Автор Тема: Окружность и хорды.  (Прочитано 2608 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1551
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Окружность и хорды.
« : 19 Март 2017, 13:47:20 »
Так как новых почти нету выложу сразу несколько простых.

1. Биссектриса угла ВАС квадрата ABCD пересекает сторону ВС в точке М. Докажите, что АС=ВМ+ВС.

2. В треугольнике АВС АВ= 10 см, ВС=4 см, AC = 8см. На стороне СА взята точка D так, что АD= 6 см. Найдите отрезок ВD.

3. Две хорды AB и CД окружности пересекаются в точке К. Точка M - середина дуги AC (эта дуга АС не содержит точку В); N-середина дуги ВД (эта дуга
ВД не содержит точку А. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе
угла АКС.

4. http://radikale.ru/full/2017/3/14/607d5fbf5ea67f2553a499e717c05486-full.png.html

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1557
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #1 : 19 Март 2017, 14:52:03 »
BD = 5 см

Сначала необходимо найти, чему равны углы треугольника ABC, используя теорему косинусов, а затем можно рассмотреть треугольник ABD и найти сторону BD, вновь используя теорему косинусов.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1551
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #2 : 19 Март 2017, 16:22:31 »
Artem of 93, что бы было интереснее можно найти используя только знания 7-8 классов. Без теоремы косинусов и синусов ;)
Это относится ко всем задачам, с теоремами синусов и косинусов все очевидно)

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1642
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #3 : 20 Март 2017, 01:42:26 »
Если прикинуться второгодником - восьмиклассником, то ответ на 1 задачку можно сформулировать так:

Отметим точку К на пересечении диагонали квадрата ВD, которая равна ВС. ВК=ВМ, т.к. углы ВМК и ВКМ равны по 67,5 градусов.
КD=АD, т.к. углы DКА и DАК равны тоже по 67,5 градусов.
ВК+КD=ВD
Следовательно ВМ+АD=ВD=АС
(ↄ)

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1551
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #4 : 20 Март 2017, 01:50:28 »
Если прикинуться второгодником - восьмиклассником, то ответ на 1 задачку можно сформулировать так:

Отметим точку К на пересечении диагонали квадрата ВD, которая равна ВС. ВК=ВМ, т.к. углы ВМК и ВКМ равны по 67,5 градусов.
КD=АD, т.к. углы DКА и DАК равны тоже по 67,5 градусов.
ВК+КD=ВD
Следовательно ВМ+АD=ВD=АС
Сложно без построения воспринять конечно)

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1642
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #5 : 20 Март 2017, 02:00:49 »
Если прикинуться второгодником - восьмиклассником, то ответ на 1 задачку можно сформулировать так:

Отметим точку К на пересечении диагонали квадрата ВD, которая равна ВС. ВК=ВМ, т.к. углы ВМК и ВКМ равны по 67,5 градусов.
КD=АD, т.к. углы DКА и DАК равны тоже по 67,5 градусов.
ВК+КD=ВD
Следовательно ВМ+АD=ВD=АС
Сложно без построения воспринять конечно)
А придется  :crazy: У меня руки покааа дойдут до Powerpoint ;D
(ↄ)

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1551
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #6 : 20 Март 2017, 02:04:35 »
СНН, я пытаюсь повторить ваше построение, что значит на пересечении диагонали?

Построил))) в принципе имеет место быть, можно посчитать углы и все сходится.

1 задача решена) если никто не выложит другое решения я выложу более красивое)
« Последнее редактирование: 20 Март 2017, 02:07:24 от Race »

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1642
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #7 : 20 Март 2017, 02:14:16 »
СНН, я пытаюсь повторить ваше построение, что значит на пересечении диагонали?


ах да, извините, упустила: на пересечении АМ с диагональю квадрата ВD.....
(ↄ)

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1642
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #8 : 20 Март 2017, 11:25:41 »
Вот вариант ответа на №1 более наглядный тоже через равенство углов и сторон:


(ↄ)

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1551
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #9 : 20 Март 2017, 12:39:42 »
СНН, а можно к Вашему рисунку хоть какие то разъяснения? Или фантазировать?:) Но, действительно, если смотреть с широкого угла зрения, ну очень похоже на то что хотел я выложить)

О, разобрался)) Но для того что бы показать что треугольник равносторонний, все равно придется считать этот демонический угол. 45+45/2)
В принципе, это законное еще одно решение данной задачи.
« Последнее редактирование: 20 Март 2017, 12:45:29 от Race »

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1642
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #10 : 21 Март 2017, 00:41:57 »
Цитировать
все равно придется считать этот демонический угол

углы не катят, круги не идут :)
(ↄ)

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #11 : 24 Март 2017, 13:00:55 »
1.
Опустим перпендикуляр из точки M на диагональ АС.
Из соображений симметрии АЕ = АВ (и значит АЕ=ВС), а ВМ = ЕМ.
В треугольнике МЕС углы по 45о, значит ЕС = ЕМ (и значит ЕС=ВМ).
ВС+ВМ = АЕ+ЕС = АС

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #12 : 24 Март 2017, 13:08:40 »
2.
Треугольники АВС и ВСD подобны, так как имеют общий угол С и одинаковое соотношение прилегающих к нему сторон 8/4 = 4/(8-6).
Коэффициент подобия 2, значит BD = AB/2 = 5

PS. 3 и 4 пока думаю  ???

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1551
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #13 : 24 Март 2017, 16:18:50 »
Все верно. В 2 задаче, не взирая на то, что стороны треугольников не прилегают к углу С они все равно подобны) и искомый отрезок равен 2. Сошлемся на вашу проницательность которая позволяет решать правильно, даже с такой погрешностью)

3 задача интересная, я знаю совсем простое и средней сложности решение. 4ю я сам не решил, но решается смело и красиво)

Для первой задачи выложу еще одно решение)

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и хорды.
« Ответ #14 : 24 Март 2017, 16:53:14 »
Все верно. В 2 задаче, не взирая на то, что стороны треугольников не прилегают к углу С они все равно подобны) и искомый отрезок равен 2. Сошлемся на вашу проницательность которая позволяет решать правильно, даже с такой погрешностью)
К углу С не прилегают только AB и BD, а стороны, по которым я определил подобие, как раз прилегают.
AC/BC = BC/DC (8/4 = 4/2)
А искомым по условию является отрезок BD, и он равен 5, а не 2