Автор Тема: Задача а треугольник.  (Прочитано 3437 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Kallisto

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #15 : 20 Апрель 2017, 00:03:01 »
Здрасьте! :)
Это же было сразу понятно.
Если DC проведём через центр круга, он равен диаметру. Две полученные хорды равны между собой и каждая равна радиусу (это легко доказывается), и это первый крайний случай.
Второй крайний случай, когда DC совпадает со стороной треугольника, тогда сумма минимальна и равна стороне треугольника.
А вот между этими случаями сумма длин хорд меняется, в моём примере уменьшается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #16 : 20 Апрель 2017, 00:06:09 »
Ну этого я не мог знать, так как не знал зачем вы диффиринцируете))))  :crazy:

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #17 : 20 Апрель 2017, 00:52:16 »
Все как будто сума сошли. Щас напишу своё решение. Не изящное правда, зато тупорылое и более менее короткое.

Используются свойства вписанных углов и их хорд, а также расширенная теорема синусов, ну или, что то же самое, что я писал выше - формула для нахождения длины хорды через вписанный угол, опирающийся на эту хорду, принимая диаметр круга 2r = 1 для простоты простаты.

|BD| = sin φ   ;   |DA| = sin ε   =>  |BD| + |DA| =  sin φ +  sin ε

|DC| = sin Θ
...

ε = 60 - φ   ;      => |BD| + |DA| = sin φ + sin ε = sin φ + sin (60 - φ)     (1)

Θ = 60 + φ   ;    => |DC|               = sin (60 + φ)                                             (2)


Рассмотрим, чему равно sin φ + sin (60 - φ)

По теореме о синусе суммы/разности углов sin(α−β)=sin(α)·cos(β)−cos(α)·sin(β) получаем

sin φ + sin (60 - φ) = sin φ + sin 60° · cos φ − cos 60° · sin φ = sin φ + √3/2 · cos φ − 1/2 · sin φ = 1/2 · sin φ + √3/2 · cos φ

Итого  |BD| + |DA| = 1/2 · sin φ + √3/2 · cos φ     (I)


Теперь рассмотрим, чему равно sin (60° + φ)

По теореме о синусе суммы/разности углов sin(α+β)=sin(α)·cos(β)+cos(α)·sin(β) получаем

sin (60 + φ) = sin 60° · cos φ +cos 60° ·sin φ = √3/2 · cos φ + 1/2 · sin φ

Итого, |DC| = √3/2 · cos φ + 1/2 · sin φ       (II)

Сравниваем (I) и (II), и убеждаемся, что |BD| + |DA| = |DC|

« Последнее редактирование: 20 Апрель 2017, 01:41:35 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #18 : 20 Апрель 2017, 01:41:47 »
Поздравляю, вы нашли аналитическое решение) Правильность уже завтра проверю)  :thumbs up:
Хм, сразу вопрос.
По теореме синусов получается:
BD/sin φ=1/sin60, так как sin60 не равен 1, как у вас получилось: BD=sin φ? Должно быть BD=2sin φ/sqrt3. Просто, дальше, насколько я понимаю, sin60 сократится и ваше доказательство заработает.

« Последнее редактирование: 20 Апрель 2017, 01:49:48 от Race »

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #19 : 20 Апрель 2017, 01:48:57 »
Поздравляю, вы нашли аналитическое решение) Правильность уже завтра проверю)  :thumbs up:

Я и не знал, что это называется "аналитическое". Анальное, скорее. ;D

Я сто раз говорил, что мыслительный процесс - весч вероятностная - как повезёт. Почему мне надо было 2 часа диффуровой хернёй промаятся, потом ещё 3 часа изучать свойства дуг, хорд и вписанных углов, несколько часов пялиться на рисунок, изучать две праы подобных треугольников, потом вдруг увидеть, какой я тупица, а после всего этого вдруг за 10 минут решить. А? Почему? Потому что мыслительный процесс - весч вероятностная.

Я так понимаю, Вы по другому решили.

О! Странник вылез из берлоги! Чуть вылез, и сразу опять смылся.
« Последнее редактирование: 20 Апрель 2017, 02:22:37 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #20 : 20 Апрель 2017, 01:51:21 »
Я так понимаю, Вы по другому решили.
Конечно. Я аналитикой не занимался с того момента как в 2006 ушел из НАНУ Украины) Мне больше нравятся простые геометрические решения.

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #21 : 20 Апрель 2017, 01:53:37 »
Я так понимаю, Вы по другому решили.
Конечно. Я аналитикой не занимался с того момента как в 2006 ушел из НАНУ Украины) Мне больше нравятся простые геометрические решения.

"Мне больше нравятся простые геометрические решения." - Дык и мне тоже! Но сегодня явно не мой день.
« Последнее редактирование: 20 Апрель 2017, 01:56:15 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #22 : 20 Апрель 2017, 01:54:40 »
"Мне больше нравятся простые геометрические решения." - Дык и мне тоже! Но сегодня, явно не мой день.
Я бы и сам не решил, но совсем недавно видел аналогичный способ решения в задаче для ЕГЭ, которую, кстати, выкладывал и тут.

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #23 : 20 Апрель 2017, 02:05:15 »
Хм, сразу вопрос.
По теореме синусов получается:
BD/sin φ=1/sin60, так как sin60 не равен 1, как у вас получилось: BD=sin φ? Должно быть BD=2sin φ/sqrt3. Просто, дальше, насколько я понимаю, sin60 сократится и ваше доказательство заработает.

"BD/sin φ=1/sin60" - это Вы не правильно написали. Я использовал РАСШИРЕННУЮ теорему синусов BD/sin φ = 2r, и 2r принимал за единицу, а вы использовали ОБЫЧНУЮ теорему синусов и сторону равностороннего треугольника приняли за единицу.
« Последнее редактирование: 20 Апрель 2017, 02:25:43 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #24 : 20 Апрель 2017, 02:40:41 »
понял, в принципе и так бы вышло, просто эти синусы 60 потом бы сократились.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #25 : 20 Апрель 2017, 16:53:55 »
геометрическое выкладывать?

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #26 : 20 Апрель 2017, 17:20:58 »
геометрическое выкладывать?

Подождите, пожалуйста. Я сам ещё хочу подумать. Тем более, что кроме меня и Kallisto тут вообще ещё никто ничего не написал. Со Странником явно что-то случилось, ибо я не думаю, что он прячется просто потому, что ему стыдно, что нечего сказать. Обычно ему ничего не стыдно.

Жаль, что у Вас рисунок на сером фоне - не очень удобно его использовать для своих дорисовываний.
« Последнее редактирование: 20 Апрель 2017, 17:33:36 от Tugrik »

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #27 : 20 Апрель 2017, 17:37:08 »
Да, я тоже еще хочу порешать, не выкладываейте пока решение. Все некогда чего-то.

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #28 : 20 Апрель 2017, 19:47:52 »
Уф! Кажись получилось. Щас проверять и рисовать для народа буду.

Ничего, правда, особо изящного я тут не вижу, но, по крайне мере, аналитическим его точно не назовёшь. Разве что анал-итическим.

1) Строим на отрезке DC из точки D отрезок DE, равный |DA|. Теперь нам остаётся только доказать, что отрезки |BD| и |EC| равны.

2) Так как угол ^ADE равен 60°, и отрезки DA и DE равны, то треугольник ADE - равносторонний. И, значит, угол ^AEC = 120°.

2a) Если кто не понял, почему угол ^ADE = ^ADC равен 60°, поясняю: угол ^ADC опирается на ту же хорду AC, что и угол ^ABC, который равен 60° изначально. По свойствам вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду, углы ^ADC и ^ABC должны быть равны.


3) Доказываем, что треугольники ADB и AEC конгруэнтны, откуда и последует равенство отрезков |BD| и |EC|.

3а) Углы ^AEC и ^ADB - оба по 120°. То, что ^ADB =120° следует из его противоположности углу ^BCA = 60° и тому, что они оба опираются на одну хорду BA, и, по свойствам вписанных углов, в сумме должны составлять 180°.

3b) Стороны AD и AE - равны, так как треугольник ADE получился равносторонний.

3с) Стороны AB и AC тоже равны, так как это суть сторон изначального равностороннего треугольника.

3d) Таким ёбразом получается, что у треугольников ADB и AEC по две стороны и как минимум по одному углу равны, => они конгруэнтны.

Таким ёбразом, доказано, что треугольники ADB и AEC конгруэнтны. И, следовательно, отрезки BD и EC равны. А отрезки DA и DE тоже равны по построению. => |DA| + |DB| = |DE| + |EC| = |DC|
« Последнее редактирование: 20 Апрель 2017, 20:48:31 от Tugrik »

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #29 : 20 Апрель 2017, 20:06:07 »
Что-то Вы перестарались.
2 стороны и 1 угол уже достаточно для конгруэнтности. Начиная с 3b) уже лишнее.  :)