Автор Тема: Построение сечения  (Прочитано 1280 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Построение сечения
« : 05 Апрель 2017, 14:09:34 »
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Плоскость делит ребра AA1, B1C1, CD в отношении 1 : 2, считая от вершин A, B1, C соответственно. Постройте сечение и найдите его площадь.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Построение сечения
« Ответ #1 : 05 Апрель 2017, 17:21:56 »
Решать сейчас некогда, но ход решения понятен:
1. Задаем координатные оси, совпадающие с ребрами куба.
2. Получаем координаты трех заданных точек пересечения.
3. По трем точкам определяем уравнение плоскости.
4. Подставляем в это уравнение константные координаты других ребер и получаем координаты точек пересечения всех ребер (если они пересекаются) с плоскостью.
5. Координаты пересечения ребер куба с плоскостью, это координаты вершин искомого сечения.
6. По координатам находим длину сторон и диагоналей
7. Строим, вычисляем площадь.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Построение сечения
« Ответ #2 : 05 Апрель 2017, 17:25:41 »
StrannikPiter,
поверю Вам на слово, я решал эту задачу в рамках школьной программы и не совсем представляю ход вашего решения)
Перечитал. Да. Безусловно, если я все правильно понял, то это аналитическая геометрия в своих лучших проявлениях
Но, повторюсь, есть решение из школьной программы)
« Последнее редактирование: 05 Апрель 2017, 17:30:52 от Race »

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Построение сечения
« Ответ #3 : 05 Апрель 2017, 17:41:14 »
Я понимаю, что там скорее всего получится какая-нибудь симметричная фигура, например, правильный шестиугольник. И это упростит решение. Но у меня универсальное решение, оно подойдет, даже если пропорции разделения ребер взять разные.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Построение сечения
« Ответ #4 : 05 Апрель 2017, 17:55:41 »
Безусловно Ваше решение верное.
Это же аналитическая геометрия.

Мое решение можно назвать чисто геометрическим, то есть плоскость сечения строится построением ;) Причем не только для симметричного многоугольника полученной пересечением плоскости и фигуры (как в данном случае), но и для произвольной.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Построение сечения
« Ответ #5 : 05 Апрель 2017, 19:10:15 »
Можно порассуждать логически.
Что бы задать объект в пространстве достаточно:
1. Точку - одной точки.
2. Прямую - две точки.
3. Плоскость - 3 точки, либо прямая и точка, либо две прямых.

В нашем случае плоскость полностью задана, осталось построить сечение образованное данной плоскостью и фигурой. Фигура может быть любой, от этого построение не изменится. Исключение фигуры вращения, в этом случае придется воспользоваться начертательной геометрией, либо же опять преддложенным вами методом аналитической геометрии.
« Последнее редактирование: 05 Апрель 2017, 19:27:09 от Race »

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Построение сечения
« Ответ #6 : 06 Апрель 2017, 03:01:40 »
Цитировать
1. Задаем координатные оси, совпадающие с ребрами куба.
2. Получаем координаты трех заданных точек пересечения.
3. По трем точкам определяем уравнение плоскости.
4. Подставляем в это уравнение константные координаты других ребер и получаем координаты точек пересечения всех ребер (если они пересекаются) с плоскостью.
5. Координаты пересечения ребер куба с плоскостью, это координаты вершин искомого сечения.
6. По координатам находим длину сторон и диагоналей
7. Строим, вычисляем площадь.

1. A =(0,0,0); B =(6,0,0); C =(6,6,0); D =(0,6,0)
   A1=(0,0,6); B1=(6,0,6); C1=(6,6,6); D1=(0,6,6)
2. AA1:   I=(0,0,2);
    B1C1: J=(6,2,6);
    CD:    K=(4,6,0);
3. x - y - z = -2
4. A1B1: x - 0 - 6 = -2 => L=(4,0,6)
     AD:   0 - y - 0 = -2 => M=(0,2,0)   
    CC1:  6 - 6 - z = -2 => N=(6,6,2)
5. Получаем шестиугольник ILJNKM
6. |IL| = √((0-4)2 + (0-0)2 + (2-6)2) = 4*√(2)
   |JN| = |KM| = 4*√(2)
   |LJ| = |NK| = |MI| = 2*√(2)
   |IJ| = √((0-6)2 + (0-2)2 + (2-6)2) = 2*√(14)
7. При построении получаем равносторонний треугольник с обрезанными углами.
S = S1 - 3*S2 = (8*√(2))2*√(3)/4 - 3*(2*√(2))2*√(3)/4 = 32*√(3) - 6*√(3) = 26*√(3) = 45.03

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Построение сечения
« Ответ #7 : 06 Апрель 2017, 03:14:56 »
 :thumbs up:
если не хотите, завтра выложу построением)

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Построение сечения
« Ответ #8 : 06 Апрель 2017, 07:51:40 »
Цитировать
6. По координатам находим длину сторон и диагоналей
7. Строим, вычисляем площадь.

6.   |IJ| = √((0-6)2 + (0-2)2 + (2-6)2) = 2*√(14)
7. При построении получаем равносторонний треугольник с обрезанными углами.

Вы писали: "6. По координатам находим длину ... диагоналей", а нашли (или упомянули) только одну диагональ IJ. Одной диагонали IJ, по идее и строго говоря, не достаточно, чтобы построить многоугольник LJNKMI, так как нужно найти ещё как минимум две подобные диагонали. Почему вы не упомянули остальные диагонали? Это нестрогие соображения симметрии? Или это немецкая экономность, или российская безалаберность, или американский пофигизм? Или китайское качество?

И решение 31-9 (Недоброжелательный экзаменатор, вызывающий бога Солнца) предоставьте, пожалуйста.
Подсказка: "Недоброжелательный экзаменатор", в данном случае, это - я.
« Последнее редактирование: 06 Апрель 2017, 08:04:50 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Построение сечения
« Ответ #9 : 06 Апрель 2017, 11:24:44 »
Вот построение которое нас учили делать в рамках школьной программы. Правда я, это совершенно не помнил) Но потом снова разобрался)
Такой способ подходит при построении сечения для любой фигуры образованной различными плоскостями. Если же элемент фигуры необходимо задавать вращением, то способ не применим.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Построение сечения
« Ответ #10 : 06 Апрель 2017, 11:32:48 »
Цитировать
6. По координатам находим длину сторон и диагоналей
7. Строим, вычисляем площадь.

6.   |IJ| = √((0-6)2 + (0-2)2 + (2-6)2) = 2*√(14)
7. При построении получаем равносторонний треугольник с обрезанными углами.

Вы писали: "6. По координатам находим длину ... диагоналей", а нашли (или упомянули) только одну диагональ IJ. Одной диагонали IJ, по идее и строго говоря, не достаточно, чтобы построить многоугольник LJNKMI, так как нужно найти ещё как минимум две подобные диагонали. Почему вы не упомянули остальные диагонали? Это нестрогие соображения симметрии? Или это немецкая экономность, или российская безалаберность, или американский пофигизм? Или китайское качество?

И решение 31-9 (Недоброжелательный экзаменатор, вызывающий бога Солнца) предоставьте, пожалуйста.
Подсказка: "Недоброжелательный экзаменатор", в данном случае, это - я.
Главным образом из соображений симметрии, конечно. К тому же все короткие диагонали получаются одинаковыми, а их для построения достаточно. Если бы числа получились приличными, можно было бы показать, как при помощи диагоналей идет построение, но с этими корнями было неохота, и так понятно.
Экзаменатора не придумал, наверно какой-то редко употребимый жаргон. (и "Тугрик" не подошло)

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Построение сечения
« Ответ #11 : 06 Апрель 2017, 11:35:49 »
Вот построение которое нас учили делать в рамках школьной программы. Правда я, это совершенно не помнил) Но потом снова разобрался)
Такой способ подходит при построении сечения для любой фигуры образованной различными плоскостями. Если же элемент фигуры необходимо задавать вращением, то способ не применим.
А в чем способ? По рисунку не очень понятно, как Вы получили недостающие точки. Тоже из соображений симметрии?

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1508
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Построение сечения
« Ответ #12 : 06 Апрель 2017, 12:02:07 »
StrannikPiter, вот тут то и есть основной подвох. Когда я столкнулся с этой задачей, то начал шерстить интернет. В итоге на большинстве ресурсов было рассмотрено очевидные задачи, но пропущен один важный момент.

Можно сделать выжимку из способа.
Главное: Плоскость пересекая другую плоскость по определенной прямой.
Все этого достаточно для решения.
1. Выбираем любую плоскость которой принадлежит любая грань многогранника.
2. Находим прямую, по которой заданная в условии задачи плоскость пересекает выбранную. В литературе данную прямую называют термином из НГ - след.
3. Используя полученный след строим искомое сечение.

В нашем случае я выбрал нижнюю грань куба АБСД, 1 точка следа у нас уже есть, она принадлежит СД. Нам необходимо найти вторую точку. Строим проэкции оставшихся двух точек на грань АБСД, затем проводим 2 прямых, одну через проэкции, вторую через сами точки. Прямая проведенная через точки - принадлежит заданной плоскости, а точка пересечения с прямой построенной на их проекциях, будет второй точкой принадлежащей следу.
Дальше все просто, находим точки пересечения следа с ребрами выбранной грани и тд.
В итоге получаем построение.
Размеры ребер образованного 6ти угольника определяем через теорему Пифагора, но в данном случае придется повозиться с треугольниками образованным отрезками принадлежащими секущей плоскости и их проекциями на выбранную плоскость. То есть методы АГ тут облегчают работу в разы.
Следует заметить, что таким оразом можно построить секущую для любого сложного многогранника.

И последние, проекции точек не обязательно должны быть ортогональными, к примеру для пирамид и других не ортогональных фигур, достаточно использовать свойство треугольника, то есть строим треугольник, где 1 сторона принадлежит заданной плоскость, а одна выбранной, в итоге точка их пересечения и будет являться точкой принадлежащей следу.
« Последнее редактирование: 06 Апрель 2017, 12:48:58 от Race »

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 333
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Re: Построение сечения
« Ответ #13 : 06 Апрель 2017, 17:38:45 »
Главным образом из соображений симметрии, конечно. К тому же все короткие диагонали получаются одинаковыми, а их для построения достаточно. Если бы числа получились приличными, можно было бы показать, как при помощи диагоналей идет построение, но с этими корнями было неохота, и так понятно.
Экзаменатора не придумал, наверно какой-то редко употребимый жаргон. (и "Тугрик" не подошло)

"из соображений симметрии" - такое доказательство математики не примут, ибо тогда нужно доказать, что симметрия есть.

"все короткие диагонали получаются одинаковыми" - для того, чтобы это утверждать, нужно сначала их найти.

"было неохота" - это российская безалаберность
"и так понятно" - это американский пофигизм

"Экзаменатора не придумал / "Недоброжелательный экзаменатор", в данном случае, это - я" - Я сейчас веду себя как "Недоброжелательный экзаменатор" - я придираюсь.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Построение сечения
« Ответ #14 : 06 Апрель 2017, 18:04:17 »
Не могу найти тему куда придиру вписать, может тут уже и темы стали удалять??

А Вы специально придирались к решению, для подсказки?  ;D
« Последнее редактирование: 06 Апрель 2017, 18:08:48 от StrannikPiter »