Автор Тема: Удлинить отрезок в два раза; увеличить угол в два раза; построить биссектрису; +  (Прочитано 10357 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Раз уж с делением отрезка пополам без циркуля с помощью угольника+линейки разобрались (www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,8017.msg71363/topicseen.html#msg71363), чтобы насолить некоторым поклонника циркуля-куркуля, открываю цикл новых (старых) задач


        *** Без циркуля с помощью только угольника+линейки без шкал ***


Вот, "придумал" суперлёгкую обратную задачу:

1) не поделить отрезок пополам, а удлинить в два раза. Без циркуля с помощью только угольника+линейки без шкал.


И аналогичную по смыслу (но не по построению) тоже суперлёгкую задачу:

2) увеличить имеющийся угол в два раза. Без циркуля с помощью только угольника+линейки без шкал.


И обратную второй задаче  тоже суперлёгкую задачу:

3) Построить биссектрису для данного угла. Без циркуля с помощью только угольника+линейки без шкал.


И до кучи, ещё одну тоже суперлёгкую задачу:

4) На одной стороне угла дана точка. Построить точку на второй стороне угла, удалённую от вершины на такое же расстояние. Без циркуля с помощью только угольника+линейки без шкал.


Короче, циркуль - буржуазную выдумку - на свалку! Даёшь угольник+линейку!

Пы.Сы. Догадываюсь, что все эти задачи уже тысячи лет как старые. Но для меня новые, так что в плагиате прошу не обвинять.
« Последнее редактирование: 12 Апрель 2017, 06:21:23 от Tugrik »

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Это тоже тривиально:

5) На базе заданного отрезка АВ построить квадрат со стороной-отрезком АВ. Без циркуля с помощью только угольника+линейки без шкал.
« Последнее редактирование: 12 Апрель 2017, 11:22:24 от Tugrik »

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Единственный вопрос.
Что, в вашем понимании есть угольник? При помощи оного можно откладывать только прямые углы, либо какие то еще?

1.
если при помощи угольника возможно отложить отличный от прямого угол то элементарно:
1. с одного края отрезка строим прямую перпендикулярную к оному.
2. с другого(в сторону перпендикуляра) строим прямую под углом который допускает угольник: 45, 30, 60
3. из точки пересечения перпендикуляра и построенной прямой строим прямую под углом 45, 60, 30.
4. продолжаем заданную прямую. Точка ей пересечения и прямойиз п.3 будет искомой.

2.
1. из произвольной точки на одной стороне угла строим перпендикуляр к второй.
2. Удваиваемым получившийся отрезок, как в 1 задаче.
3. Соединяем вершину угла и край получившегося отрезка. Угол удвоен.
3.
на расстоянии угольника строим перпендикулярный отрезок от одной стороны угла, внутрь. Потом точно так же от второй, соединяем вершину угла и точку пересечения перпендикуляров, полученный отрезок принадлежит биссектрисе.

4.
1. Строим биссектрису
2. Опускаем из точки перпендикуляр на биссектрису и продолжаем его до пересечения с второй стороной угла.

5.
1. Строим перпендикуляр к каждому из краев отрезка
2. Строим биссектрису углов (внутрь)
3. Точки пересечения биссектрис углов и перпендикуляров и будут являться вершинами искомого квадрата.

На мой взгляд, если угольник не является элементом чертежной доски (к примеру Роботрон), то с помощью циркуля можно добиться более высокой точности при построении, но повторюсь, это только мое мнение.
« Последнее редактирование: 12 Апрель 2017, 13:05:51 от Race »

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Единственный вопрос.
Что, в вашем понимании есть угольник? При помощи оного можно откладывать только прямые углы, либо какие то еще?

Традиционный угольник - это деревяшка или пластмасска с одним прямым углом плюс 60+30 или плюс 45+45 градусов. Но я ставлю суперцель - пользоваться только прямым углом, как будто это стандартный лист бумаги. Надеюсь, что получится. 1), 2) и 5) я уже и сам решил. А 3) и 4) (родственные друг другу) - пока нет, но, надеюсь вы со Странником (которого я очень люблю, кстати, не смотря на то, что он вредный стал в последние полгода), а может быть даже и я сам, осилите. Наверняка это уже всё давно решённые задачки.

Кстати, угольником можно не только "откладывать прямой угол", но и использовать его стороны как линейки. Также можно елозить угольником вдоль линейки как по направляющей. Но это и так ясно.

Но, главное, нельзя откладывать угольником расстояния, т.е. пользоваться им как отрезком определённой длины. Т.е. никаких фиксированных размеров ни у угольника, ни у линейки нету. И вообще нету. Поэтому все ваши (Race) решения надо переделать.
« Последнее редактирование: 12 Апрель 2017, 13:26:12 от Tugrik »

Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 576
    • Просмотр профиля
    • E-mail
1) АВ -исходный отрезок, линии строятся по порядку номеров, 4 параллельна 2 (с угольником и линейкой строится легко) АС = 2*АВ
UPD: Все углы (кроме прямых) произвольные, линия 1 произвольной длины
« Последнее редактирование: 12 Апрель 2017, 13:16:35 от Головолом »

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Если при помощи угольника нельзя откладывать отличные от прямого углы, то построение существенно усложнится.
1.
1. Откладываем прямую параллельную заданному отрезку:
1.1. Из одного края отрезка строим перпендикуляр, в обе стороны от отрезка
2. С одной стороны от отрезка, на произвольном расстоянии строим еще 1 перпендикуляр, на нем откладываем 2 расстояния угольника. Получаем 2 точки, А и В.
3. Соединяем точку А (одно расстояние угольника) с вторым краем отрезка и продолжаем данный лучдо пересечения с перпендикуляром отложенным в другую сторону.
4. Соединяем полученную точку (пересечения луча и перпендикуляра с точкой В
5. Продолжаем заданную прямую до пересечения с отрезком из п.4. Задача выполнена.

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Головолом, осталось придумать как провести прямую параллельную первой гипотенузе)
Придумал, но появляются еще 2 линии)
В принципе способ имеет место быть. :seamew:
« Последнее редактирование: 12 Апрель 2017, 13:20:06 от Race »

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Интересные задачки, вечером порешаю.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Чет пока не решаются с 3 по 5. Первую Головолом решил уже, вторую Race (не отвергайте все его решения, второе - годное). 3 и 4 такое ощущение, что вообще не решатся. Да и пятое, Вы точно уверены, что решили его?

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Чет пока не решаются с 3 по 5. Первую Головолом решил уже, вторую Race (не отвергайте все его решения, второе - годное). 3 и 4 такое ощущение, что вообще не решатся. Да и пятое, Вы точно уверены, что решили его?

" второе - годное" - Я вспомнил, почему я отверг - потому что он (Race) там ссылается на своё негодное решение первой задачи, поэтому я, даже не вникая, автоматически отверг. И рисунка, тем более, не было. И ещё потому, что я сам поначалу решил эту задачу другим способом. Его способ с беглого взгляда не напомнил мне мой, и это было ещё одним фактором, почему я отверг. Позже, не вникая в это его решение, я сам пришел к такому второму решению и поржал над собой, что оно легче и проще (правда, проще это только если не учитывать, что удвоить отрезок - это тоже целая работа). И сейчас я уже вижу, что оно, по сути, правильное (если бы не ссылка на негодное решение первой задачи), хотя и не единственное. Если бы Race и вы решили эту вторую задачу моим первым способом, то легко решили бы и 5).

"точно уверены, что решили его" - я уверен (если только с ума не сошёл), у меня даже рисунок приготовленный есть. Решил двумя близкими и аналогичными способами.

А с 3) и 4) у меня у самого засада  :wall:. 3) и 4) по сути одинаковые. Просто я, по наивности и глупости, думал, что в геометрии если прямая задача решается, то и обратная ей тоже решается. Оказалось, в отличие от алгебры (хотя там тоже очень часто далеко не всё так просто), что в геометрии прямая и обратная задачи - принципиально разные, и просто "обратный ход" не годится.

Я сейчас выложу ещё одну шестую задачу на базе 5), которая точно решается. Щас только убежусь в этом, и выложу.

Подсказка: не забывайте, что угольник - это всё-таки "физическая" вещь, которую вы как бы можете вращать и двигать по поверхности бумаги как вам захочется, но только определённые положения его подходят в некоторых случаях - в этом и фокус-покус.
« Последнее редактирование: 13 Апрель 2017, 13:10:50 от Tugrik »

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
6) На горизонтальной прямой задан отрезок АВ. К этой прямой через произвольную точку С опущен перпендикуляр (см. рис.). Построить отрезок CD, лежащий на этом перпендикуляре, такой, что |CD| = |AB| и D лежит от прямой (AB) дальше чем С. Без циркуля с помощью только угольника+линейки без шкал.

Решение существует, сам уже решил.
« Последнее редактирование: 13 Апрель 2017, 13:32:34 от Tugrik »

Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 576
    • Просмотр профиля
    • E-mail
5) Не уверен в точности построения на практике, но в теории можно построить следующим образом:
5.1) из точек А и В строим перпендикуляры, затем внутри них произвольный прямоугольник, проводим диагонали, а через пересечение диагоналей проводим перпендикуляр к отрезку, который будет равноудалён от двух крайних прямых и разделит АВ пополам;
5.2) берём угольник (красный на рисунке) и кладём его так, чтобы прямой угол лежал на средней вертикали, а стороны проходили через начала отрезка АВ, проводим линии по сторонам угольника и продляем их до пересечения с крайними вертикалями - это и будут диагонали нужного квадрата
5.3) строим квадрат по точкам пересечения диагоналей и крайних вертикалей
Думаю так!  :rest:

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
5) Не уверен в точности построения на практике, но в теории можно построить следующим образом:
5.1) из точек А и В строим перпендикуляры, затем внутри них произвольный прямоугольник, проводим диагонали, а через пересечение диагоналей проводим перпендикуляр к отрезку, который будет равноудалён от двух крайних прямых и разделит АВ пополам;
5.2) берём угольник (красный на рисунке) и кладём его так, чтобы прямой угол лежал на средней вертикали, а стороны проходили через начала отрезка АВ, проводим линии по сторонам угольника и продляем их до пересечения с крайними вертикалями - это и будут диагонали нужного квадрата
5.3) строим квадрат по точкам пересечения диагоналей и крайних вертикалей
Думаю так!  :rest:

Молодца!  :thumbs up: Теперь вы можете решить 2) другим способом, чем у Race?

"Не уверен в точности построения на практике" - а почему нет? Absolutely! Прикладываете угольник, потом прикладываете к нему линейку, потом убираете угольник и чертите по линейке. И позиционирование вершины угольника и его сторон в данном случае и на практике весьма точны.

Ниже Race написал: "Следует заметить, что такое построение нельзя назвать строгим" - я так не думаю, так как угольник можно приложить только строго одним образом, а значит строго. И небольшие смещения/повороты угольника сразу приводят к заметным отклонениям, т.е. их легко контролировать, так что точность обеспечена. Так или иначе, если уж на то пошло, то прикладывание линейки к двум точкам аналогично нельзя произвести синхронно, а сначала к одной, потом к другой, и при этом положение у первой сбивается, и т.д. А тут - почти тоже самое, только прикладывать нужно не к 2м точкам, а к 3м, что не есть принципиальное отличие.

P.S. Мне просто интересно, вам понадобилась моя подсказка "Подсказка: не забывайте, что угольник - это всё-таки "физическая" вещь, которую вы как бы можете вращать и двигать по поверхности бумаги как вам захочется, но только определённые положения его подходят в некоторых случаях - в этом и фокус-покус", или вам это было итак понятно? Я почему спрашиваю, потому что Страннику, судя по всему, это не понятно, и я закомплексовал и засцал.
« Последнее редактирование: 13 Апрель 2017, 14:36:38 от Tugrik »

Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 576
    • Просмотр профиля
    • E-mail
6) Решается на базе 5 элементарно. По рисунку, думаю, будет всё понятно

Онлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1511
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Ну 5  можно решить если двигать угольник. Следует заметить, что такое построение нельзя назвать строгим, с другой стороны, при отсутствии циркуля, имеет место быть.
1. Строим из А луч перпендикулярный АБ - а.
2. Продолжаем отрезок АБ (за построенный луч).
3. На продолжении АБ строим аналогичный (удваиваем).
4. Размещаем одну сторону угольника (прямо) на точке B', а прямой угол на луче а.
5. Двигаем прямой угол по лучу а, при этом строго соблюдаем что бы его стороне принадлежала B'.
6. В момент когда вторая сторона прямоугольника совпадет с точкой В, отмечаем положение прямого угла на а. Получаем точку Д.
7. Из точек Д и В в одну сторону строим перпендикуляры, до их пересечения в точке С.
8. Полученный четырехугольник АБСД - квадрат.