие-то свойства вписанной окружности, но специально не стал их искать, а полез в дебри. Но вышел, как ни странно, туда же (хоть и со второй попытки)  ;D
По четырёхугольнику повожусь в свободное время

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 483
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #33 : 26 Декабрь 2017, 14:55:46 »
Вот моё решение по четырёхугольнику, не претендующее на оптимальность, конечно же:
1) построил биссектрису угла В (красные), на ней будет находится диаметр вписанной окружности
2) нашёл центр вписанной окружности (синие)
3) построил биссектрису угла С и относительно её отложил СД симметрично СВ (зелёные)

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #34 : 26 Декабрь 2017, 16:07:22 »
В принципе, догадывался, что есть какие-то свойства вписанной окружности, но специально не стал их искать, а полез в дебри. Но вышел, как ни странно, туда же (хоть и со второй попытки)  ;D
По четырёхугольнику повожусь в свободное время
Конечно есть, формула для радиуса вписанной окружности дляпрямоугольного треугольника элементарно выводится учеником средней школы, для этого достаточно вспомнить что стороны любого треугольника можно представить в виде:
AB=x+y
BC=y+z
CA=z+x
где x, y, z расстояние от вершины до точки касания вписанной окружности, а так как мы знаем что при прямом угле радиусы с отрезками от точки касания до прямого угла образуют квадрат. то данное уравнение можно переписать как:
AB=x+y
BC=y+r
CA=x+r
сложим второе и третье уравнение
BC+CA=x+y+2r
теперь вычтем из него 1е
BC+CA-AB=x+y-x-y+2r => r=(BC+CA-AB)/2

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #35 : 26 Декабрь 2017, 16:18:06 »
По вписанному описанному четырехугольнику я ничего не понял.
1. У нас есть 2 отрезка с общей точкой, значит они образуют угол. ОК, согласен строим биссектрису угла, согласен.
2. Как Вы нашли центр вписанной окружности? Если именно для его нахождения требуется построение 2й биссектрисы?
И так кручу Ваш чертеж и этак, ну не вижу я каким образом вы определили центр вписанной.  Ясно что центры синих будут расположены на биссектрисе, но более точно как? Вижу Ваши синие кресты, но как вы определили место их дислокации постичь не могу. Это наука, или творчество?:) :rest: :paper:
« Последнее редактирование: 26 Декабрь 2017, 16:30:57 от Race »

Оффлайн Головолом

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 483
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #36 : 27 Декабрь 2017, 16:57:56 »
На биссектрисе угла В будет лежать диаметр вписанной окружности (можно отдельно привести доказательство этого), следовательно, она проходит через центр вписанной окружности. Ну а как найти середину отрезка за три "чирка" не мне вас учить  ;D

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #37 : 27 Декабрь 2017, 17:19:37 »
Головолом,
что бы найти середину отрезка, необходимо найти концы отрезка. Этот момент мне и не ясен.

И Вы меня пугаете, что значит на биссектрисе будет лежать диаметр, он что 1 что ли? Я всегда думал что диаметром является любая хорда проходящая через центр окружности, в нашем случае биссектриса угла проходит через центр, но что это дает?
« Последнее редактирование: 27 Декабрь 2017, 17:29:47 от Race »

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1293
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #38 : 27 Декабрь 2017, 20:25:06 »
Это самоочевидно, если окружность вписанная. А если описанная - тогда биссектриса является медианой и высотой, то есть треугольник равнобедренный.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #39 : 27 Декабрь 2017, 20:26:51 »
Это самоочевидно, если окружность вписанная. А если описанная - тогда биссектриса является медианой и высотой, то есть треугольник равнобедренный.
Если самоочевидно приведите факты. А не голословные высказывания.
Центр вписанной окружности есть точка пересечения любых двух биссектрис четырехугольника.
Если Вам известны еще какие либо самоочевидные факты, в студию.

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1293
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #40 : 27 Декабрь 2017, 20:31:06 »
Мы напишем на стене...
"Головой не биться".
Мы прикрепим к бороне...
Надпись "Не садиться".
Мы в грязи поставим знак...
"Спать здесь неудобно".
На бревне напишем так...
"Это несъедобно".

Стихи не мои, с детства помню.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #41 : 27 Декабрь 2017, 20:32:28 »
 :wall:
ок, Вам скучно, постараюсь впредь игнорировать Ваши посты.

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1293
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #42 : 28 Декабрь 2017, 01:30:15 »
Это самоочевидные объявления.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1691
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #43 : 28 Декабрь 2017, 03:07:38 »
Конечно есть, формула для радиуса вписанной окружности дляпрямоугольного треугольника элементарно выводится учеником средней школы, для этого достаточно вспомнить что стороны любого треугольника можно представить в виде ...
;D Ага, Вы преувеличиваете наши способности помнить дурацкие формулы из средней школы. Конечно можно было и без таких специфических формул вычислить, как Головолом и сделал. А я в Геогебре построил и узнал ответ. Но я думал там нужно потасовать треугольники и как-то их расставить, чтобы радиусы или диаметры выстроились в линию. Алгебраический путь я рассматривал, и поискал даже формулу для вписанной окружности, но там были корни. А именно для прямоугольного треугольника не догадался поискать.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #44 : 28 Декабрь 2017, 12:44:51 »
StrannikPoter,
согласен, мне было проще, я относительно недавно повторял вписанные окружности.
Но, если совершенно откровенно, я решил немножко сложнее, а именно:
1. Доказал подобие всех трех треугольников (элементарно, через равенство 3 углов.
2. Составил пропорцию для 2 меньших и вычислил величины катетов которые делят длинную сторону прямоугольника.
3. Применил формулу для прямоугольного треугольника, где у меня сократились только иррациональные стороны.

В форме приведенной тут, наиболее оптимальной, решение выложил другой человек)


Кстати, эту формулу я не помню, но по мере надобности вывожу, выводится то элементарно)