Автор Тема: Пятёрки и вероятность  (Прочитано 1227 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Пятёрки и вероятность
« : 14 Август 2016, 15:19:14 »
Представим себе такой эксперимент с целыми числами. Случайным образом выбирается двузначное число, которое затем умножают на 10, а далее прибавляют к полученному результату пятёрку. Назовём эту сумму числом A. Затем к числу A приписывают пятёрку в начало и получают четырёхзначное число B. Если число B кратно числу A, то эксперимент считается удачным.

Данный эксперимент повторяют столько раз, сколько единиц в двузначном числе, выбранном случайно в первый раз. Если, например, в первый раз было выбрано число 52, то эксперимент повторяют ещё два раза. При этом не имеет значения, был ли первый эксперимент удачным: всё равно даются дополнительные попытки.

Какова вероятность того, что эксперимент повторят ровно пять раз, и ровно две из пяти дополнительных попыток будут удачными?

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Пятёрки и вероятность
« Ответ #1 : 15 Август 2016, 00:53:18 »
Вероятность того, что эксперимент повторят ровно пять раз означает вероятность выбора двузначного числа с цифрой 5 в разряде единиц. Их всего 9 штук: 15,25,35,45,55,65,75,85,95, следовательно Р1=9/90=0,1
Число В кратно числу А только при манипуляциях с числами 12 и 62. Следовательно вероятность в первой из пяти предоставленных дополнительных попытках выбрать одно их этих двух чисел равна Р2=2/90. В следующих четырех попытках вероятность выбора числа, отличного от числа в первой попытке, равна Р3,4,5,6 = 1/90.
Дальше при подсчете общей вероятности могу ошибаться:
Р=Р1*Р2*(Р3+Р4+Р5+Р6)=0,1*2/90*4/90~0,00009876543
(ↄ)

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Re: Пятёрки и вероятность
« Ответ #2 : 15 Август 2016, 01:03:21 »
Дальше при подсчете общей вероятности могу ошибаться:

Да, дальше Вы ошиблись. И чуть раньше тоже.

Каждая из пяти дополнительных попыток является отдельным экспериментом, то есть отдельным событием, а значит, и вероятности успехов каждого из этих экспериментов одинаковые.

Необходимо, чтобы две попытки из пяти были успешными. При этом не имеет значения, какими по счёту будут эти попытки (первая и третья, вторая и пятая и т.д.). По какой формуле следует вычислять вероятность?

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Пятёрки и вероятность
« Ответ #3 : 15 Август 2016, 01:08:50 »
Дальше при подсчете общей вероятности могу ошибаться:

Да, дальше Вы ошиблись. И чуть раньше тоже.

Каждая из пяти дополнительных попыток является отдельным экспериментом, то есть отдельным событием, а значит, и вероятности успехов каждого из этих экспериментов одинаковые.

Необходимо, чтобы две попытки из пяти были успешными. При этом не имеет значения, какими по счёту будут эти попытки (первая и третья, вторая и пятая и т.д.). По какой формуле следует вычислять вероятность?
Ёшкин кот, а я думала, что всенепременно нужно отобразить в успешных попытках ОБА успешных числа.))

Цитировать
По какой формуле следует вычислять вероятность?
Здесь я пас. :wall:
Я могу все вероятности (0,1 и 2/90) либо сложить, либо перемножить))))))

А количество попыток увеличивают вероятность выбора?
« Последнее редактирование: 15 Август 2016, 01:18:25 от снн »
(ↄ)

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Re: Пятёрки и вероятность
« Ответ #4 : 15 Август 2016, 01:21:35 »
Вы правильно нашли вероятность того, что отдельный эксперимент будет удачен: она действительно равна 2/90 или 1/45. Также абсолютно верно, что вероятность того, что в первый раз будет выбрано число, оканчивающееся на пятёрку, будет равна 0,1. С этой вероятностью эксперимент будет повторён пять раз.

Но 0,1 нужно умножить не на 1/45, а на другое число, полученное при помощи 1/45.

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Пятёрки и вероятность
« Ответ #5 : 15 Август 2016, 01:32:22 »
Ну, все! Держитесь за стул! ;D  Поправляйте, если где-то потеряю логику.
Количество попыток 5. Значит 1/45 умножаем на 5. Получаем 1/9.
0,1*1/9=1/90
(ↄ)

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Re: Пятёрки и вероятность
« Ответ #6 : 15 Август 2016, 01:38:05 »
Количество попыток 5. Значит 1/45 умножаем на 5. Получаем 1/9.

Нет, не так. Где вы учли, что ровно два эксперимента будут успешными?

Монету бросили пять раз. Какова вероятность, что "решка" выпала ровно два раза? По вашей логике выходит, что 5*1/2 = 2,5.

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Пятёрки и вероятность
« Ответ #7 : 15 Август 2016, 02:58:57 »
По формуле Бернулли для монет вероятность=5/16
Для эксперимента с числами =0,1*С52*(1/45)2*(44/45)3=443/(32*455)
(ↄ)

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Re: Пятёрки и вероятность
« Ответ #8 : 15 Август 2016, 08:22:15 »
Для эксперимента с числами =0,1*С52*(1/45)2*(44/45)3=443/(32*455)

Верно, только Вы немного ошиблись в вычислениях (не очень ясно, откуда взялось число 32). Однако, думаю, что можно засчитать Вам ответ.

Полностью ход решения можно изложить так:

Общее количество двузначных чисел (от 10 до 99 включительно) равно 90. Значит, всего число A может принимать 90 значений.

105   305   505   705   905
115   315   515   715   915
125   325   525   725   925
135   335   535   735   935
145   345   545   745   945
155   355   555   755   955
165   365   565   765   965
175   375   575   775   975
185   385   585   785   985
195   395   595   795   995
205   405   605   805   
215   415   615   815   
225   425   625   825   
235   435   635   835   
245   445   645   845   
255   455   655   855   
265   465   665   865   
275   475   675   875   
285   485   685   885   
295   495   695   895   

Число B, которое равно 5000 + A, также может принимать 90 значений. Чтобы 5000 + A было кратно A, необходимо, чтобы 5000 было кратно A. Можно обратить внимание, что из всех трёхзначных чисел, оканчивающихся на пятёрку, 5000 кратно только 125 и 625 (5000 / 125 = 40; 5000 / 625 = 9).

Значит, вероятность того, что отдельный эксперимент будет удачным, равна 2/90 или 1/45.

Эксперимент повторяют столько раз, сколько единиц в двузначном числе, которое мы случайным образом выбрали в первом эксперименте. Чтобы повторить его пять раз, необходимо, чтобы то самое двузначное число оканчивалось на пятёрку. Из 90 возможных двузначных чисел на пятёрку оканчиваются 9: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95. Значит, вероятность того, что в первый раз будет выбрано именно такое число, равна 9/90 или 0,1.

С вероятностью, равной 0,1, эксперимент будет повторён ровно пять раз. По формуле Бернулли вычислим, с какой вероятностью ровно два из пяти дополнительных экспериментов будут удачными:

P = Cknpkqn - k = C25*(1/45)2*(44/45)3 = 10*(1 / 2025)*( 85184 / 91125) ≈ 0,004616.

Таким образом, искомая вероятность составит:

0,1 * 0,004616 = 0,0004616 или примерно 0,046%.

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Пятёрки и вероятность
« Ответ #9 : 20 Август 2016, 02:51:17 »
Для эксперимента с числами =0,1*С52*(1/45)2*(44/45)3=443/(32*455)

Верно, только Вы немного ошиблись в вычислениях (не очень ясно, откуда взялось число 32).

Да уж!) "32" вклинилось из задачи с монетками. :seamew:
(ↄ)