Автор Тема: Вписанная окружность  (Прочитано 1318 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1434
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Вписанная окружность
« : 12 Май 2017, 14:10:15 »
Окружность S, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается боковых сторон AB и BC в точках K и L соответственно, и касается основания АС в точке М. Отрезок AL пересекает окружность S в точке N. Докажите, что прямая KN проходит через середину отрезка AM.

Ох и помучился я с этой задачей, исписал наверное листов 6 А4 мелким почерком, в итоге она решилась очень просто. Может кому то и понравится)
Для решения достаточно знание геометрии 8го класса.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Вписанная окружность
« Ответ #1 : 23 Май 2017, 12:06:37 »
Окружность S, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается боковых сторон AB и BC в точках K и L соответственно, и касается основания АС в точке М. Отрезок AL пересекает окружность S в точке N. Докажите, что прямая KN проходит через середину отрезка AM.

Ох и помучился я с этой задачей, исписал наверное листов 6 А4 мелким почерком, в итоге она решилась очень просто. Может кому то и понравится)
Для решения достаточно знание геометрии 8го класса.
Я существенно продвинулся в решении сей задачи. Я её ещё не решил, так как уперся в один технический момент. Но я вижу, что этот момент, по идее, должен так или иначе решаться. По крайней мере я придумал, что надо делать и как можно было бы решить, и теперь осталась только техническая часть (которая тоже оказалась для меня весьма сложной). Но раньше я вообще не знал, что делать, а теперь пробую нечто конкретное, осмысленное и логичное.
К сожалению, хотя моя идея кажется простой, решения в 2-3 строчки у меня явно не получится. Но я хочу сам, так что всем цыц (если Странник знает, что такое "цыц"; но он и так помалкивает). У меня всё медленно, а времени не очень, так что будем ждать.
« Последнее редактирование: 23 Май 2017, 12:09:09 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Вписанная окружность
« Ответ #2 : 23 Май 2017, 15:26:49 »
Я, кажется, наконец, решил своим суперизвратным многоходовым способом. Сейчас буду пересматривать, и, если всё будет выглядеть ОК, то приготовьтесь читать много моего письма. А потом будем вместе смотреть, где я ошибся, а если не ошибся, то где я лишнего понаписал, что получилось так длинно. Хотел, блин, чисто построением решить, но мозгов не хватает. Пришлось всё-таки в одном месте тригонометрию применить. Хотя, если бы сразу применил, может быть намного короче получилось бы.

Я уверен, что так длинно получилось потому, что где-то не заметил коротких путей, и шёл в обход. Вот интересно узнать, где. А так у меня очень очень много ходов, как будто невесть что решал.

Но ещё раз, я пока не уверен, что решил, ибо не всё ещё сделал. Наверняка где-то облажался и оставил что-то недоказанным или неверно доказанным. Буду ещё проверять. Но точно, не в 2-3 строки. Просто мне уже легче написать как есть, чем искать сейчас более короткое решение.

В лучшем случае, если всё верно, готово будет часа через 2-3, не раньше.
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Вписанная окружность
« Ответ #3 : 23 Май 2017, 19:20:59 »
Сначала поясню ход своих мыслей. Я, когда смотрел на точку N пересечения отрезка AL с окружностью S, никак не мог понять, что это за чудо-точка. Никаких полезных привязок этой точки к чему бы то ни было я не мог узреть. Тогда решил доказывать методом от обратного. Т.е. сначала построить точку Р, делящую АМ пополам, получить точку N просто как пересечение AL и КP, а потом доказать, что точка N лежит на вписанной окружности. Благо что существует только одна окружность, вписанная в конкретный треугол, так что всё однозначно.

Для док-ва методом от обратного на первом этапе нельзя рисовать окружность и нельзя пользоваться никакими свойствами вписанной окружности. Также нельзя пользоваться свойствами хорд и углов, вписанных в окружность. Всё это будем применять на последнем этапе, когда нужно будет доказывать, что точка N принадлежит окружности, и не какой угодно окружности, а именно вписанной окружности.

Поэтому стал рисовать равнобедренный треугол ABC (урезал его сверху для компактности рисунка) без окружности, но с заданными на нём определённым образом вспомогательными точками. Задавать какие-либо вспомогательные точки по ходу доказательства является корректным, при условии, если потом они выбывают из игры.

1) Строим первый рисунок. На нём точки Р и Т делят отрезки АМ и СМ пополам. А точки К и L наносим на боковые стороны на расстоянии а = |AM| = |CM| от вершин А и С, соответственно, чтобы потом они оказались на вписанной окружности.


2) Сейчас я хочу доказать, что углы ß и σ равны др.др. Это понадобится для доказательства того, что точка N лежит на вписанном округе, так как отрезок MN будет хордой вписанного округа, а углы ^MKN и ^MLN будут тоже вписаны и будут оба опираться на эту хорду.

Доказать, что углы ß и σ равны др.др., и оказалось самым нетривиальным для меня. Возможно, что это, или что-то другое, но аналогичное, необходимое для доказательства того, что точка N лежит на вписанном округе, можно доказать намного проще.

Сначала я хотел доказывать, что углы ß и σ равны др.др. просто тупо тригонометрически. Возможно, я потом это и попробую сделать. Но я хотел избежать тригонометрии ради любви к искусству, и продолжил чертать-строить.

Углы ^PKM и ^MLT равны друг другу и равны σ. И я стал работать с углом ^MLT для пущего удобства.
Я заметил, что отрезок АТ делится точкой М в соотношении 1:2, т.е. |АМ| = 2|МТ|. Это есть свойство медианы. И построил треугольник на базе этой медианы АТ и отрезка LT. Для этого отрезок LT удлинил (удвоил) до отрезка  LW. Получился классный вспомогательный треугольник ALW с известной медианой АТ и известной точкой пересечения всех его медиан М.

Теперь докажем, что классный вспомогательный треугольник ALW - равнобедренный с равными сторонами LW и LA. Вот здесь-то мне и пришлось прибегнуть к тригонометрии, ибо так уже занаймандохался, что сил больше нет.

Вычисляем длины отрезков LT=b и LA=с тупо по теореме косинусов (да, опять по ней).

b2 = (a/2)2 + a2 - 2·(a/2)·a·cosα
преобразуем в
b2 = a2·(5/4 - cosα)
и ещё преобразуем в
4b2 = a2·(5 - 4·cosα)

Аналогично для с
с2 = (2a)2 + a2 - 2·2a·a·cosα
преобразуем в
с2 = a2·(5 - 4·cosα)

Сравниваем выражения    4b2 = a2·(5 - 4·cosα)    и    с2 = a2·(5 - 4·cosα)    и видим, что
4b2 = с2    =>   2b = c.

А так как LT = TW (по нашему построению), то LW = 2b = c = LA, т.е. треугольник ALW - равнобедренный. Тогда его медиана LV является также биссектрисой угла ALW, и значит углы ß и σ равны др.др.

То, что отрезок LV является медианой треугольника ALW следует из того, что LV выходит из вершины сего треугла L, а не откуда-нибудь, и проходит через точку М. А точка М есть точка пересечения медиан, так как она делит отрезок АТ в соотношении 1:2, а также по нашему построению треугла ALW.

Всё вышенаписанное (весь пункт 2) было лишь только чтобы доказать, что углы ß и σ равны др.др.. Но это и было самым сложным (для меня).


3) Теперь переходим ко второму рисунку. Доказываем, что точка N лежит на вписанном округе.

Строим отрезок MN (и пока не называем его хордой) и замечаем, что на него опираются два одинаковых (как доказано выше) угла ^MLN и ^MKN.

Мы знаем, что в данный равнобедр. треугольник АВС можно вписать окружность только одним способом, и она будет проходить через точку M (как середину основания) а также через точки L и K, ибо мы их так специально и строили - симметрично мочке М, соблюдая |CM|=|CL| и |AM|=|AK|.

Строим на базе этих трёх точек M, L и K синюю окружность, которая просто обязана быть вписанной, как показано выше. Видим, что угол ^NLM - вписанный, так как обе его стороны LM и LN лежат по правую сторону от касательной СВ. Аналогично и угол ^MKN тоже вписанный. Левые стороны этих углов проходят через точку М, которая заведомо лежит на округе (по построению). А точка N заведомо (по построению) лежит на стороне угла LA, но при этом может лежать левее или правее линии округа.
   Допустим, точка N (заведомо лежащая на стороне угла LA) не лежит на округе, а вместо неё на округе лежит точка N1 (N1 не изображена). Тогда получится, что угол ^MLA опирается на хорду МN1. Но угол MKP имеет ту же величину, что и угол ^MLA, значит он тоже опирается на хорду МN1 и значит отрезок КР проходит через точку N1, а не N. Но по построению отрезок КР проходит через точку N, а такое возможно только если N и N1 совпадают. И так как точка N1 принадлежит округу, то и N принадлежит округу.

Таким образом мы доказали (и часа не прошло), что точка N, являющаяся пересечением KP и LA принадлежит вписанному округу. А отрезок КР проходит через середину отрезка АМ (по изначальному построению). А так как тут все построения однозначны, то и обратное утверждение верно: если взять на LA точку N, принадлежащую также и вписанному округу (кроме самой точки L), то KN своим продолжением разделит AM пополам.

=====================================================================

Вот как много написал. ptil за**ётся читать и выискивать тут у меня матные слова.

Конечно, многое из того, что я тут так подробно написал, весьма очевидно и не требует такого усердного доказательства. Но математики - зануды и придиры, и требуют доказательства каждого утверждения.

Я вовсе не удовлетворён сим своим доказательством, но всему меру знать надо, и пора с этим заканчивать. И это лучше, чем ничего.

И просьба, если есть намного лучшее доказательство, просьба мне его пока не говорить. Может быть я потом тогда ещё подумаю.

Да уж, 2-3 строчки!!!  ;D ;D ;D ;D ;D ;D ;D
« Последнее редактирование: 23 Май 2017, 19:50:03 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1434
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Вписанная окружность
« Ответ #4 : 23 Май 2017, 19:34:00 »
Через медиану равнобедренного треугольника, да еще и при помощи не очевидного достроения. Просто снимаю шляпу...  :thumbs up:

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Вписанная окружность
« Ответ #5 : 23 Май 2017, 19:38:07 »
Через медиану равнобедренного треугольника, да еще и при помощи не очевидного достроения. Просто снимаю шляпу...  :thumbs up:

Голь на выдумки хитра.
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1434
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Вписанная окружность
« Ответ #6 : 23 Май 2017, 19:42:50 »
Голь на выдумки хитра.
На самом деле вы в шаге от простого решения. Но так как этот шаг надо было сделать где то в середине решения, я не знаю сделаете ли вы его.
С медианой мне очень понравилось. Это прямо еще 1 задача.

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Вписанная окружность
« Ответ #7 : 23 Май 2017, 19:45:42 »
Голь на выдумки хитра.
На самом деле вы в шаге от простого решения. Но так как этот шаг надо было сделать где то в середине решения, я не знаю сделаете ли вы его.
С медианой мне очень понравилось. Это прямо еще 1 задача.

"На самом деле вы в шаге от простого решения" - Я охотно верю, я это и сам говорил. Просьба его пока не озвучивать.

А у меня кредо такое - сначала бездарно создавать себе трудности, а потом "гениально" их разгребать.  ;D ;D ;D
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1434
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Вписанная окружность
« Ответ #8 : 23 Май 2017, 20:08:33 »
Если хотите, могу Вам указалть один маааааааалюсенький шажок, после которого Вы все сами раскрутите)

Оффлайн Головотяп

  • The thing about happiness is that you only know you had it when it’s gone.
  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • Каждый был хотьраз счастлив.Но некаждый этозаметил
    • Просмотр профиля
Re: Вписанная окружность
« Ответ #9 : 23 Май 2017, 20:18:04 »
Если хотите, могу Вам указалть один маааааааалюсенький шажок, после которого Вы все сами раскрутите)

Ну давайте "один маааааааалюсенький шажок", а то иначе чё мне так гордо упираться, как будто свет клином на этой задаче сошелся. Тем боле вероятно, что я и сам в какой-то момент собирался так сделать, но потом "соскочил".
  "Соскочил" - это у меня проблема такая с головой, вследствие распада мозга: Не могу долго думать подряд, дольше ~ одной минуты. Если до начала соскока не успел мысль до логической точки довести, то потом "соскок" и всё теряется. И тогда всё сначала, и так раз за разом, и может быть очень долго, а потом уже устаю. И всё это ещё неприятными ощущениями в голове по типу некой головной боли сопровождается. И некие ещё проблемы головного плана. Доживёте до 45 лет, сами почувствуете как маразм неизбежно нагрядает.  ;D ;D ;D ;D ;D
« Последнее редактирование: 23 Май 2017, 20:28:07 от Головотяп »
Сносно владею тринадцатью языками: русским, английским, американским, канадским, австралийским, новозеландским, одного постсоветского малого народа, а также арго, феней, жаргоном, сленгом, тем, что во рту и языком Чи.
=================
Happiness in intelligent people is the rarest thing I know. E.H.

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1434
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Вписанная окружность
« Ответ #10 : 24 Май 2017, 00:23:14 »
У Вас равнобедренный треугольник, а чертеж не симметричный. Сделайте симметричным и еще раз внимательно осмотрите получившееся построение ;)  :bubble: