Автор Тема: Равновеликие фигуры  (Прочитано 2534 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1512
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #30 : 16 Июнь 2017, 14:46:24 »
Используя медианы треугольника, можно строить треуглы равновеликие прямоугольникам, но визуально сильно от них отличающиеся, к примеру как на построении.
Сторона прямоугольника, как и в первом случае численно равна медиане треугла, только не целого, а его половины.
« Последнее редактирование: 16 Июнь 2017, 15:09:08 от Race »

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #31 : 16 Июнь 2017, 23:32:44 »
Используя медианы треугольника, можно строить треуглы равновеликие прямоугольникам, но визуально сильно от них отличающиеся, к примеру как на построении.
Сторона прямоугольника, как и в первом случае численно равна медиане треугла, только не целого, а его половины.

Бдраздрешите Вас бдраздравить с бдусбдпешным бднахожбдением бдкоробткого решения сих милых задач! :yahoo: @}->--


Как только я увидел слово "медиана", я понял, что Вы либо уже решили, либо скоро решите. Да! Медиана - это и есть эврика. А дальше уже дело техники и Ваши лишние чирки.

   А технические трудности с лишними чирками у Вас возникли при построении параллельных прямых. Я же в условии в явном виде написал "только угольником (двигаемым) + линейкой".
   Я мог бы линейку тоже запретить, но это лишь вызвало бы необходимость строить параллельные не сразу путём сдвига угольника вдоль приложенной к нему линейки, а через дополнительный перпендикуляр, т.е. плюс один лишний чирк. Это никак не влияет на поиск решения и суть задачи, а лишь только загромождает рисунок. Поэтому я линейку не стал запрещать в пользу красоты задачи и решения. А Вы почему-то всё решали только угольником без линейки.
   Даже если угольник не прямоугольный, всё тоже самое - с линейкой параллель строится в один чирок, а без линейки - в два. Чисто техническое различие и мелкое неудобство.

И главное, у Вас был пост № 41 в http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8577.30.html
"А я поделил отрезок на 2 части .... Построил на нем произвольный угол с одной стороны, затем с другой пририсовал 2 параллельных прямых и соединил точку пересечения и вершину угла. В итоге заданный отрезок получился диагональю параллелограмма".
   После этого Вашего поста я был уверен, что медиану Вы построите просто достроив параллелограмм к треуглу в 3 чирка. А вы начали там дурью маяться - пристраивать всяко-разные прямоугольники да трапеции и рисовать им диагонали. Всё это лишнее, хотя, само по себе, умно, смекально и похвально.
    Ну, я тоже всегда много лишнего при решении делаю. ;D ;D

======================================================================

                                                               Комменты по вашим рисункам.

1) По задаче номер 1).

  В посте №28 Вы дали почти точно моё решение, если выкинуть всякую трёхэтажную фигню, связанную с построением медианы. И до Вас там, кажется, ещё не дошло, что Вы строили медиану. ;D


2) По задаче номер 2).

  В посте № 29 Вы дали почти точно моё решение, если выкинуть совершенно ненужный чирк номер 3, имея ввиду, что параллель 5 можно провести с угольником и линейкой и без лишнего перпендикуляра 3.

Ваш монстрик на последнем рисунке напомнил мне стрелу башенного крана.  ;D

==========================================================================

Прилагаю мои нежно и старательно мастерски выполненные рисунки.

Пояснения к ходу мыслей моих решений и к тому, что я имел ввиду, говоря, что равновеликость видна невооружённым глазом.


1) По задаче номер 1).

В задаче номер 1) я (теперь уже мы) с помощью медианы разделил треугол на два равновеликих, и выбросил нафиг одну из получившихся половинок. И построил прямоугол на базе одной из сторон одной из половинок (т.е. на базе медианы). А строить прямоугол на базе стороны треугла - это как два пальца обсосать.

Визуально же из рисунка видно, что построенный прямоугол и половинка заданного треугла имеют общее основание и одинаковую высоту. Всё!


2) По задаче номер 2).

   В задаче номер 2 у меня получилось два разных метода. Первый (раньше я его называл вторым) совпадает с Вашим (за исключением способа построения одной параллели).
   Тут равновеликость становится очевидной для невооружённого глаза если заметить, что полученный треугол делится стороной прямоугла на два полутреугла. Верхний полутреугол имеет совпадающие с прямоуглом основание и высоту. Нижний полутреугол тоже имеет совпадающую с прямоуглом основание. А одинаковость высоты видна глазом из пристроенного параллелограмма.

   По второму моему методу (раньше я его называл первым) (рисунки 3 и 4) по третьему рисунку равновеликость может сходу показаться неочевидной (потому что я с третьего рисунка убрал всё ненужное). И я тут, для пущей понятности, привожу ещё 4-й расширенный рисунок, с которого, кстати, у меня и придумалась сия пара задач.  ;D
   Видно, что полученный треугол тоже разбивается вертикальной стороной прямоугла и её продолжением на два полутреугла. Левый полутреугол имеет совпадающую с прямоуглом горизонтальную высоту. Также видно что вертикальнео основание левого полутреугла равно вертикальной стороне прямоугла, ибо там сторона прямоугла делится диагональю двойного прямоугла пополам. Для правого полутреугла такие же рассуждения.
   

   Наши методы для решения задачи номер 1), я называю "метод медианы данного треугла".
   Наши методы для решения задачи номер 2), я называю "метод "обратной" медианы треугла", или "метод удвоения стороны треугла, вписанного в данный прямоугол".
   Свой второй метод для задачи номер 2), я называю "метод диагонали двойного прямоугла". Можно попробовать сделать от него обратный ход для получения ещё одного метода для решения задачи номер 1).  :)

=========================================================

    Кстати, эту пару задач можно модифицировать:
Заменить прямоугольный угольник на произвольный не-90°- угольник и заменить слово "прямоугольник" на параллелограмм. Так же за 6 чирков.  ;D


===========================================================

Ситуация с данной задачей (и недавней трисекцией угла 120°), где до Вас долго не доходил простые вещи, а также с задачей о вписанной округе в равнобед. треугол, где я не мог сообразить, что одинаковых углов должно быть намного больше, чем я сначала нашёл - это очередной пример моего "открытия", что мыслительный процесс - весч сугубо случайная и вероятностная, т.е. как повезёт. Я тут об этом уже писал несколько раз.
   Вот мы с Вами - вроде оба не дураки и периодически "быстро" решаем сложные задачи "гениальными" способами. Но при этом также периодически по долгу не можем врубиться в простые вещи. И у Странника такая же херня. И у снн. Да у всех!
  Даже великие Эйнштейн и Макс Планк были не свободны от сих "проблем". Эйнштейн, за относительно короткий срок, сделал несколько гениальных открытий - СТО, ОТО, E=mc2, а также существенный вклад в возникновение квантовой физики (фотоэффект). А после этого всю свою вторую половину жизни посвятил попытке объединить свою ОТО и квантовую механику. Но он ни шагу, даже хоть как-то, абсолютно ничего не смог поделать на этом пути. Так и умер с бумагой и ручкой в руках, тщетно пытаясь это сделать.
  Мак Планк - сделал самый первый и самый важный шаг в открытии квантовой механики, а потом сопротивлялся её же развитию, так и не сумев отречься от своих классических убеждений.

« Последнее редактирование: 17 Июнь 2017, 00:05:48 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #32 : 17 Июнь 2017, 12:38:08 »
А вот народилась ещё одна пара задачек. Первая из них простенькая, а вторая чуток посложнее.

Напоминаю, сей сайт - не учебник геометрии, поэтому приветствуется и даже нужно по мере необходимости применять "бытовую" смекалку, если это не противоречит условиям задачи. И не сдерживать себя учебниковскими рамками Странника типа "линейка - это не ваша кривая толстая козья линейка, а лишь теоретическая возможность провести линию через две точки". Представьте, что вы - древний чертёжник, свесившийся над ватманом, и у вас есть две работоспособные руки, деревянный угольник с одним углом и "бесконечными" сторонами, деревянная линейка с одной стороной ("бесконечная") и т.д.

   Я уже придумал по одному неучебниковскому решению для сих задач. Возможно, они решаются намного проще и более математично (чисто по-учебниковски), пока не знаю.
   Мои решения многоходовые, и каждый ход - это сама по себе задача, порой даже нетривиальная. Но, как я уже раньше писал, можно (и нужно) применять всё, что мы уже научились делать в этой теме и в теме
http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8577.0.html
и каждый уже найденный ранее "приём" можно использовать как готовый, не расписывая его и не доказывая. Итак:


3) Дан произвольный прямоугольник. Построить равновеликий ему квадрат. Стороны полученного квадрата могут быть параллельны сторонам данного прямоугольника. Использовать можно только угольник (двигаемый) + линейку. ;D


4) Дан произвольный прямоугольник. Построить равновеликий ему квадрат. Стороны полученного квадрата НЕ должны быть параллельны сторонам данного прямоугольника. Использовать можно только угольник (двигаемый) + линейку + три иголки. ;D
Примечание: Запрещается строить так, что при промежуточных построениях получится пара отрезков, не являющихся сторонами искомого окончательного квадрата, произведение длин которых будет равно площади данного четырёхугольника.

Пояснение к примечанию к задаче 4). Имеется ввиду, что непараллельность сторон данного прямоугольника и искомого квадрата не должна достигаться за счёт дополнительных целенаправленных "манёвров", единственной целью которых будет избежать параллельности, а должна получаться сама собой в ходе построения.
  Лично я считаю, что тут и одной иголки достаточно, но, для особо щепетильных товарищей, пусть будет три.


---------------------------------------------
Счастливого вам рождества.
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1512
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #33 : 17 Июнь 2017, 13:06:30 »
Я построил кстати квадрат для произвольного треугольника, причем с не параллельными сторонами, но используя циркуль....
Постараюсь за выходные выкроить время и порешать... Но днем вряд ли, так как жена будет кипешевать, что не с малым, а за компом.
1 задача.
Тут даже думать и строить ничего не надо.
Можно просто использовать значение среднего геометрического.
1. Продолжаем один из катетов за треугольник.
2. откладываем на продолжении второй катет.
3. устанавливаем прямоугольник таким образом что бы стороны его проходили через концы разложенных катетов, а прямой угол на втором катете. Полученная точка будет стороной квадрата равного 2 площадям прямоугла. Останется только разделить её на корень из двух, при этом получим сторону искомого квадрата.
« Последнее редактирование: 17 Июнь 2017, 13:30:39 от Race »

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #34 : 17 Июнь 2017, 14:28:23 »
Я построил кстати квадрат для произвольного треугольника, причем с не параллельными сторонами, но используя циркуль....
Постараюсь за выходные выкроить время и порешать... Но днем вряд ли, так как жена будет кипешевать, что не с малым, а за компом.
1 задача.
Тут даже думать и строить ничего не надо.
Можно просто использовать значение среднего геометрического.
1. Продолжаем один из катетов за треугольник.
2. откладываем на продолжении второй катет.
3. устанавливаем прямоугольник таким образом что бы стороны его проходили через концы разложенных катетов, а прямой угол на втором катете. Полученная точка будет стороной квадрата равного 2 площадям прямоугла. Останется только разделить её на корень из двух, при этом получим сторону искомого квадрата.

   Да, это правильно для задачи номер 3). Я как раз сегодня прочитал в первый раз о таком классическом способе построения квадрата, равновеликого заданному прямоуглу - методом "суммы сторон а+в прямоугла как диаметра + высоты прямоугольного треугольника из точки состыковки а и в".
   Вы даже перестарались тут с делением на √2: я не просил строить именно для прямоугольного треугла, а только для прямоугольника. А Вы опять там трапецией находили середину отрезка?

  Но, как Вы, возможно, догадались, я эту классическую задачу номер 3) как раз и поместил здесь перед задачей номер 4), чтобы показать, какой способ я запрещаю для решения задачи номер 4). Просто я не хотел этот способ, годный для задачи номер 3), упоминать в явном виде в условии задачи номер 4), на случай, если решальщик не знает такого способа, и не знал как покороче сформулировать этот запрет в условии задачи номер 4). Очень долго думал, кстати, как иносказательно запретить применение этого способа. ;D

А жены для того и есть, чтобы мужчины не развлекались. Если бы не было жен, научно-технический прогресс уже на тысячу лет был бы впереди. Правда люди вымерли бы. ;D
« Последнее редактирование: 17 Июнь 2017, 14:29:57 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.