Автор Тема: Хорды в окружности  (Прочитано 1800 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Хорды в окружности
« : 08 Июнь 2017, 13:55:21 »
Возникла проблема при решении задачи.
Накидайте, пожалуйста, формулы связанные с хордами в окружности.

Я кроме этих ничего не смог нарыть.
    При пересечении двух хорд получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой.
    Если хорда делится пополам какой-либо точкой, то её длина самая маленькая, по сравнению с другими хордами, проведёнными из этой точки

Суть задачи, дано 3 пересекающихся в одной точке хорды, 1 из них диаметр.
Известны отрезки на которые точка пересечения разбивает одну из хорд и диаметр, известны углы между 3мя хордами.
А вот определить отрезки 3й хорды никак не получается...
Помогите тугодуму, плз.
« Последнее редактирование: 08 Июнь 2017, 14:10:44 от Race »

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Хорды в окружности
« Ответ #1 : 08 Июнь 2017, 18:43:57 »
Ход решения, как бы вроде вырисовался, но он у меня, к сожалению, опять очень громоздкий получается. И опять не геометрическим методом, как Вы любите, а через теоремы косинусов и синусов, как Вы не любите.

  Может быть там по ходу вычислений что-то посокращается, и не так всё страшно получится. Может быть его и можно оптимизировать, совместными усилиями.
Щас мне пора соснуть. Может позже и ещё подумаю.

Я так понял, это не самостоятельная задача, а часть другой задачи?
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Хорды в окружности
« Ответ #2 : 08 Июнь 2017, 19:26:09 »
Да, это часть другой задачи.
Товарищ выложил метод трисекции угла в 120 градусов.
Метод не рабочий, опровергается построением на раз-два.
Но стало интересно доказать аналитически, вот мучаюсь.
Тригонометрию тоже пытался прикрутить, все равно ничего не вышло.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Хорды в окружности
« Ответ #3 : 08 Июнь 2017, 19:28:07 »
Хорды делятся фиолетовой точкой.
Отрезки фиолетовых хорд и диаметра определить элементарно, а вот с зелеными хордами я застрял.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Хорды в окружности
« Ответ #4 : 08 Июнь 2017, 22:27:54 »
Хорды делятся фиолетовой точкой.
Отрезки фиолетовых хорд и диаметра определить элементарно, а вот с зелеными хордами я застрял.
Я, возможно, сейчас явную чушь скажу, потому что я не могу въехать ни во что, и вообще, дико спать хочу и борюсь со сном, и вообще ничего уже давно не соображаю, так что Вы там у себя в городе не обессудьте. То, что я много пишу, это не показатель вменяемости - я всегда много пишу.

Пока не забыл. А Вы пытались использовать свойство, что вписанный угол, опирающийся на диаметр есть прямой? Это очень мощная деталь для Вашей задачи, так как там сразу 4 треугла вырисовываются прямоугольных. В своём проекте решения я использовал это свойство. Ну и, как всегда, свойства равенства вписанных углов, опир. на одну хорду, а также подобие прямоугольников, образованных двумя хордами.

Но я предлагаю решать по другому.

Я так понимаю, что радиус фиолетовой округи rф Вам известен. И он равен отрезку |DA| на моём-Вашем опять сером рисунке. Также, надеюсь, Вам известно расстояние s между центрами чёрного и фиолетового округов, и оно равно |ED|. Даже если нет, их легко найти.

Вылезьте за пределы только чёрного округа, и используйте также и фиолетовый.
Представьте, что Вы сместили центр чёрного круга из точки Е в точку D. Тогда этот смещённый круг пересечётся с зелёными хордами в точках В и В1.
Треуглы ADA1 и BDB1 будут подобными с центром подобия в точке D и коэффициентом rф/rч. Так Вы найдёте длину DB. Блин! Бред какой! Это же итак ясно! Вот я говорю, я уже вообще ничего не соображаю.


Теперь переходим на второй, уже чисто мой рисунок, куда я перенёс кусок Вашего рисунка с теми же обозначениями, но с другими углами, ибо на Вашем невозможно чёрту ногу сломать. На нём имеем тот самый новый треугольник BDB1. Теперь смещаем чёрную окружность назад вверх, т.е. центр её из точки D назад в точку E (голубая округа, а изначально у Вас была чёрная).  Он (голубой округ) отсечёт треугол СDC1.

Вы, вроде говорили, что все углы знаете, значит и угол α знаете.
В треугле CDE Вы знаете две стороны |СЕ| = rч и |ED| = s, и один угол 180-α. Теоретически Вы можете найти искомую Вами сторону |CD|

Тут не повезло с углом α, что он не лежит напротив искомой стороны CD, и теорема косинусов влечёт квадратное уравнение. Но Вы там больше уже наисследовали, может быть Вы и другие углы знаете.

Блин, щась перечитываю последний раз перед постированием - блин, ну какую я чушь написал. И столько лишнего написал и нарисовал! Бред полный! Но уж ладно, всё равно запостирую. Вдруг пригодится, или на какую идею натолкнёт. Главная проблема ещё, что я нифига не знаю, что Вы там знаете, а что нет.
« Последнее редактирование: 08 Июнь 2017, 22:41:03 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Хорды в окружности
« Ответ #5 : 08 Июнь 2017, 22:45:26 »
Известно все кроме зеленых хорд.
Если я правильно понял, вы описали нахождение фиолетовых, я их сам нашел. А вот с зелеными затык.
По идее если имеем зафиксированную точку, вокруг которой мы двигаем хорду, то значение хорды меняется от минимума - точка делит хорду на 2 части, до максимума хорда проходит через центр окружности.
Соответственно должна быть зависимость, или прямая или квадратичная, да пусть даже кубическая, в зависимости от положения точки, к примеру от центра окружности и длины хорды, либо отрезков ее составляющих, именно это я и не могу определить.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Хорды в окружности
« Ответ #6 : 08 Июнь 2017, 22:49:03 »
Известно все кроме зеленых хорд.
Если я правильно понял, вы описали нахождение фиолетовых, я их сам нашел. А вот с зелеными затык.
По идее если имеем зафиксированную точку, вокруг которой мы двигаем хорду, то значение хорды меняется от минимума - точка делит хорду на 2 части, до максимума хорда проходит через центр окружности.
Соответственно должна быть зависимость, или прямая или квадратичная, да пусть даже кубическая, в зависимости от положения точки, к примеру от центра окружности и длины хорды, либо отрезков ее составляющих, именно это я и не могу определить.

"вы описали нахождение фиолетовых" - я хоть и невменяемый сейчас, но я про зелёные писал. Ладно, гуд бай.
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Хорды в окружности
« Ответ #7 : 08 Июнь 2017, 23:13:01 »
Головотяп, сори, сейчас буду пытаться повторить ваши действия с ручкой и бумагой, не понял значит.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Хорды в окружности
« Ответ #8 : 09 Июнь 2017, 00:32:07 »
Головотяп, сори, сейчас буду пытаться повторить ваши действия с ручкой и бумагой, не понял значит.
Там нечего повторять, никаких там действий не нужно вообще делать - выше это я всё сдуру написал - там 90% лишнего. Просто берёте треугольник CDE, в котором Вы, по идее, знаете стороны CE и ED и угол α, и находите сторону CD по теореме косинусов. Это сложно, ибо там квадратное уравнение. Но, может быть Вы найдёте другой угол ^CED, тогда будет проще, ибо он - противолежащий CD.
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Хорды в окружности
« Ответ #9 : 09 Июнь 2017, 01:33:43 »
Может я пьяный либо сонный, но у меня СС1 числится за неизвестными.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Хорды в окружности
« Ответ #10 : 10 Июнь 2017, 20:22:39 »
Может я пьяный либо сонный, но у меня СС1 числится за неизвестными.
Может протрезвели либо выспались?  ;D

Я вдруг подумал, что даже при меньшем количестве известных данных, уже отрезки хорды-не диаметра должны найтись. А именно если известны только диаметр, отрезки на которые он делится точкой пересечения со второй хордой и угол между ними. Вы говорили, что все эти необходимые 3 величины Вы уже нашли. Дальше должно быть если и не просто, то так или иначе решаемо.

Представьте: Есть диаметр АС и конкретная заданная точка В на нём, делящая его на известные отрезки АВ и ВС. Через точку В проводим прямую под заданным углом α к диаметру. Я уверен, что этих условий достаточно, и даже Ваша третья хорда не нужна.

Я бы взялся порешать, но Вы вечно пропадаете, и не понятно, что с Вами делать - серьёзно решать Ваши задачи или Вы спьяну чего-то написали и потом даже не вспомнили об этом.
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Хорды в окружности
« Ответ #11 : 12 Июнь 2017, 01:34:15 »
Поскольку Вы (Race) явно выпали в осадок, а тему блондинки я больше продолжать не хочу (даже не смотрел, что там Странник напысал (потом когда-нибудь посмотрю)), решил добить эту псевдозадачу и ну его нафиг, закончить тут всё.

Как я уже говорил, Ваша псевдозадача о нахождении отрезков хорды, если не пугаться теоремы косинусов и необходимости "решать" (подставляя лишь коэффициенты в известные формулы) квадратное уравнение, является тривиальной и даже не нуждается в третьей хорде.
   Вот, я перерисовал рисунок, и видно, что это есть задача в "два" действия:

I. Пусть АС - известная хорда-диаметр, АВ = а и ВС = b+r  - это её известные отрезки, FD - это неизвестная хорда с неизвестными отрезками FB = f и BD = c, а α - известный угол между хордами.

Тогда тупо по теореме косинусов для треугольника BDO пишем уравнение r2 = b2 + c2 - 2bc∙cosα

Переписываем это в виде квадратного уравнения

c2 - 2bc∙cosα + b2 - r2 = 0

Нужный корень этого уравнения

с = b∙cosα + √(b2cos2α + r2 - b2) = b∙cosα + √(r2 + b2(cos2α -1)

Всё!

II. Если же очень не хочется использовать теорему косинусов и "решать" квадратное уравнение, а хочется делать всё более чисто геометрически, то можно делать так:

1) Строим окружность с центром в О и радиусом b. Получили точку E.

2) Строим середину отрезка ВЕ - точку Н и проводим отрезок |OH| = h (ОН будет перпенд. BD).

Примечание. Вообще говоря, оба пункта 1) и 2) можно заменить одним пунктом: Строим Перпендикуляр к BD из точки O, и не строить никаких окружностей. Я просто с ходу не уверен, что это без Вами нелюбимного двигания угольником будет проще сделать.

3) Тогда искомый отрезок с = |BD| = |BH| + |HD|

4) |BH| = b∙cosα

5) |HD| = √(r2 - h2)

6) h = b∙sinα

7) Подставляем 6) в 5):   |HD| = √(r2 - b2∙sin2α)

8) Подставляем 7) и 4) в 3):     с = |BH| + |HD| = b∙cosα + √(r2 - b2∙sin2α)

При желании sin2α можно заменить на sin2α = 1 - cos2α. Тогда получим:

с = b∙cosα + √(r2 - b2∙(1 - cos2α)) = b∙cosα + √(r2 + b2∙(cos2α - 1).

Т.е. видно, что оба способа - I (чисто тригонометрическо-алгебраический) и II (более геометрический и менее тригонометрический) дали одинаковый ответ:

с =b∙cosα + √(r2 + b2∙(cos2α - 1).

Отрезок |BF| = f находится из соотношения a(b+r) = cf или (так как а = r-b) r2 - b2 = cf

Кстати, поскольку произведения cf = a(b+r) есть квадраты среднегеометрических для отрезков пересечения хорд АС и FD, то не исключено, что что-то интересное можно замутить с касательными для окружностей радиуса b с центром в О и радиуса b∙cosα с центром в Н.

==================================================

P.S. Уважаемый Race. Я понимаю, что у Вас нету времени и я один тут праздный бездельник. Но если Вы и дальше не будете комментировать мои геометрические посты, то я не буду решать Ваши геометрические задачи. Вы совершенно проигнорировали тему http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8841.0.html
на которую я потратил два дня, и, как ни в чём не бывало, начали сию новую тему. Мне так не интересно. Надеюсь, Вы тут хотя бы отпишетесь. А Вашему ребёнку - здоровья и ума не меньше (желательно больше) чем у Вас, Странника и меня вместе взятых. ;D  @}->--
« Последнее редактирование: 12 Июнь 2017, 02:06:40 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Хорды в окружности
« Ответ #12 : 12 Июнь 2017, 01:40:18 »
Теперь понятно, спасибо большое. И так крутил и так, а этого не увидел.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Хорды в окружности
« Ответ #13 : 12 Июнь 2017, 13:54:41 »
Теперь понятно, спасибо большое. И так крутил и так, а этого не увидел.
"И так крутил и так, а этого не увидел." - на том рисунке, что Вы для меня тут выкладывали, это не мудрено ничего не увидеть. Там чёрт ногу сломает - и ромб, и диаметр, и две хорды, да ещё и по две штуки. Я и сам там запутался и дофига лишней ерунда сначала написал (в посте №4). В таких случаях полезно перерисовать рисунок с другими расположениями и углами, и убрать всё лишнее. Я, когда решаю, часто делаю по нескольку разных рисунков, ибо когда уже много пририсовал, трудно дальше думать и не запутаться.

А вот Вам, как любителю острых геометрических ощущений, маленький подарок по этой теме хорд. Подарок, конечно, не значительный, но могу ещё, для веса, Вам стишок сочинить, ибо я универсал, как Вы, наверное, могли уже заметить. Но стишок потом.

Вот, "открыл" забавное свойство хорд. Дал ему название ""Теорема" Головотяпа о хордах":

Если произвольная (любая) хорда (построенная для первой, основной окружности) пересекается второй внутренней окружностью, концентрической с первой, то вторая (внутренняя) окружность, снаружи себя, отсечёт от этой хорды равные отрезки.

И следствие из этой "теоремы", заточенное под Вашу задачу:
Если через точку пересечения произвольных хорд (построенных для первой, основной окружности) провести вторую окружность, концентрическую первой окружности, то вторая окружность, снаружи себя, отсечёт от каждой хорды по паре равных отрезков.

"Теорема" достаточно очевидная в ситуации, когда эта вторая (внутренняя) окружность уже нарисована, но весьма неочевидная, когда всё нарисовано под неудобным углом (не горизонтально или не вертикально), замаскировано другими линиями, или, особенно, когда этой внутренней окружности ещё нет, а есть только точки типа B и E, и тем более, когда одной из этих точек ещё нет. Так же и сообразить применить эту "очевидную" теорему не так просто, если её заранее не знать. Вон, ни я, не Вы о таком даже и не думали.

Доказывается эта "теорема" несколькими способами и, естественно, очень просто, в силу своей очевидности. Смотрите рисунок, построенный на базе рисунка из предыдущего моего поста.

"Теорема" Головотяпа доказывается либо:
1) из конгруэнтности двух треугольников FBO и DEO; либо
2) из того, что перпендикуляр ОН, опущенный на любую хорду (здесь на хорду FD) из центра её окружности О, делит эту хорду пополам (здесь в точке Н), а также что треугольник ВОЕ - равнобедренный.
Наверняка можно и как-то ещё доказать.

   Скорее всего, это свойство слишком очевидное и общеизвестное, чтоб о нём в геометрии вообще говорить, либо настолько бесполезное, что никому не нужно. Но мне очень понравилось, и оно очень красивое. По крайней мере в этой Вашей задаче его можно эффектно и результативно прикрутить (см. ниже).
И, кроме того, так часто бывает, что какая-то теорема кажется слишком очевидной, когда читаешь её доказательство. Например, теорема Фалеса выглядит очевидной, когда в её доказательстве дочертили параллелограммы, а теорема синусов вообще доказывается в пол-строчки даже без всяких рисунков. Но попробуй их примени, когда не знаешь их заранее.


   Я вообще, тащусь, насколько круг - уникальная и волшебная фигура. Одновременно самая простая (ноль углов) и самая сложная (правильный бесконечноугольник). И единственная в мире, которая однозначно задаётся всего тремя параметрами (если на плоскости) - радиусом и координатами центра. Все остальные фигуры нуждаются в большем, даже просто прямая или отрезок.
   Круг обладает многими совершенно неочевидными свойствами, но при этом все они очень просто доказываются.
   Я на базе круга хотел на этом сайте показать людям принципиальную значимость для мироздания иррациональности числа Пи, а также что если выяснится, что Пи всё-таки не иррационально, то это, возможно, означало бы квантованность пространства даже на теоретическом (математическом уровне). Но не стал тут писать свои мысли об этом, ибо тут это никому не интересно, а Странник опять в грязь начнёт втаптывать, ибо его подобным "глубоким" вещам в школе не учили, а на меня у него аллергия псевдоправедника-вахтёра. Я лучше нервы свои поберегу. ))))


Кстати, из этого свойства также сразу получается ещё одно решение этой Вашей задачи (обозначения такие же, как в посте № 11):

III. Раз (как сказано в "теореме"), отрезок |ED| = |FB| = f, то |BD| - |BE| = f. Подставляем для |BE| = 2∙|BH| = 2b∙cosα, подучаем

с - 2b∙cosα = f                       (1)

Также из старого свойства пересекающихся хорд имеем:

cf = a(b+r)                              (2)

Получилась система из двух уравнений (1) и (2), Которая приводит к квадратному уравнению:

с2 - 2bc∙cosα - a(b+r) = с2 - 2bc∙cosα + b2 - r2 = 0

Это уравнение - точно такое же, как нам давала теорема косинусов для треугла BDO (ещё раньше в посте № 11), т.е. ничего нового, и не удалось избежать квадратного уравнения. Но зато нам здесь не требовалось знание теоремы косинусов.

IV. Благодаря этой "теореме" также можно провести решение, аналогичное решению II из поста № 11 (т.е. решение, не содержащее квадратного уравнения), заменив треугольники BHO и OHD на, соответственно, треугольники OHE и OHD.
Тогда будет:

1) f = |HD| - |HE|

2) |HE| = b∙cosα

3) |HD| = √(r2 - h2) = √(r2 - b2∙sin2α) = √(r2 + b2∙(cos2α - 1)

4) Подставляем 2) и 3) в 1):

f = √(r2 + b2∙(cos2α - 1) - b∙cosα

Видно, что решение для f получилось почти такое же, как и для с в посте №11, только для f  член b∙cosα имеет знак не "+", а "-".


P.S. Дико спать хочу, стишок потом.
« Последнее редактирование: 12 Июнь 2017, 14:35:06 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Хорды в окружности
« Ответ #14 : 12 Июнь 2017, 14:28:26 »
Очень интересно, и действительно имеет быть.

Только одна поправочка, Пи не иррациональное а трансцендентное число.