Автор Тема: Равновеликие фигуры  (Прочитано 2518 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Равновеликие фигуры
« : 15 Июнь 2017, 09:45:22 »
Зачинаю новую тему лёгких развлекательных геометрических задач на построение под названием Равновеликие фигуры.

Все задачи буду придумывать сам (не претендуя при этом на оригинальность), поэтому не ругайтесь, если будут глупые ляпы в виде тривиальности или нерешаемости. Но буду стараться сначала найти решение сам. Также не обессудьте, если это окажется древней и общеизвестной задачей.

Все задачи нужно решать без циркуля и только угольником (двигаемым) + линейкой. Всякие детали типа "строим серединный перпендикуляр" или "строим биссектрису", т.е. то, что мы уже тут в другой моей теме
http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8577.0.html
научились делать, можно делать сразу без рисования всяких там вспомогательных линий. Но в целом доказательство/объяснение решения приводить нужно. И желательно, чтобы построения были в наименьшее число чирков, т.е. оптимальные.

Everyone's contribution is welcome. - Предлагайте так же и ваши подобные задачи.


Вот первые две весьма лёгкие задачки разминочного характера.

1) Дан произвольный (не прямоугольный и не равносторонний) треугольник. Построить прямоугольник, равновеликий данному треугольнику, такой, чтобы ни одна сторона его не лежала (полностью или частично) на стороне или продолжении стороны данного треугольника, а также не составляла угол 90°. Пересекаться стороны могут как угодно. Использовать только угольник (двигаемый) + линейку.


2) Решить задачу, обратную 1), т.е.
Дан прямоугольник. Построить треугольник, равновеликий данному прямоугольнику, такой, чтобы он не был прямоугольным или равносторонним и чтобы ни одна сторона его не лежала (полностью или частично) на стороне или продолжении стороны данного прямоугольника, а также не составляла угол 90°. Пересекаться стороны могут как угодно. Использовать только угольник (двигаемый) + линейку.
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2017, 10:48:29 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #1 : 15 Июнь 2017, 11:32:54 »
Равновеликий это равный по площади?
1.
Если по площади, то единственный вариант, который я вижу использовать формулу площади треугольника через высоту, то есть, требуется построить из одной вершины треугольника высоту на одну из сторон, а затем 2 варианта, либо поделить высоту на 2 и отложить от нее перпендикулярный отрезок равный стороне треугольника, либо наоборот.
Правда решение будет усложнено тем, что нельзя использовать стороны треугольника либо их продолжения никоим образом...
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2017, 11:58:41 от Race »

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #2 : 15 Июнь 2017, 12:30:55 »
Равновеликий это равный по площади?
1.
Если по площади, то единственный вариант, который я вижу использовать формулу площади треугольника через высоту, то есть, требуется построить из одной вершины треугольника высоту на одну из сторон, а затем 2 варианта, либо поделить высоту на 2 и отложить от нее перпендикулярный отрезок равный стороне треугольника, либо наоборот.
Правда решение будет усложнено тем, что нельзя использовать стороны треугольника либо их продолжения никоим образом...

"Равновеликий это равный по площади?" - "Равновеликий" - это геометрический термин, и да, означает равный по площади.

"использовать формулу площади треугольника через высоту" - Что Вы всякую белиберду говорите спросони? :)  Я прекрасно знаю, что Вы знаете формулу площади, и не стал бы придумывать совсем уж детскую задачу для Вас, Странника, Головолома, снн и других здешних рисовальщиков на просто использование этой формулы.
  Данная же задача, хоть и существенно сложней, но тоже простая и номер 1) решается угольником и линейкой не больше, чем в 6 чирков, считая абсолютно все чирки. Вторая требует больше чирков. Номер 2) так вообще в 5 чирков. Смехота, короче.

"Правда решение будет усложнено тем, что нельзя использовать стороны треугольника либо их продолжения никоим образом..." - "Усложнено" - это не то слово! Задача превращается из тривиальной в мало-мальски интересную, где уже думать надо.

"нельзя использовать стороны треугольника либо их продолжения никоим образом..." - Не то, чтобы уж прям никоим образом. Иначе как же это можно решить? Я имел ввиду, что их (целиком или частично) нельзя использовать как части сторон искомой фигуры. Они могут разве что пересекаться.

Эти обе задачи, по сложности, даже не дотягивают до уровня третьего места сельской школьной олимпиады восьмого класса. ИМХО.


============================================

P.S. И что там с той Вашей великой задачей про равносторонний треугол и вписанную округу в
http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8841.msg72892.html#msg72892   ?

Я правильно решил, или Вы имели ввиду другое и ещё более короткое решение?
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2017, 13:27:55 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #3 : 15 Июнь 2017, 13:18:55 »

P.S. И что там с той Вашей великой задачей про равносторонний треугол и вписанную округу в
http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8841.msg72892.html#msg72892   ?

Я правильно решил, или Вы имели ввиду другое и ещё более короткое решение?
Вы снова усложнили)
Для решения достаточно доказать подобие вышеупомянутых треугольников, после чего составить пропорцию. Без синусов, косинусов и так далее)

Сейчас постараюсь построить. Угольник 90 градусей?

1. треугольник АВС равновеликий четырехугольнику А1А2С2С1
2. прямоугольник ABCD треугольнику EFG.

Обе задачи решены через формулу: площадь треугольника равна полу произведению стороны и высоты.
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2017, 13:39:37 от Race »

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #4 : 15 Июнь 2017, 13:34:35 »
P.S. И что там с той Вашей великой задачей про равносторонний треугол и вписанную округу в
http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8841.msg72892.html#msg72892   ?
Я правильно решил, или Вы имели ввиду другое и ещё более короткое решение?
Вы снова усложнили)  Для решения достаточно доказать подобие вышеупомянутых треугольников, после чего составить пропорцию. Без синусов, косинусов и так далее)

Сейчас постараюсь построить. Угольник 90 градусей?

"Вы снова усложнили)  Для решения достаточно доказать подобие вышеупомянутых треугольников, после чего составить пропорцию. Без синусов, косинусов и так далее)"  -  Блин! Ну Вы даёте! Или я даю! Я уже 4 совершенно разных решения придумал, и все они неоправданно сложные?! Буду ещё думать! Смысл жизни сохраняется!

Для 1) я использовал прямоугольный угольник 90°. А для 2) так вообще не важно.

==================

Блин! Надо было мне в явном виде написать ещё и что не параллельные. Но, в любом случае, у меня проще и изящнее. У меня в 6 чирков.
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2017, 13:40:26 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #5 : 15 Июнь 2017, 13:40:38 »
Решил обе задачи используя лишь прямоугольный угольник.
При решении обеих пропущено построение параллельной прямой из определенной точки, но подобную процедуру мы уже выполняли ранее.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #6 : 15 Июнь 2017, 13:43:03 »
То есть стороны равновеликих фигур не могут быть параллельными? О_О Ого, тогда придется думу думать)

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #7 : 15 Июнь 2017, 14:11:20 »
То есть стороны равновеликих фигур не могут быть параллельными? О_О Ого, тогда придется думу думать)

Да. Я знал, что эти обе задачи можно решить жульнически просто нарисовав на базе одной из сторон данной фигуры, а потом сместив вбок или повернув, чтобы стороны перестали совпадать, и пытался это в условии запретить, но забыл указать, что ещё и не параллельные. И вся моя гениальная идея насмарку. :(


Вот, я добавляю условие:

Стороны данной и искомой фигур в задачах 1) и 2) должны быть ещё и НЕ параллельные. И попробуйте решить 1) и 2) обе в 6 чирков, честно считая все, даже вспомогательные, чирки.
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2017, 14:40:09 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #8 : 15 Июнь 2017, 14:31:35 »
Могу элементарно построить на базе заданного треугольника равновеликий четырехугольник, но прямоугольником он не будет. Получается  7 чирков.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #9 : 15 Июнь 2017, 14:36:51 »
Могу элементарно построить на базе заданного треугольника равновеликий четырехугольник, но прямоугольником он не будет. Получается  7 чирков.

Ну, хотя бы два из четырёх углов Вы, для приличия, уж могли бы своему четырехугольнику нарисовать, раз уж у Вас 90° угольник в руках.  ;D ;D ;D

Но я говорю, в задаче номер "2)" 90° угольник не обязательно. Любой сгодится.
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2017, 14:38:55 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #10 : 15 Июнь 2017, 14:47:15 »


Ну, хотя бы два из четырёх углов Вы, для приличия, уж могли бы своему четырехугольнику нарисовать, раз уж у Вас 90° угольник в руках.  ;D ;D ;D

Но я говорю, в задаче номер "2)" 90° угольник не обязательно. Любой сгодится.
ДЛя произвольного случая не могу. Попробовал и ничего не вышло.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #11 : 15 Июнь 2017, 14:52:46 »
Ну, хотя бы два из четырёх углов Вы, для приличия, уж могли бы своему четырехугольнику нарисовать, раз уж у Вас 90° угольник в руках.  ;D ;D ;D

Но я говорю, в задаче номер "2)" 90° угольник не обязательно. Любой сгодится.
ДЛя произвольного случая не могу. Попробовал и ничего не вышло.

Сказав "90° угольник не обязательно. Любой сгодится.", я имел ввиду, что там нет необходимости прямые углы рисовать.

Ещё я вижу, Вы лишние прямые (чирки) рисуете. Для понятности и наглядности их, конечно можно рисовать - не помешают, но считать их не нужно.  :)
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #12 : 15 Июнь 2017, 14:56:23 »
Для моего решения нужно. Крайние перпендикуляры к основанию дают 2 вершины четырехугольника, средний перпендикуляр 4ю вершину.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #13 : 15 Июнь 2017, 15:07:56 »
Для моего решения нужно. Крайние перпендикуляры к основанию дают 2 вершины четырехугольника, средний перпендикуляр 4ю вершину.

У нас с Вами отсутствует научная культура изложения мысли. Мы говорим о разных вещах, потому что лень добавить пару слов для уточнения. Ещё раз говорю:

Для задачи номер "1)" необходим 90° угольник (иначе как прямоугольник построить из непрямоугольного треугольника?).
Для задачи номер "2)" нет необходимости в 90° угольнике, ибо мы строим непрямоугольный треугольник.

И не забывайте лишние чирки не считать. Если Вы рисуете прямую, параллельную воображаемой диагонали, саму эту воображаемую диагональ не обязательно рисовать.  :)

"Для моего решения нужно" - У Вас разве уже есть решение? Я имею ввиду для нового, уточняющего условия, что нелзя ничего параллельного.
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2017, 15:14:59 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Равновеликие фигуры
« Ответ #14 : 15 Июнь 2017, 15:19:28 »
"Для моего решения нужно" - У Вас разве уже есть решение? Я имею ввиду для нового, уточняющего условия, что нелзя ничего параллельного.
Да, только результат решения произвольный четырехугольник, а не прямоугольник.