Автор Тема: Два ткача  (Прочитано 2521 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн николай

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5476
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Два ткача
« : 24 Апрель 2017, 20:23:08 »
На наклонной плоскости два ткача придерживают два совершенно одинаковых рулона ткани. Одновременно отпускают. Один рулон скатывается со склона как цельный цилиндр, а второй во время спуска разматывается. Скольжение отсутствует. Какой рулон скатится быстрее? :)

Оффлайн николай

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5476
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Два ткача
« Ответ #1 : 24 Апрель 2017, 21:52:33 »
На наклонной плоскости два ткача придерживают два совершенно одинаковых рулона ткани. Одновременно отпускают. Один рулон скатывается со склона как цельный цилиндр, а второй во время спуска разматывается. Скольжение отсутствует. Какой рулон скатится быстрее?

это ответ  Tugrikа
Разматывающийся рулон скатится быстрее. Цельный попозже подоспеет. Это задача не только из трудовых будней ткачей, но ещё и по механике.

Аналог этой задачи - ускоряющийся конец утоншающегося к концу хлыста при щелчке хлыстом.



а вот другой ответ


Василий Котеночкин сказал:
июня 22, 2016 - 08:22

Из соображений по закону сохранения энергии.
 Рулон, который скатывается, как целый, будет приобретать на каждом участке пути скорость, получаемую из соотношения v^2 = gh.
 Второй рулон будет оставлять по дороге часть своей массы, а значит на остающуюся у него часть массы будет приходиться меньшая энергия, и, как следствие будет меньшая скорость.



кто же прав?

Оффлайн Atropa

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 444
  • РОЗНЕТ
    • Просмотр профиля
Два ткача
« Ответ #2 : 24 Апрель 2017, 23:32:35 »
Я, конечно, не спец в моментах. Но там, случайно не два вида движения в совокупности надо рассматривать: вращательное и поступательное?
Если только вращательное ( без наклона), то, по идее, первым "прибежит" разворачивающийся рулон. А если все это действо происходит под наклоном, то момент инерции цилиндра будет компенсировать отставание из-за постоянства объема (массы). Но это, вероятно, еще будет зависеть от угла наклона. :unknown: :wall:

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Два ткача
« Ответ #3 : 25 Апрель 2017, 01:53:42 »
Без расчета сложно сказать точно. Некая аналогия с хлыстом присутствует, но там хлысту сразу придают кин.энергию, которая превращается в скорость. Тут же энергия накапливается постепенно, по мере скатывания. Причем условия накопления энергии меняются. Силе тяжести приходится преодолевать не только инерцию рулонов, но и момент инерции. У разматывающегося рулона момент инерции будет уменьшаться, зато момент импульса съест больше энергии. К тому же быстрее вращающийся рулон и потерь будет иметь больше. Но чисто интуитивно скорее я склонен согласиться с Тугриком.

Вот кстати подзадача, связанная с этой задачей. Если мы возьмем 2 цельных валика разного диаметра и отпустим, кто обгонит?
« Последнее редактирование: 25 Апрель 2017, 01:59:53 от StrannikPiter »

Оффлайн Atropa

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 444
  • РОЗНЕТ
    • Просмотр профиля
Два ткача
« Ответ #4 : 25 Апрель 2017, 02:08:32 »
Я как-то наблюдала скатывание с горки человеческих тел ( не кубарем, а вдоль). Плато достигало быстрее более массивное туловище.

А вот формула, найденная в инете:
окончательное выражение для кинетической энергии тела, катящегося по наклонной плоскости:

где k = 0,5 для сплошного цилиндра (диска); k = 1 для полого тонкостенного цилиндра (обруча); k = 0,4 для сплошного шара
s – путь, пройденный центром масс,
Из формулы видно, что все зависит от массы.

Оффлайн николай

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5476
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Два ткача
« Ответ #5 : 25 Апрель 2017, 02:50:18 »
блин
завтра возьму два рулона туалетной бумаги и спущу их с детской горки :crazy: ;D
нет
там скольжение большое
а если с лесницы - 10 ступенек?
покатит??
 :beer: :crazy:

Оффлайн Atropa

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 444
  • РОЗНЕТ
    • Просмотр профиля
Два ткача
« Ответ #6 : 25 Апрель 2017, 02:58:55 »
блин
завтра возьму два рулона туалетной бумаги и спущу их с детской горки :crazy: ;D
нет
там скольжение большое
а если с лесницы - 10 ступенек?
покатит??
 :beer: :crazy:

Не переживайте! Сейчас чай попью, и честно посчитаю. Свой результат опубликую (на короткое время, правда только, так что следите за новостями).

Николай! Дерзайте!


Tugrik! Блин! Хорош выпендриваться. Сохраните решение до утра, иначе никто не заценит.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1224
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Два ткача
« Ответ #7 : 25 Апрель 2017, 15:57:49 »
У него проблемы с провайдером. Предлагаю скинуться на оплату долга провайдеру. Если сума не астрономическая конечно. Выловить все его ответы довольно таки сложно.

Оффлайн Atropa

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 444
  • РОЗНЕТ
    • Просмотр профиля
Re: Два ткача
« Ответ #8 : 25 Апрель 2017, 16:31:06 »
Вот решение Ygreka/Tugrikа!

Часть первая - общие тары-бары + решение для крайнего случая.

Введение:
Сразу, пока не забыл, обсужу некоторые практические аспекты, а потом, отбросив все подобные практические аспекты, приведу чисто теоретическое решение.

На практике очень важными могут оказаться такие вещи:
Если ткань не бесконечно тонкий и абсолютно гибкий и т.д. материал, а, например, листовая резина конечной толщины, то тут возникает нюанс «внутренних напряжений в рулоне». Загнутая резина «хочет» распрямиться. Она как заряженная пружина будет распрямляться и ускорять себя. И наоборот – если рулон пролежал очень долго, и резина уже «привыкла» быть согнутой, то тогда при раскручивании рулон будет сопротивляться и хотеть закрутиться назад, что будет тормозить размотку.
Если рулон при закручивании сильно натягивали, то в рулоне запасутся механические напряжения и дополнительная упругая энергия, что тоже проявит себя при освобождении рулона. Желание рулона увеличить свой диаметр приведёт к ускорению. А желание листа сократиться до нормальных размеров, наверное, будет тормозить (не уверен в этом).
Ещё, если учитывать внутренние трения (как внутри самого материала, так и межслойное), ведущие к потере энергии, то раскр. рулон теряет часть скорости.
Для цельного рулона это всё иррелевантно. Ещё много всего типа проминания-сминания



Теперь голая теория.

Все задачи на законы сохранения не рассматривают никакие нюансы и причины и не рассматривают процессы по середине истории, а только что было в самом начале, и что стало в самом конце.

Допустим, для определённости, что длина ската как раз равна длине полотна, и допустим высота горки H и радиус рулона h<<H (для простоты).

1) цельный рулон.

В начале его энергия была только потенциальная и равнялась mgH. В конце ската он будет иметь только кинетическую поступательную + вращательную энергию ½ mv2  +  ½ I2  = ¾ mv2  . Какая бы скорость v ни была, она будет конкретная и конечная v2 = 4/3∙gH.


2) раскатывающийся рулон.

В самом начале всё было также как и у цельного рулона: в начале его энергия была только потенциальная и равнялась mgH.

Рассмотрим что будет почти в самом конце спуска, когда рулон почти полностью раскатался и масса нераскатанного рулона mостаточное уже почти ноль.
В конце ската практически вся его масса лежит неподвижно и равномерно на склоне спуска, и высота центра массы будет H/2. Т.о. основная масса рулона спустилась только на высоту H/2, а не H, как было в первом случае (т.е. половина потенциальной энергии потерялась). Значит в конце полная энергия равна mgH/2 + Eкин . Отсюда Eкин = mgH-mgH/2 = mgH/2 = 3/4∙mостаточноеv2 .

Отсюдова v2 = 2/3∙gH∙m/mостаточное . Но так как mостаточное -> 0, то скорость v -> ∞ стремится к бесконечности. Ну, если даже и не к бесконечности, то в любом случае отношение m/mостаточное растёт по мере размотки, и, стало быть, скорость тоже растёт благодаря этому множителю.

Таким образом, мы видим, что для второго случая имеется постоянно растущий множитель m/mостаточное и, следовательно, скорость раскатыв. рулона растёт не только пропорционально изменению H (как в первом случае), но ещё и благодаря этому мощному множителю.

mостаточное = m - mраскатанное  есть линейная функция от высоты, а m/(m - mраскатанное) стремится к бесконечности как 1/х при х ->0.

Важное замечание. Все вышеприведённые рассуждения нельзя рассматривать как строгое решение, а лишь как иллюстрацию и качественный ответ на вопрос "Кто быстрее". Это, в частности, потому, что если сравнить множители при gH для обоих случаев:

1) v2 = gH∙4/3                           -  4/3 всегда >1
2) v2 = gH∙2/3∙m/mостаточное       -  2/3∙m/mостаточное  сначала =2/3 и < 4/3, и только через некоторое время становится >4/3, когда m/mостаточное уже достаточно подрастает.

И получается, что по началу, пока m/mостаточное мало, цельный рулон как бы даже быстрее движется, что противоречит всей идее моего решения.

Но, как бы там ни было, сам подход и идея, я считаю, правильные, и позволяют рассчитать скорость для любого промежуточного случая H и убедится, что скорость во втором случае будет всегда выше (если кто не верит).

Кто-то может закричать: "Ничего себе! Половина потенциальной энергии потерялась!". Но это только в самом конце так будет, когда роль множителя m/mостаточное уже очень велика и он по любому перевесит. Действительно, потеря недоиспользованной потенциальной энергии mgH/2 (как в самом конце), на первых порах не будет столь велика, так как размотается очень малая часть тряпки, а в месте с ней и недоиспользованная потенциальная энергия будут очень малы.


P.S. Если условие, что h<<H не соблюдается (например, толстый рулон и пологий склон), то для второго случая h нужно учесть: Eкин = mg(H+h) - mgH/2 = mg (H/2 + h). И v2 = g(H+2h)m/mостаточное, но это никакого принципиального значения не имеет: скорость будет немного побольше, и также будет ->∞.

Вторая часть с общим решением для произвольного случая
Рассмотрим такой склон, у которого длина пологой части равна длине раскатанного рулона, т.е. в самом низу рулон аккурат размотался. Пусть сначала масса обоих рулонов равна M.

1) случай цельного рулона на высоте d.

Полная энергия рулона вначале (на высоте H) = MgH.
Полная энергия рулона где-то посередине (на высоте d) = Епот, d + Екин, d = Mgd + 3/4∙Mv12
Приравниваем, получаем
MgH = Mgd + 3/4∙Mv12  , откуда для члена 3/(4g)∙v12 получаем:

3/(4g)∙v12 = H-d                     (1)


2) случай раскатывающегося рулона на высоте d.

Масса остатка рулона m = M∙d/H
Масса размотанной и неподвижно лежащей части m' = M - m = M(1-d/H) и центр её находится на высоте (H+d)/2

Полная энергия рулона вначале (на высоте H) = MgH.
Полная энергия рулона где-то посередине (на высоте d) состоит из трёх членов и равна = Епот. раскрученной части, d + Епот. остатка, d + Екин. остатка, d = M(1-d/H)g(H+d)/2 + M∙d/H∙gd + 3/4∙M∙d/H∙v22
Приравниваем, получаем:
MgH = M(1-d/H)g(H+d)/2 + M∙d/H∙gd + 3/4∙M∙d/H∙v22
откуда для члена 3/(4g)∙v22 получаем:

3/(4g)∙v22 = (H2/d - d)/2         (2)

Теперь давайте сравним  (1) и (2).

Графики строить не буду, а просто подставлю несколько чисел. Пусть, например, H = 10, и d =

a) d = 1.    Тогда (1) = 9;    и (2) = 49,5         => (2) > (1)
b) d = 9.    Тогда (1) = 1;    и (2) = 1,0555      => (2) > (1)
c) d = 9,9.  Тогда (1) = 0,1; и (2) = 0,100505   => (2) > (1)


Выводы:Видно, что при всех d, т.е. во всех случаях скорость раскручивающегося рулона (случай 2) ) больше, чем скорость цельного рулона.

Я тут всё это вычислял лишь для доказательства, ибо всё это и так сразу было понятно. Но для тех, кто не понимает, скажу одну простую вещь:
Энергия сохраняется. Если сначала какой-то участок рулона двигался и имел кинетическую энергию, а потом неподвижно улёгся на склон, то его кинетическая энергия никуда не пропала, а сохранилась и перешла в движущийся остаток рулона. И тут нету никакого чуда. Тот элемент ткани, который упокоился на склоне, вовсе не затормозился - он ведь итак был неподвижным в момент касания рулоном поверхности склона. Но разница с цельным рулоном в том, что у цельного рулона этот элемент после касания опять задрался вверх, а у разматывающегося так и остался на месте.

« Последнее редактирование: 25 Апрель 2017, 16:35:14 от Atropa »

Оффлайн ptil

  • Администратор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 3090
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Два ткача
« Ответ #9 : 25 Апрель 2017, 16:43:08 »
Сдается мне, что это разновидность задачи про шарики и цепь: http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,6037.0.html

Оффлайн mollchun

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Два ткача
« Ответ #10 : 14 Ноябрь 2017, 19:17:13 »
На сайте  http://fizika-student.ru/skativanie_tel_s_naklonnoy_ploskosti__22_231.html есть решение для цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения.
Скорость скатывания V=2√gh/3 Значит, она не зависит от радиуса и массы цилиндра. Как и скорость падающих в вакууме тел😊 А то, что у одного цилиндра постепенно уменьшается радиус и масса-это частный случай цилиндра. Ответ-рулоны скатываются с одинаковой скоростью
   

Оффлайн mollchun

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Два ткача
« Ответ #11 : 16 Ноябрь 2017, 09:52:29 »
И все таки это два разных тела. Отбросив длину цилиндров, можно сказать, что в одном случае - это однородный диск, а в другом это диск из обручей, вложенных один в другой, который катясь оставляет по обручу за оборот на плоскости. Надо подумать над сообщением Atropa...

Оффлайн mollchun

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Два ткача
« Ответ #12 : 16 Ноябрь 2017, 22:26:09 »
Из ответа Atropa №8
Вот решение Ygreka/Tugrikа!...
  2) раскатывающийся рулон.
…В конце ската практически вся его масса лежит неподвижно и равномерно на склоне спуска, и высота центра массы будет H/2. Т.о. основная масса рулона спустилась только на высоту H/2, а не H, как было в первом случае (т.е. половина потенциальной энергии потерялась). Значит в конце полная энергия равна mgH/2 + Eкин . Отсюда Eкин = mgH-mgH/2 = mgH/2 = 3/4∙mостаточноеv2 .


Вот здесь, по-моему, и ошибка, которая привела решение к "чуду", в которое надо поверить:)
Екин в конце равна 0! А за мгновение до этого бесконечно малая масса с конечной скоростью имела Екин близкую к 0.

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Два ткача
« Ответ #13 : 17 Ноябрь 2017, 01:36:21 »
А где задача про кирпичи?

Оффлайн mollchun

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Два ткача
« Ответ #14 : 18 Ноябрь 2017, 15:45:07 »
Я как-то наблюдала скатывание с горки человеческих тел ( не кубарем, а вдоль). Плато достигало быстрее более массивное туловище.

А вот формула, найденная в инете:
окончательное выражение для кинетической энергии тела, катящегося по наклонной плоскости:

где k = 0,5 для сплошного цилиндра (диска); k = 1 для полого тонкостенного цилиндра (обруча); k = 0,4 для сплошного шара
s – путь, пройденный центром масс,
Из формулы видно, что все зависит от массы.
Из этой формулы очевидно, что для разгона обруча требуется больше энергии, чем для сплошного диска(или цилиндра). Если справедливо, что раскручивающийся рулон по сути это энное количество обручей, то его разогнать труднее. Значит катиться быстрее будет цельный рулон. И это правильный ответ в рамках моих допущений.
P.S. Ну не щелкнет он, как хлыст... :)