Автор Тема: Задача а треугольник.  (Прочитано 3442 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Задача а треугольник.
« : 19 Апрель 2017, 14:42:50 »
Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность, из С, в сторону АВ опущен луч, который пересекает дугу АВ в точке D.
Докажите, что каким бы образом мы не выбрали точку D, будет выполняться равенство CD=AD+DB.
« Последнее редактирование: 19 Апрель 2017, 14:46:04 от Race »

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #1 : 19 Апрель 2017, 15:30:47 »
Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность, из С, в сторону АВ опущен луч, который пересекает дугу АВ в точке D.
Докажите, что каким бы образом мы не выбрали точку D, будет выполняться равенство CD=AD+DB.

Могу доказать для частного случая когда точка B совпадает с точкой D или А.  ;D

Вы мне скажите, эта задача имеет красивое изящное короткое решение типа "Эврика" или тут тупо вычислять надо по всяким там теоремам типа Римана-Лобачевского-Остроградского-Гаусса-Финкельштейна? Если по всяким там теоремам типа Римана-Лобачевского-Остроградского-Гаусса-Финкельштейна, то я пас. Странник с Головоломом и hripunovым пусть решают. :wall:
« Последнее редактирование: 19 Апрель 2017, 15:34:11 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #2 : 19 Апрель 2017, 15:40:18 »
Задача решается без применения всяческих сложных теорем.
Задача имеет как минимум одно изящное и короткое решение.

После её решения становится понятно как подходить к существенно более сложным задачам типа:

Дано:
Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность. На дуге, на которую опирается основание АВ, выбрана произвольная точна D, известно, что независимо от того каким образом выбрать точку D выполняется равенство CD=n(AD+DB).
Найти: АС/АВ.

Так же, при помощи этого метода можно делить отрезки на произвольное число кратное 2м. Но это уже к задаче не относится, так лирическое дополнение.
« Последнее редактирование: 19 Апрель 2017, 15:42:59 от Race »

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #3 : 19 Апрель 2017, 16:49:46 »
Я уже немного продвинулся в поисках решения. Надеюсь, что решу, если успею до других.
« Последнее редактирование: 19 Апрель 2017, 17:04:59 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #4 : 19 Апрель 2017, 17:06:45 »
Я раньше использовал данное построение бездумно, а сегодня решил доказать почему выполняется это равенство, безусловно удобное.
Изначально решение не смог найти, но помучавшись таки смог)
Мне тоже не нравятся задачи на сложные теоремы, так как я их не знаю, приходится гуглить.

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #5 : 19 Апрель 2017, 18:59:46 »
Блин! Вроде бы придумал решение, не геометрическое, а тригонометрически-диффуровое (звучит страшно, но там всё просто). Я понимаю, что это не то, что нужно, но это тоже имеет право на жизнь. Всё вроде логично, но там у меня такой бред получается! Где-то я явно туплю. Нужна "медиматическая" помощь!

Описываю ход моих рассуждений, а все пусть помогают мне найти источник маразма.

Сразу: Будем считать диаметр (2r) = 1, для простоты. Знак "^ABC" означает угол с вершиной В.


Короче, нашел я формулу длины хорды от величины вписанного угла, на неё опирающегося ( http://ru.onlinemschool.com/math/formula/circle/ ):
"2. Длина хорды через вписанный угол и радиус: AB = 2r · (sin α)"

В нашем случае это : |BD| = sin(^BCD)   и   |DA| = sin(^DCA)
^BCD + ^DCA = 60°    =>   ^DCA = ^BCD - 60°

Таким ёбразом, искомая сумма |AD|+|DB| = sin(^BCD) + sin(^DCA) = sin(^BCD) + sin(60° - ^BCD)

Дальше такие простые рассуждения:

В предельных случаях, когда точка D совпадает с B или A (т.е. ^BCD = 0 или 60° ), равенство |AD|+|DB| = |CD| очевидно. Значит если сумма

sin(^BCD) + sin(60° - ^BCD)

не зависит от ^BCD, то и во всех промежуточных 0 < ^BCD < 60° будет то же самое.
Независимость |AD|+|DB| от ^BCD означает равенство нулю производной выражения   sin(^BCD) + sin(60° - ^BCD)  по ^BCD.

Заменяем sin(60° - ^BCD) = sin(60°)∙cos(^BCD) - sin(^BCD)∙cos(60°)

подставляем, получаем

1/2 ∙ sin(^BCD) + √3/2 ∙ cos(^BCD)

берём производную по ^BCD , получаем:

 1/2 ∙ [ cos(^BCD) - √3 ∙ sin(^BCD) ]

Ну, и разве это может быть равно 0 для любых   0 < ^BCD < 60°   ?????

« Последнее редактирование: 19 Апрель 2017, 19:47:50 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #6 : 19 Апрель 2017, 19:38:23 »
К сожалению в дифурах я не силен. Еще не повторил. Придется подождать hripunov, SatrannikPiter  или Головолом.
Таким образом мне даже и в голову не пришло решать. Эх. Вот что значит большой перерыв.

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #7 : 19 Апрель 2017, 20:51:21 »
К сожалению в дифурах я не силен. Еще не повторил. Придется подождать hripunov, SatrannikPiter  или Головолом.
Таким образом мне даже и в голову не пришло решать. Эх. Вот что значит большой перерыв.
"Еще не повторил" - Значит когда-нибудь собираетесь? Почему бы не сейчас? Тут диффуров почти нет - с гулькин нос. Почитайте, пожалуйста. Может быть Вы найдёте ошибки, мелкие или принципиальные. Мне кажется, у меня ошибка на раннем этапе, ещё до начала диффуров.

Щас ещё поработаю над тригонометрической формулой суммы синусов углов для  sin(^BCD) + sin(60° - ^BCD) .
« Последнее редактирование: 19 Апрель 2017, 21:05:19 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #8 : 19 Апрель 2017, 21:02:52 »
я имел в виду теорию, в которой вы.прировняли дифур к нулю.
Конечно может.
asinx=bsqrt(1-(sinx)^2);  sinx=t
ta^2=(1-t^2)b^2
,А вот попадет ли х в нужный диапазон. я тоже еще не повторил)
« Последнее редактирование: 19 Апрель 2017, 21:04:50 от Race »

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #9 : 19 Апрель 2017, 21:05:41 »
я имел в виду теорию, в которой вы.прировняли дифур к нулю.
Конечно может.
asinx=bsqrt(1-(sinx)^2);  sinx=t
ta^2=(1-t^2)b^2
,А вот попадет ли х в нужный диапазон. я тоже еще не повторил)
Мне кажется, у меня ошибка на раннем этапе, ещё до начала диффуров, ещё на стадии применения формулы
"Длина хорды через вписанный угол и радиус: AB = 2r · (sin α)"
« Последнее редактирование: 19 Апрель 2017, 21:10:03 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #10 : 19 Апрель 2017, 21:08:55 »
с тнлефона не удобно, доберусь до компа, гляну

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #11 : 19 Апрель 2017, 21:16:03 »
К сожалению в дифурах я не силен. Еще не повторил. Придется подождать hripunov, SatrannikPiter  или Головолом.
Таким образом мне даже и в голову не пришло решать. Эх. Вот что значит большой перерыв.
"Еще не повторил" - Значит когда-нибудь собираетесь? Почему бы не сейчас? Тут диффуров почти нет - с гулькин нос. Почитайте, пожалуйста. Может быть Вы найдёте ошибки, мелкие или принципиальные. Мне кажется, у меня ошибка на раннем этапе, ещё до начала диффуров.

Щас ещё поработаю над тригонометрической формулой суммы синусов углов для  sin(^BCD) + sin(60° - ^BCD) .


Подставил в самую первую формулу значения для α и ß, соответственно ^BCD  и  (60° - ^BCD) . Получилось

sin(^BCD) + sin(60° - ^BCD)  =  cos(^BCD-30°) .  Это показывает явную зависимость от ^BCD, т.е. от положения точки D. Бред какой-то. Щас буду проверять саму Вашу задачу на правильность.

Проверил для срединного случая. Для срединного случая всё верно. А если для срединного и для двух крайних случаев верно, то, скорее всего, и везде верно.
« Последнее редактирование: 19 Апрель 2017, 21:31:41 от Tugrik »

Оффлайн Kallisto

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #12 : 19 Апрель 2017, 21:59:12 »
Я тоже начала с серединного случая, когда CD - диаметр, там явно видно равенство. Потом, конечный случай, когда CD совпадает с CB.
А вот между ними всё связано с углами, на которые опираются изменяющиеся, в зависимости от проведённой CD, хорды.
Меня прям заклинило на этих углах. Сумма углов не меняется, а меняются значения самих углов, один уменьшается, другой растёт,
ну и т.д. с синусами.
 извините за мою грамматику, синтаксис, морфологию, фразеологию, семантику...

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #13 : 19 Апрель 2017, 22:20:35 »
Я тоже начала с серединного случая, когда CD - диаметр, там явно видно равенство. Потом, конечный случай, когда CD совпадает с CB.
А вот между ними всё связано с углами, на которые опираются изменяющиеся, в зависимости от проведённой CD, хорды.
Меня прям заклинило на этих углах. Сумма углов не меняется, а меняются значения самих углов, один уменьшается, другой растёт,
ну и т.д. с синусами.
 извините за мою грамматику, синтаксис, морфологию, фразеологию, семантику...
" извините за мою грамматику, синтаксис, морфологию, фразеологию, семантику..." - Чего извинять-то? Всё у Вас в порядке с Вашим языком.

Применение простой формулы для длины хорды от вписанного угла, опирающегося на неё ("Длина хорды через вписанный угол и радиус: AB = 2r · (sin α)") полностью свело меня с ума. И я переключился опять на чисто геометрические дела.
  Нашёл все соответствия углов из свойств вписанных углов, и нашёл, что луч DC есть биссектриса для угла BDA. Может быть, это как-то может помочь.

Угол BDA равен 120о, кстати. Так что DC делит его на углы по 60о.

О! Нашёл что треугольники-то подобны! Щас буду дальше смотреть. Надеюсь, это поможет.
« Последнее редактирование: 19 Апрель 2017, 22:56:31 от Tugrik »

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Задача а треугольник.
« Ответ #14 : 19 Апрель 2017, 23:47:14 »
Блин! Тупица я! Только щас дошло, что искомая сумма |AD|+|DB| = sin(^BCD) + sin(^DCA) = sin(^BCD) + sin(60° - ^BCD) вовсе не должна оставаться неизменной при изменении ^BCD !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Фак! Фак! Фак! Она же всего лишь должна оставаться равной |DC|, а |DC| ведь тоже меняется при изменении ^BCD , так что |AD|+|DB| = sin(^BCD) + sin(^DCA) = sin(^BCD) + sin(60° - ^BCD) спокойно может меняться! Тупица! Тупица! Тупица!

Отменяю все просьбы искать мои ошибки - сам нашёл. К чёрту диффуры!

Хорошо, что хоть сам нашёл, а не, например, Странник вредный.

И с чего я взял-то, что |AD|+|DB| не меняется при изменении положения D? Меняется же ведь! Так же как и |CD| меняется. Что не меняется, так это отношение |AD|+|DB| / |CD| и их равенство.

Три часа на смарку-стирку. Горе-математик-арифметик-диффуролог-уролог-гинеколог.
« Последнее редактирование: 20 Апрель 2017, 00:18:13 от Tugrik »