Автор Тема: Вписанная окружность #2  (Прочитано 1531 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Вписанная окружность #2
« : 29 Май 2017, 14:20:57 »
Много читать вредно, только если это не Головотяп написал.

Премногоуважаемый Race.

Я Вашу тему «Вписанная окружность» продублировал тут потому, что, как уже говорил, не хочу, по крайней мере пока, читать, что Вы мне там написали, потому что не хочу пока подсказок. Но сейчас хочу выложить модифицированную версию своего первого решения. В этой второй версии почти всё тоже самое кроме способа доказательства равенства углов ß и σ. Если Вы помните, в предыдущем решении я сделал ход конём с медианой, что вызвало у Вас восторг. Здесь же будет всё скромно и стандартно – только тригонометрия и никаких достроений.

Найти короткое решение мне так до сих пор и не удалось. Точнее, как я уже говорил, много красивых идей, дающих короткое решение, приходило в голову. Но везде надо было какой-нибудь один «очевидный» моментик доказать (типа прохождения какой-нибудь прямой через пересечение каких-нибудь двух других прямых), который я не мог доказать, или не был уверен, что доказательство 100% корректно.

Итак, повторяю здесь своё первое решение с соответствующими изменениями в пункте 2). Рисунок другой, но обозначения соответствующих точек, прямых и углов те же.

Повторяю условие задачи (такое же, как и в теме www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8823.0.html ):

Окружность S, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается боковых сторон AB и BC в точках K и L соответственно, и касается основания АС в точке М. Отрезок AL пересекает окружность S в точке N. Докажите, что прямая KN проходит через середину отрезка AM.

Решение Головотяпа, версия 2:

Доказательство обратным методом. Или как правильнее сказать? Методом "Задом наперёд"?. Сначала построим точку Р, делящую АМ пополам, и получим точку N просто как пересечение AL и КP, а потом докажем, что точка N лежит на вписанной окружности. Благо, что существует только одна окружность, вписанная в конкретный треугол, так что всё будет однозначно.

Для док-ва  обратным методом на первом этапе нельзя рисовать окружность и нельзя пользоваться никакими свойствами вписанной окружности. Также нельзя пользоваться свойствами хорд и углов, вписанных в окружность. Всё это будем применять только на последнем этапе, когда нужно будет доказывать, что точка N принадлежит окружности, и при том не какой угодно окружности, а именно вписанной окружности.

Сначала рисуем равнобедренный треугол ABC без окружности, но с заданными на нём определённым образом вспомогательными точками. Задавать какие-либо вспомогательные точки по ходу доказательства является корректным, при условии, что потом они выбывают из игры.


1) Строим первый рисунок. На нём точка Р делит отрезок АМ пополам. А точки К и L наносим на боковые стороны на расстоянии а = |AM| = |CM| от вершин А и С, соответственно, чтобы потом они оказались на вписанной окружности.


2) Сейчас я хочу доказать, что углы ß и σ равны др.др. Это понадобится для доказательства того, что точка N лежит на вписанном округе. Доказательство будет через свойство равенства вписанных углов, опирающихся на одинаковую хорду, так как отрезок MN будет хордой вписанного округа, а углы ^MKN и ^MLN будут тоже вписаны и будут оба опираться на эту хорду.

Углы ^PKM и ^MLА обозначены σ и ß, соответственно.
Нам чуть позже пригодится соотношение длин отрезков |КР|=b и |LA|=с. Для нахождения b/с вычисляем длины отрезков КР=b и LA=с тупо по теореме косинусов.
b2 = (a/2)2 + a2 - 2·(a/2)·a·cosα
преобразуем в
b2 = a2·(5/4 - cosα)
и ещё преобразуем в
4b2 = a2·(5 - 4·cosα)

Аналогично для с
с2 = (2a)2 + a2 - 2·2a·a·cosα
преобразуем в
с2 = a2·(5 - 4·cosα)

Сравниваем выражения 4b2 = a2·(5 - 4·cosα)   и с2 = a2·(5 - 4·cosα) и видим, что
4b2 = с2    =>   
2b = c.                                               (1)

Теперь рассмотрим треугол МКР, в котором есть угол σ. По теореме синусов имеем:
sinσ / (a/2) = sinδ / b     =>   sinσ = sinδ ∙ a/(2b)    => (подставляя 2b=c из (1))         
sinσ = (a/с)∙sinδ                                (2)

Теперь рассмотрим треугол МLA, в котором есть угол ß. Аналогично по теореме синусов имеем:
sinß / a = sin(α+δ) / c    =>
sinß = (a/с)∙sin(α+δ)                         (3)

Раcсмотрим сумму углов α+δ. В равностороннем (по построению) треугле МКА α+δ+δ = 180, значит α+δ = 180 – δ. Но синус разности 180 и любого угла равен синусу этого угла. Поэтому (3) преобразуем
sinß = (a/с)∙sin(α+δ) = (a/с)∙sin(180 - δ) = (a/с)∙sinδ                         (4)

Сравниваем (2) и (4) и видим, что sinσ = sinß. Отсюда может следовать два варианта:
1) ß = σ (оба угла либо острые, либо оба тупые) и
2) ß = 180 – σ (один из углов острый, а второй - тупой).
Но угол ß острый всегда, так как точка L всегда лежит левее и выше точек М и А. А угол δ тоже всегда острый, так как треугол МКА равнобедренный (по построению), а углы при основании равнобедренного треугла (угол ^МКА) не могут быть тупыми, и угол δ лежит внутри угла ^МКА (по построению точки Р). И значит вариант 2) отпадает, и остаётся вариант 1), т.е. углы ß = σ.

Всё вышенаписанное (весь пункт 2) было лишь только чтобы доказать, что углы ß и σ равны др.др..


3) Теперь переходим ко второму рисунку. Доказываем, что точка N лежит на вписанном округе.

Строим отрезок MN (и пока не называем его хордой) и замечаем, что на него опираются два одинаковых (как доказано выше) угла ^MLN и ^MKN.

Мы знаем, что в данный равнобедр. треугольник АВС можно вписать окружность только одним способом, и она будет проходить через точку M (как середину основания), а также через точки L и K, ибо мы их так специально и строили - симметрично мочке М, соблюдая |CM|=|CL| и |AM|=|AK|.

Строим на базе этих трёх точек M, L и K бурую окружность, которая просто обязана быть вписанной, как показано выше. Видим, что угол ^NLM - вписанный, так как вершина L лежит на окружности и обе его стороны LM и LN лежат по правую сторону от касательной СВ. Аналогично и угол ^MKN тоже вписанный. Левые стороны этих углов проходят через точку М, которая заведомо лежит на округе (по построению). Точка же N, хотя ещё и не доказано, что лежит на округе, но заведомо (по построению) лежит на стороне угла LA, и при этом может лежать левее, правее или на линии округа.
   Допустим, точка N, будучи точкой пересечения LA и КР и заведомо лежащая на стороне угла LA, не лежит на округе (т.е. округ не прошёл через точку N), а вместо точки N округ пересекается с LA в точке N1. Тогда получится, что угол ^MLA опирается на хорду МN1. Но угол MKP имеет ту же величину, что и угол ^MLA, значит он тоже должен опираться на хорду МN1. Это значит, что отрезок КР пересекается с LA в точке N1, а не N. Но по построению отрезок КР пересекается с LA в точке N, а такое возможно только если N и N1 совпадают. И так как точка N1 принадлежит округу, то и N принадлежит округу.
Для полной строгости надо заметить, что при равенстве углов ß и σ точка N пересечения LA и КP могла бы и не лежать на округе, если бы отрезок КР лежал бы слева от точки К (тогда бы прямая КN проходила бы через точку С в силу симметрии). Но эта возможность отпадает, так как мы изначально выбрали для прямой КР делить отрезок МА (лежащий справа) пополам, а не отрезок МС (лежащий слева) или проходить через точку С.

Таким образом мы доказали, что точка N, являющаяся пересечением KP и LA принадлежит вписанному округу. Отрезок же КР проходит через середину отрезка АМ (по изначальному построению). А так как тут все построения однозначны (с учётом исключённых неоднозначностей), то и обратное утверждение верно: если взять на LA точку N, принадлежащую также и вписанному округу (кроме самой точки L), то KN своим продолжением разделит AM пополам.

=====================================================================

Конечно, многое из того, что я тут так подробно написал, весьма очевидно и не требует такого усердного доказательства. Но математики - зануды и придиры, и требуют доказательства каждого утверждения и рассмотрения всех вариантов.

И просьба, если есть желание, указать мне на ошибки, некорректности, неточности и т.д.

==================================================


   Да, кстати, ещё одна интересная вещь. На данном рисунке это не очень видно, но пока я чертил всякие вспомогательные линии, я вдруг, к своему восторгу, заметил, что эта задача содержит в себе ту самую задачу Walkijjhrhr про удвоение угла в прямом угле только линейкой. Точнее, обратную ей. Причём мой вариант его решения. Смотрите: прямой угол ^AMB, удвоенный угол ^KML, и две точки справа (как у меня) – А и Р.
    Также тут ещё и содержится позавчера решённая мной (а Вами намного раньше) задача о построении «параллельной» прямой между двух других через заданную точку для случая непараллельных прямых ("для пересекающихся прямых", как Вы его назвали). Вобщем, после этих всех самоистязаний мне теперь везде ПГ мерещится.


============================================================
============================================================

P.S. Уважаемый Race. Я сожалею, что Ваш товарищ ник12 (это же он? Ещё один Николай, что ли?) наткнулся тут на «холодный» приём с моей стороны и со стороны Странника. Не знаю, как Странник, а я, на самом деле, очень уважаю людей, которые не ограничиваются просто знанием законов и формул, а пытаются в этих законах узреть суть мироздания и увидеть какие-то философские вопросы.
    Физика, на самом деле, некоторое время будучи чисто практической и прагматической наукой, со времени открытия квантовой механики, столкнулась с намного более глубокой темой – присутствием элемента недетерминированности в законах мироздания, и, даже более того, наличием и предоставлением «свободы воли» нашему строительному материалу – элементарным частицам. Это всё имеет фундаментальнейшие следствия, в том числе и философского плана, от которых даже голова идёт кругом – электрон со свободой выбора! ))) И ещё это делает наш мир бесконечно развивающимся, неповторяющимся и необратимым. И много ещё чего.
    Поразительно, что самая нелогичная наука – квантовая механика – даёт и самые точные результаты, и на основе неё построены самые точные и надёжные устройства.
    Интересно, что как «свобода выбора» элементарных частиц (на уровне квантовой механики) делает развитие вселенной необратимым, так и, с совершенно другой стороны, второй закон термодинамики тоже делает развитие вселенной необратимым. "Подозрительное" и неожиданное единодушие таких двух разных «законодательств» как квантовая механика и термодинамика, не правда ли?

   Вобщем, в подарок Вашему товарищу ссылка на видик, который, возможно, может его заинтересовать. А может даже и в восторг привести. Там как раз разговоры на затронутые им темы типа причинно-следственной связи, второй закон термодинамики, энтропии, критерии научности, роль логики и т.д.

https://youtu.be/QLZBsTE6sF8?t=0
или в оригинале
https://youtu.be/O2jkV4BsN6U?t=0


==================================================================

Не, у nogana ответ не 0,9999, а 0.0001. Так что там разница существенная и принципиальная.

Действительно! "существенная и принципиальная" - не то слово! Я был слишком высокого мнения об авторском решении, так что даже и не заметил, ибо в такое даже поверить трудно. Но я думаю у nogana там просто описка. Хотя, с другой стороны, то как ноган назвал свою тему, кое о чём тоже говорит. Кто-то ноган, кто-то рукан, а кто-то голован.

  А Вам спасибо, Вы - единственный, кто заметил этот мой пост, а остальные как глухари спорят, ни на что не обращая внимания.

«Напомнило анекдот про блондинку и вероятность встретить динозавра 50% - "либо встречу либо нет".» - В моём понимании (я, кстати, тоже блондин), блондинка абсолютно права, ибо вычисляемая нами вероятность всегда зависит от наших знаний (или "думания-что-знаний"). Как и в той задаче от nogana – взял купюру, пока не проверил на машинке, вероятность нефальшивости 999999/1000000, а когда проверил, вероятность изменилась.

P.S. И когда будем про посвящение Страннику решать? 90%-ную подсказку я уже дал.
« Последнее редактирование: 29 Май 2017, 14:44:26 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Вписанная окружность #2
« Ответ #1 : 29 Май 2017, 16:24:10 »
В моём понимании (я, кстати, тоже блондин), блондинка абсолютно права, ибо вычисляемая нами вероятность всегда зависит от наших знаний (или "думания-что-знаний").
Если у Вас нет достаточных знаний для вычисления вероятности, то Вы ее и вычислите неправильно. И блондинка может в этом убедиться, если выйдет 1000 раз на улицу, и посчитает, сколько раз она встретила динозавра. Либо Nogan проверит несколько миллионов купюр, посчитает, сколько из них определились фальшивыми, и сколько из таких "фальшивых" оказалось настоящими.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Вписанная окружность #2
« Ответ #2 : 31 Май 2017, 12:23:11 »
Сразу, пока не забыл, ретуш к предыдущему посту, а то там в одном месте может возникнуть неясность:
Слова

"2) Сейчас я хочу доказать, что углы ß и σ равны др.др. Это понадобится для доказательства того, что точка N лежит на вписанном округе. Доказательство будет через свойство равенства вписанных углов, опирающихся на одинаковую хорду, ..."

должны были быть:
"2) Сейчас я хочу доказать, что углы ß и σ равны др.др. Это понадобится для доказательства того, что точка N лежит на вписанном округе, которое будет проводиться через свойство равенства вписанных углов, опирающихся на одинаковую хорду, ..."

=================================================================

Вот, выкладываю решение данной задачи стандартным методом "в лоб", т.е. не методом "задом наперёд", а честным вычислением. Это уже третье моё решение этой проклятой задачи. Короткое решение мне найти так и не удалось, зато найти три решения - это тоже не плохо, так что я теперь вполне доволен собой.

Ремарка. Обычно больше ценятся не рутинные стандартные методы, а уникальные, красивые и короткие решения как демонстрация "нестандартного" мышления и проявление гениальности. Но, беда в том, что первые далеко не всегда найдутся, да и гениев тоже не пруд пруди. А стандартные методы, хоть они и "не красивые" и трудоёмкие, зато почти всегда работают, легче программируемы, и им можно научить всех.

Я сначала отбрасывал прямой метод, боясь, что он будет неподъёмно сложным для меня, но всё-таки решился попробовать, и всё оказалось существенно проще, чем это выглядело поначалу, так как по ходу многое что сокращалось, группировалось, а ближе к концу нарастающая до устрашающих размеров и приводившая в трепет формула счастливым образом лопнула как мыльный пузырь и схлопнулась до формулы в три символа. Я сначала даже испугался, что вообще всё сократилось, ибо сделал мелкую ошибку.
   Здесь же, в изложении, я избежал нарастающей формулы, заранее найдя выражение для членов, вовремя сделав одну замену и последовательно подставляя и упрощая.

Вобщем, сей мой прямой метод, в отличие от самого первого (и даже и второго) - чисто тригонометрический, а не такой "разнообразный" как моё первое решение, и мне удалось уложиться менее чем в один лист формата А4 моего среднемелкого почерка. Причём тригонометрия тут самая примитивная - теорема синусов, теорема косинусов, пара формул тригонометрических преобразований суммы углов и половинного угла.
Писать рукой, конечно, на порядок легче, чем набирать тут.

====================================================================

Сразу надо сказать, что углы MLN и MKN (оба обозначены ß) равны, так как оба вписанные в окружность и оба опираются на одну хорду MN. И отрезки АМ и АК равны, так как округ вписанный.

1) Рассмотрим треугол МКР. По теореме синусов имеем:
x/sinß = d/sinφ

Из разрисовки возле точки К видно, что φ = 180-(δ+ß) , значит sinφ = sin(180-(δ+ß)) = sin(δ+ß). Подставляем, получаем:

sin(δ+ß) = (d/x)·sinß                                                         (1)


2) Рассмотрим треугол МLA. По теореме синусов имеем:

a/sinß = c/sin(α+δ)

Из суммы углов треугла МКА α+δ+δ = 180 имеем α+δ = 180-δ. Значит sin(α+δ) = sin(180-δ) = sinδ. Подставляем, получаем:

sinß = (a/c)·sinδ                                                                  (2)


3) Ещё рассмотрим треугол MLA. По теореме косинусов имеем:

a2 = d2 + c2 - 2dc·cosß   

Выражаем cosß

cosß = (d2 + c2 - a2)/(2dc)                                                  (3)
 

4) Рассмотрим треугол MKA. По теореме косинусов имеем:

d2 = a2 + a2 - 2aa·cosα = 2a2(1-cosα)

Для облегчения написания и зрительного восприятия обозначим группу (1-cosα) через Z2, т.е.
(1-cosα) = Z2.
Это обозначение - никакая ни замена, ни подстановка - исключительно для облегчения написания и зрительного восприятия. Тогда перепишем

d2 = 2a2Z2                                                                             (4)
d = √2·aZ                                                                               (5)


5) Рассмотрим треугол CLA. По теореме косинусов имеем:

c2 = a2 + (2a)2 - 2a2a·cosα = 5a2 - 4a2·cosα                        (6)

6) Преобразуем δ через α (ибо потом это понадобится):
Из суммы углов треугла МКА α+δ+δ = 180 имеем: δ = 90-(α/2). Тогда cosδ = cos(90-(α/2)) = sin(α/2) = (1/√2)√(1-cosα) = (1/√2)Z. Т.е.   

cosδ = Z/√2                                                                             (7)


Итак, мы получили 7 простеньких выражений для соотношений разных отрезков и углов на рисунке. Теперь просто подставляем всё в одну кучу. А именно, в (1). Но сначала

7) преобразуем в (1) синус суммы двух углов по известной формуле:

sin(δ+ß) = sinδ·cosß + cosδ·sinß = (d/x)·sinß

Подставляем сюда выражение для sinß из (2) и сокращаем на sinδ:

sinδ·cosß + cosδ·(a/c)·sinδ = (d/x)·(a/c)·sinδ

Остаётся
cosß + (a/c)·cosδ = ad/(cx)

Подставляем сюда выражение для cosδ из (7):

cosß + (a/c)·Z/√2 = ad/(cx)

Подставляем сюда выражение для cosß из (3), получаем:

d2 + c2 -a2 = 2ad2/x - √2·adZ

Подставляем сюда выражения для d2, d и с2 из (4), (5) и (6)

2a2Z2 + 5a2 - 4a2·cosα - a2 = (2a/x)2a2Z2 - √2·aZ·√2·aZ

Преобразуем левую и правую части, вспоминая, что мы обозначили (1-cosα) = Z2:

2a2Z2 + 4a2Z2 = 4a3Z2/x - 2a2Z2

Сокращаем на a2Z2, получаем ответ:

2+4 = 4a/x - 2 => 8 = 4a/x =>

x = a/2

Т.е. отрезок МА поделился пополам, что и требовалось доказать.


=======================================================

Не знаю, для кого я всё это тут писал. Race уже давно не комментирует мои посты. Страннику тоже уже давно всё пох. снн, значит, только. Но мне этого достаточно.
« Последнее редактирование: 31 Май 2017, 12:28:27 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Вписанная окружность #2
« Ответ #3 : 03 Июнь 2017, 00:17:12 »
У нас на работе сдох свитч. Доступа в интернет нету, дома, из за того что маленький ребенок. к компу редко добираюсь...
Пока без меня, извините.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Вписанная окружность #2
« Ответ #4 : 12 Июнь 2017, 15:52:54 »
Я намекал на то что треугольник CLA~CKA, чего достаточно для решения задачи. Для доказательства равенства достаточно обнаруженных Вами одинаковых углов ;)

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Вписанная окружность #2
« Ответ #5 : 14 Июнь 2017, 11:01:59 »
Я намекал на то что треугольник CLA~CKA, чего достаточно для решения задачи. Для доказательства равенства достаточно обнаруженных Вами одинаковых углов ;)
Раз уж Вы всё-таки "подсказали" мне, вопреки моей просьбе не подсказывать, пришлось мне эту задачу внепланово и скоропалительно дорешивать.
    Смешно, я тут специально эту вторую тему завёл, чтобы не смотреть, что Вы в первой мне написали, а Вы - простая душа, взяли и ещё даже больше тут написали. Я, вообще, тащусь, какие Вы со Странником разные. Странник такой весь непростой, прям боже мой, а Вы такой непосредственный и простодушный. Но, как говорится, "Люди разные нужны, люди разные важны".

Я, честно говоря, ни фига не понял, как "симметричность чертежа" и симметричность треугольников CLA и CKA может помочь, ибо это не есть откровение, что в случае равнобедренного треугла всё симметрично. И я уже хотел было проигнорировать Вашу "подсказку". Но Ваша фраза "Для доказательства равенства достаточно обнаруженных Вами одинаковых углов", сама по себе тоже ничего нового мне не говорящая, ибо я уже возился с многими равными углами, заставила меня ещё раз засесть и искать больше равных углов. Точнее, не искать их, ибо я уже наискался вдоль и поперёк, но продолжить думать о них, сузив круг своих размышлений и поисков больше на равенстве углов, нежели на остальном.
   И Вы не думайте, что я всегда игнорировал симметричность чертежа и, в частности, треугольников CLA и CKA. Я обо всяких таких вещах, естественно, тоже думал. Просто, поскольку оказалось, что есть много всяких разных решений, так уж мне не повезло, что я брался сначала за другие.

Вот, не знаю, это ли Вы имели ввиду, но вот такое ещё решение придумалось. Наверное уже четвёртое у меня. И да, оно намного короче всех моих предыдущих.

============================================================================

                    Решение. Предварительное мелкое доказательство.

Первым делом докажу, что углы ^ACK = ^РКА (обозначены ε и оранжевым).

Углы ^AMK и ^МКА равны, т.к. треугол АМК равнобедренный. ^СМL = ^АМК из-за симметрии. ^CML = ^MLK из-за параллельности сторон. ^МLK = ^MKL т.к. треугол МLК равнобедренный. Т.е. все перечисленные углы
^AMK = ^МКА = ^СМL = ^MLK = ^MKL равны.

^MLN = ^MKN ибо они вписанные и опираются на одну хорду MN. ^MLN = ^MKC из-за симметрии. Значит ^MKN = ^MKC. Но ^MKN и ^MKC лежат внутри равных углов ^MKA и ^MKL, соответственно. Значит остатки углов ^MKA и ^MKL, а именно, соответственно, углы ^PKA и ^CKL тоже равны. Но ^CKL = ^АСК из-за параллельности сторон. Значит ^ACK = ^РКА, что я и хотел сначала доказать.

Это можно было и короче доказать, используя "теорему об отрезке круга, дополнительном данному", в которой говорится, что угол между касательной и хордой равен вписанному в окружность углу, опирающемуся на эту хорду:
^ACK = ^CKL из-за параллельности сторон, а ^CKL = ^ALK из-за симметрии. Но ^ALK = ^РКА по указанной теореме. => ^ACK = ^РКА.


=====================================

Обозначим отрезок |MK| через d, углы ^MKN = ^MKC через ß, углы ^ACK = ^РКА через ε и угол ^MPK через φ. Также обозначим искомые отрезки |MP| = x и |PA| = y


                              Теперь, собственно решение (в пять строчек).

1) Рассмотрим три треугла: CKM, MKP и PKA. И для всех них применим теорему синусов.

2) Для треугла CKM имеем:   d/sinε = a/sinß      =>     d∙sinß = a∙sinε

3) Для треугла МКР имеем:   d/sinφ = x/sinß     =>     d∙sinß = x∙sinφ

4) Приравниваем левые стороны 2) и 3), получаем   a∙sinε = x∙sinφ     =>    a/x = sinφ/sinε

5) Для треугла PKA имеем:   a/sin(180-φ) = y/sinε . Т.к. sin(180-φ) = sinφ, то перепишем a/sinφ = y/sinε    => a/y = sinφ/sinε

6) Сравниваем правые части выражений из 4) и 5), получаем a/x = a/y , откуда следует

x = y

Что я и пытался, наверное, в сумме целую неделю доказать. Зато получилось четырьмями с половиной весьма разными способами.

   Не знаю, наверное это моё решение, при желании, можно ужать в три строчки, если писать так кратко и без объяснений и промежуточных преобразований и доказательств, как Вы обычно делаете. Но я так не люблю, а люблю подробно, чтобы людям было понятно, особенно таким как Артём оф 93 и Странник, которые не очень в теме.

   Я, на самом деле, перед тем, как придумать данное решение, даже ещё одно другое придумал. Там изначальная идея весьма простая, но дальше возникла необходимость возиться с преобразованиями сумм и разностей углов и их косинусами. Я подзастрял и бросил его. Может быть потом когда-нибудь продолжу.
« Последнее редактирование: 14 Июнь 2017, 11:24:07 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Вписанная окружность #2
« Ответ #6 : 16 Июнь 2017, 02:29:10 »
Ну, всё, уважаемый Race. Если Вы и сейчас мне скажете, что я не то сделал, то ...  Вы мне сохраните смысл дальнейшей жизни! Правда, жизни в позоре и унынии. Унынии от того, что придумать 4 замечательных и крутых способа самому, и один такой мааааленкий несолидный способчик с подсказки ...  ;D

Ну а если Вы мне скажете, что всё, наконец, то я не знаю, зачем мне жить дальше. Опять со Странником только цапаться?

===========================================

Короче, сидел я весь последний час, как студент перед экзаменом, не спавши уже хз сколько, и кропотливо вписывал все углы. И смотрел, у каких треуглов углы одинаковые, т.е. треуглы подобные. И я не понял, зачем Вы мне какую-то фигню сказали о треуглах CLA~CKA, когда они просто тупо симметричны, т.е. считай, что конгруэнтны (хотя симметричность и конгруэнтность - это разные вещи, но в данном случае это не важно), а вовсе не только лишь подобны? Но сейчас я Вам благодарен за Вашу ошибку, ибо это даёт мне право считать, что я хотя бы на 50% решил сам (как блондинка Странника).

=============================================

                                             Решение (длинная версия короткого решения (без доказательства углов))

Рассмотрим треуглы АСК и АКР. Из рисунка видно, что у них все три пары углов одинаковые (доказательство этого дано ниже):


1) Для треугла АСК:  ^АCК = ε;  ^СКА = 2ß+ε;   ^КАС = α

2) Для треугла АКР:  ^АКР = ε;  ^АРК = 2ß+ε;   ^КАР = α

3) Значит треуглы АСК и АКР подобны. А отношения соответствующих сторон, лежащих напротив равных углов, одинаковы.

4) У треугла АСК напротив ε лежит |KA|= а, и напротив 2ß+ε лежит |CA| = 2a.

5) У треугла АКP напротив ε лежит |PA|= y,  и напротив 2ß+ε лежит |KA| = a.

6) Попарно делим соответствующие подобные стороны этих двух треуглов из 4) и 5), получаем:

a/y = 2a/a           Отсюда   a/y = 2   и =>   y = a/2

7) Так как x+y = a, то, подставляя y = a/2, имеем  x+a/2 = a   =>  x = a-a/2 = a/2

Сравнивая 6) и 7), получаем y = a/2 и x = a/2   =>

y = x


========================================

                       Доказаельство равенства углов

Углы α у треуглов АСК и АКР тупо совпадают. Значит осталось доказать равенство либо углов ε, либо углов 2ß+ε. Я уже в прошлый раз доказал равенство углов ε. Но повторю.

Углы ^AMK и ^МКА равны, т.к. треугол АМК равнобедренный. ^СМL = ^АМК из-за симметрии. ^CML = ^MLK из-за параллельности сторон. ^МLK = ^MKL т.к. треугол МLК равнобедренный. Т.е. все перечисленные углы
^AMK = ^МКА = ^СМL = ^MLK = ^MKL равны.

^MLN = ^MKN ибо они вписанные и опираются на одну хорду MN. ^MLN = ^MKC из-за симметрии. Значит ^MKN = ^MKC. Но ^MKN и ^MKC лежат внутри равных углов ^MKA и ^MKL, соответственно. Значит остатки углов ^MKA и ^MKL, а именно, соответственно, углы ^PKA и ^CKL тоже равны. Но ^CKL = ^АСК из-за параллельности сторон. Значит ^ACK = ^РКА, что я и хотел сначала доказать.

Это можно было и короче доказать, используя "теорему об отрезке круга, дополнительном данному", в которой говорится, что угол между касательной и хордой равен вписанному в окружность углу, опирающемуся на эту хорду:
^ACK = ^CKL из-за параллельности сторон, а ^CKL = ^ALK из-за симметрии. Но ^ALK = ^РКА по указанной теореме. => ^ACK = ^РКА.




=================================================
=================================================

Так уж мне не повезло с этой задачей, что эти два треугла АСК и АКР совсем не выглядели подобными, и я их игнорировал. Я рассматривал многие треуглы, которые казались мне перспективными - имеющие общие или равные стороны и более очевидно равные углы. А эту пару - ни за что! И углы их не так просто найти, в отличие от других. Мне наука на будущее.

Но нет худа без добра, за неделю возни и те предыдущие найденные 4 других способа я нехило надрючился решать и кое-что узнал или вспомнил. ))))))))))))))
« Последнее редактирование: 16 Июнь 2017, 02:40:00 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Вписанная окружность #2
« Ответ #7 : 16 Июнь 2017, 11:01:08 »
Вот теперь вы получили именно то лаконичное решение, которое я и имел в виду.