Автор Тема: Интересная геометрия.  (Прочитано 2640 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Интересная геометрия.
« : 17 Июль 2017, 18:23:10 »
Задача из ЗФТШ МФТИ 2013 для 9 класса:

Вот тут уже придется подумать)

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #1 : 26 Июль 2017, 12:49:20 »
Race! Мне лично влом решать чисто математические задачи без права на озарение и на незнание формул, а вот Головотяпу - в кайф!
Выкладываю посвященное царевне-лягушке с электроприводом решение:

 1) Достраиваем исходный треугольник АВС до треугольника ЕВС за счёт того, что удлиняем сторону ВА в два раза до стороны ВЕ: |ВА| = |АЕ|. Тогда отрезок СА становится медианой нового треугольника ЕВС, а точка D становится точкой пересечения медиан треугла ЕВС, ибо длины отрезков CD и DA соотносятся как 2:1, а это есть свойство медиан пересекаться в такой точке.

    Соответствующим образом продолженный отрезок BD, будучи биссектрисой угла СВА, тоже проходит через эту точку D, значит это тоже медиана, и значит треугол ЕВС – равнобедренный, ибо у него совпадают биссектриса и медиана из вершины В. Значит |СВ| = |BE| и |СВ| = 2|ВА|, т.е. а = 2с.

 

     2) Докажем теперь, что треугольники СКВ и АКВ подобные.

 

    Пусть для треугла СКВ углы ß и µ будут временно обозначаться как ßлев и µлев, а для треугла АКВ как ßправ и µправ.

По условию BD – это биссектриса угла ^СВА, поэтому углы ^CBD = ^ABD = α. Для треугла СКВ угол ^СВD = α является внешним, поэтому ^СВD = ßлев + µлев = α. Аналогично ^ABD = α = ßправ + µправ. Но для угла ^CKA = α = ßлев + µправ. Тогда получается:

α = ßлев + µправ = ßлев + µлев = ßправ + µправ, откуда следует, что ßправ = ßлев и µправ = µлев. Углы же ^СВК и ^АВК равны, потому что BD – это бисектрисса ^СВА.

 

Т.о. доказано, что треуглы СКВ и АКВ подобные, т.к. у них все углы равны. По условию |ВК| = 2. Из этого следует отношение сторон

а : 2 = 2 : с    =>    ac = 4. Раньше мы доказали, что а = 2с. Т.о. получаем систему из двух очень сложных уравнений:

 

а = 2с    и    ac = 4 

 

Следовательно,

с2 = 2 и с = √2                и             а = 2√2

 

Косинус же угла ^АВС находим тупо по теореме косинусов, заметив, что |CА| = 2+1 = 3

 

|CА|2 = a2 + c2 – 2ac∙cos2α

32 = (2√2)2 + √22 – 2∙2√2∙√2∙cos2α

9 = 8 + 2 – 8cos2α

cos2α = (10-9)/8 = 1/8

 

(ↄ)

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #2 : 26 Июль 2017, 14:43:12 »
Ответ правильный, только я не совсем понял на основании чего из
х+у=а+б был сделан вывод что х=а, а у=б?
Тем не менее на правильность ответа это нисколько не повлияло.
с другой стороны, х+а=у+б из чего следует что а=у... просто Головотяп упустил этот момент в рассуждениях.
Все верно. Решено даже легче чем у меня.
Единственная ремарка, не было необходимости доказывать отношение сторон АВ и ВС через достроение, так как оно определялось через основное свойство биссектрисы.

У меня решение несколько сложнее.
1. Описываем вокруг АКС окружность
2. Продолжаем АВ и ВС до пересечения с окружностью.
3. Доказываем что получили трапецию.
4. Продолжаем КД до пересечения с окружностью в точке К1.
5. Доказываем что КВ=ВК1
6. По теореме о пересекающихся хордах находим АВ и ВС.
7. По теореме косинусов находим косинус АВС.
« Последнее редактирование: 26 Июль 2017, 14:52:16 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #3 : 26 Июль 2017, 15:11:42 »
Ответ правильный, только я не совсем понял на основании чего из
х+у=а+б был сделан вывод что х=а, а у=б?
Тем не менее на правильность ответа это нисколько не повлияло.
с другой стороны, х+а=у+б из чего следует что а=у... просто Головотяп упустил этот момент в рассуждениях.
Все верно. Решено даже легче чем у меня.
Единственная ремарка, не было необходимости доказывать отношение сторон АВ и ВС через достроение, так как оно определялось через основное свойство биссектрисы.



Ваше решение потом посмотрю, а пока скажите, где Вы такое нашли, что, якобы утверждалось, что

"на основании х+у=а+б был сделан вывод что х=а, а у=б?" Такого отродясь не было. Головотяп слишком щепетилен в своих доказательствах, чтобы такую хрень делать.

"так как оно определялось через основное свойство биссектрисы" - Если бы Головотяп знал все геометрические штучки-дрючки, какие знаете Вы, он бы вообще гением был бы. А так для него даже теорема Пифа и Гора уже достижение. Головотяпу приходится всё делать своим умом, а не умом Лобачевского.


Сей пост будет удалён, так что процитируйте его, если что.

х+у=а+б был сделан вывод что х=а, а у=б?
Я не понял на каком основании вы сделали выводы о подобие треуглов по трем углам.
Не более того. Вывод совершенно справедливый, как сам же и доказал ниже.

Биссектриса делит основания на отрезки кратные прилегающим к ним сторонам, то есть, если биссектриса делит основание на х и у, то всегда будет выполняться пропорция: х/у=а/б, где х-касается а, а у, соответственно б.

Вы это доказали, только что)
« Последнее редактирование: 26 Июль 2017, 15:16:55 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #4 : 26 Июль 2017, 22:06:59 »
Да, я до этого додумался  выложил немного выше.
Просто для Вас это было очевидным, мне же пришлось подумать.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #5 : 26 Июль 2017, 22:27:49 »

х+у=а+б
.
с другой стороны, х+а=у+б из чего следует что а=у...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #6 : 28 Июль 2017, 16:35:51 »
Уважаемый Головотяп, в который раз выражаю Вам свою признательность.

Ссйчас разбирал Ваше решение и пришел к выводу, что такой подход показывает избыточность условия.
То есть, при нем нет необходимости в точных размерах отрезков AD и DC, достаточно задать только их отношение друг к другу k=AD/DC.
Таким образом условие опубликованной задачи является избыточным!

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #7 : 05 Декабрь 2017, 02:07:04 »

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1190
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #8 : 05 Декабрь 2017, 04:18:00 »
tan red = 1/5. tan blue = 3/2. Дальше считайте сами.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #9 : 05 Декабрь 2017, 11:59:27 »
 :P напоминаю, данная тема не про флуд, а про геометрию.
Честно слово, Вы уже до чертиков надоели.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1680
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #10 : 05 Декабрь 2017, 12:21:00 »
45о

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #11 : 05 Декабрь 2017, 12:35:03 »
Я так же доказал) Там если клетки дорисовать, то элементарно доказывается конгруэнтность 2 маленьких треугольников, а так же что угол между их гипотенузами составляет 90 градусов. После чего, так как большой треугольник равнобедренный, получаем значение искомого угла
.
Странник,  :beer:

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #12 : 05 Декабрь 2017, 13:21:47 »
Цитировать
Там если клетки дорисовать, то элементарно доказывается конгруэнтность 2 маленьких треугольников, а так же что угол между их гипотенузами составляет 90 градусов. После чего, так как большой треугольник равнобедренный, получаем значение искомого угла
Race!
1. Просьба привести доказательства конгруэнтности и равносторонности и прямоугольности полученного треугла.
2. А если клетки НЕ дорисовывать ( действовать в рамках заданного пространства)? Можно еще, кроме как через тангенсы ( что и сделала South Paw Mary), решить задачу?
(ↄ)

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1185
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #13 : 05 Декабрь 2017, 14:22:08 »

Race!
1. Просьба привести доказательства конгруэнтности и равносторонности и прямоугольности полученного треугла.
2. А если клетки НЕ дорисовывать ( действовать в рамках заданного пространства)? Можно еще, кроме как через тангенсы ( что и сделала South Paw Mary), решить задачу?
1.
1.1. Рассмотрим треугольники AEB и ACD, углы E и D у них прямые, а катеты попарно равны: EB=AD=3; EA=DC=2 => треугольники AEB и ACD равны между собой, конгруэнтны.
1.2. ∠EAB+∠EBA=90=∠DAC+∠DCA; ∠DAC+∠CAB+∠EAB=180 => ∠CAB=180-(∠DAC+∠EAB), но ∠EAB=∠DAC => ∠CAB=180-90=90
1.3. Из (1) следует что АС=АВ, а это значит, что  ∠АВС=(180-90)/2=45ю
2 По формулам сложения и вычитания для аргумента котангенса либо тангенса решение наиболее очевидно, иного я не знаю.
По здравым размышлениям можно аналогично решить через разницу аргументов синуса или косинуса. Гипотенузы вычислить по теореме Пифагора.
Но на мой взгляд, наиболее простой метод, как минимум на данный момент, мой, а наиболее очевидный, предложенный South Paw Mary.

« Последнее редактирование: 05 Декабрь 2017, 16:18:33 от Race »

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Интересная геометрия.
« Ответ #14 : 05 Декабрь 2017, 21:47:19 »
Цитировать
наиболее очевидный, предложенный South Paw Mary.
и простой, на мой взгляд.
(ↄ)