Автор Тема: Два многогранника  (Прочитано 2349 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5418
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Два многогранника
« : 16 Апрель 2016, 14:01:07 »
Существуют ли два многогранных тела - одинаковых по форме и размеру , которые можно прислонить друг к другу таким образом, чтобы все вершины одного совместились с вершинами другого?
« Последнее редактирование: 16 Апрель 2016, 16:07:29 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Два многогранника
« Ответ #1 : 16 Апрель 2016, 15:24:35 »
Возможно имелось ввиду вот это:
Если многогранники не ограничивают никакого объема, скажем полые пирамиды, тогда их возможно вложить один в другой.

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Re: Два многогранника
« Ответ #2 : 16 Апрель 2016, 15:31:32 »
Если многогранники не ограничивают никакого объема, скажем полые пирамиды, тогда их возможно вложить один в другой.

Это не совсем подходит под определение многогранника как геометрического тела, ограниченного со всех сторон плоскими многоугольниками (гранями). Другими словами, многогранник обязательно должен иметь объём, а в Вашем случае он равен нулю.

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Два многогранника
« Ответ #3 : 16 Апрель 2016, 15:51:48 »
Посмотрел определение из вики, там написано, что поверхность составленная из многоугольников, тоже можно считать многогранником, не только ограниченное ей тело. Правда там есть еще уточнение, что каждая сторона многоугольника должна являться одновременно стороной другого многоугольника, а у меня это не выполняется, значит мой вариант не верный.

Хотя с другой стороны, я могу считать что полая треугольная пирамида состоит не из трех граней, а из шести, три внешние и три внутренние и просто две вершины в ней совместились

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5418
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Два многогранника
« Ответ #4 : 16 Апрель 2016, 16:11:18 »
Возможно имелось ввиду вот это:
Если многогранники не ограничивают никакого объема, скажем полые пирамиды, тогда их возможно вложить один в другой.

Предполагалось, что оба многогранника - это твердые тела с одинаковым объемом и формой.  Условие подкорректировал.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Два многогранника
« Ответ #5 : 16 Апрель 2016, 16:21:45 »
Если взять два воздушных одинаковых шарика с "отверстиями", представляющие одинаковые плоские многоугольники , то можно совместить их вершины, являющиеся одновременно вершинами комбинированного тела.
Но является ли такое комбинированное тело многогранником :unknown:
(ↄ)

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5418
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Два многогранника
« Ответ #6 : 16 Апрель 2016, 17:01:09 »
Если взять два воздушных одинаковых шарика с "отверстиями", представляющие одинаковые плоские многоугольники , то можно совместить их вершины, являющиеся одновременно вершинами комбинированного тела.
Но является ли такое комбинированное тело многогранником :unknown:

В этой задаче подразумеваются именно геометрические тела - не тонкостенные  оболочки нулевой толщины;  тела, подобные ограненным камням.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Два многогранника
« Ответ #7 : 16 Апрель 2016, 17:06:27 »
Если взять два воздушных одинаковых шарика с "отверстиями", представляющие одинаковые плоские многоугольники , то можно совместить их вершины, являющиеся одновременно вершинами комбинированного тела.
Но является ли такое комбинированное тело многогранником :unknown:

В этой задаче подразумеваются именно геометрические тела - не тонкостенные  оболочки нулевой толщины;  тела, подобные ограненным камням.
Я и имела в виду тело: шарообразное с одного конца, ограниченное ( усеченное), например, треугольником - с другого. Т.е. отсекаете от шарика сектор, а основание его преобразуете в многоугольник, деформируя при том шар. Но  я не уверена, что не возникает в шарообразной части новых вершин. Ведь известно, что у шара одна грань с одной вершиной. А у меня получается нечто иное.
« Последнее редактирование: 16 Апрель 2016, 17:11:59 от снн »
(ↄ)

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Два многогранника
« Ответ #8 : 16 Апрель 2016, 17:43:48 »
А если взять два одинаковых шаровых сектора? У них получается по две грани ( если, конечно, полушарие считать гранью), одному ребру ( окружность) и по бесконечному множеству вершин на этой окружности. Если их совместить плоскими гранями, то получим совмещение всех вершин)))))
« Последнее редактирование: 16 Апрель 2016, 17:45:19 от снн »
(ↄ)

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Два многогранника
« Ответ #9 : 16 Апрель 2016, 19:52:36 »
Если тела объемные, то попробую доказать, что сие невозможно
Если многогранник - объемное тело, значит каждая его грань одной стороной "смотрит" наружу, а другой внутрь.
Когда мы совмещаем вершины, то одновременно совмещаются и грани, находящиеся между этими вершинами.
Поскольку все грани лежат между какими-то вершинами, а все вершины совмещены с вершинами другого многогранника, значит каждая грань одного многогранника будет совмещена с какой-либо гранью другого.
Но совмещать грани можно только наружними сторонами, после чего они окажутся внутри суммарной фигуры.
Выходит совместив таким образом многогранники, у нас не останется ни одной грани, находящейся снаружи, а это очевидно невозможно.

Правда некоторые космологи считают, что вселенная циклична, то есть если долго лететь по прямой в одну сторону, то в конце концов вернешся в ту же точку, из которой стартовал, с другой стороны. В этом случае возможно представить себе два многогранника, соединенные всеми вершинами, если они вместе займут собой весь объем вселенной. ;D
« Последнее редактирование: 16 Апрель 2016, 19:58:10 от StrannikPiter »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5418
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Два многогранника
« Ответ #10 : 16 Апрель 2016, 23:46:14 »
Если тела объемные, то попробую доказать, что сие невозможно
Если многогранник - объемное тело, значит каждая его грань одной стороной "смотрит" наружу, а другой внутрь.
Когда мы совмещаем вершины, то одновременно совмещаются и грани, находящиеся между этими вершинами.
Поскольку все грани лежат между какими-то вершинами, а все вершины совмещены с вершинами другого многогранника, значит каждая грань одного многогранника будет совмещена с какой-либо гранью другого.
Но совмещать грани можно только наружними сторонами, после чего они окажутся внутри суммарной фигуры.
Выходит совместив таким образом многогранники, у нас не останется ни одной грани, находящейся снаружи, а это очевидно невозможно.

Правда некоторые космологи считают, что вселенная циклна, то есть если долго лететь по прямой в одну сторону, то в конце концов вернешся в ту же точку, из которой стартовал, с другой стороны. В этом случае возможно представить себе два многогранника, соединенные всеми вершинами, если они вместе займут собой весь объем вселенной. ;D

StrannikPite,  :paper: На самом деле, решение есть.  
В ваших рассуждениях есть вольный допуск:"....значит каждая грань одного многогранника будет совмещена с какой-либо гранью другого". Такое положение  было бы обязательно, если бы в условии четко говорилось, что совпадают (соприкасаются) сходственные вершины.  А в условии этого нет. Вершина одного многогранника необязательно должна совпасть со сходственной вершиной многогранника-дубликата. Тогда возможно допустить, что там, где у одного многогранника  из определенной  вершины выходит три ребра,  из совпавшей с ней вершины  многогранника-дубликата  выходит четыре ребра. И значит, есть  ребро, которое не участвует в соприкосновении - следовательно, есть две грани, которые не участвуют в соприкосновении.

Также нужно заметить, что речь не идет об обязательно  выпуклых многогранниках. А у невыпуклых многогранников для некоторых граней сложно однозначно сказать, куда они ориентированы - внутрь, или наружу.

 Фигуры могут соприкоснуться всеми вершинами, но не всеми ребрами и гранями.

Более конкретно по именно этой задаче можно сказать следующее:
Существует геометрическое тело в форме невыпуклого шестигранника, который можно так склеить  с его собственной копией, что у них наложатся друг на друга все вершины, но не все ребра и не все грани.
Проявив изобретательность, можно найти форму такого геометрического тела - и тогда решение покажется простым ( всего шесть граней - как у куба).
Скажу честно, я не знаю, является ли заданный в задаче пример единственным, или нет. Все мои попытки отыскать еще одну комбинацию не увенчались успехом.
« Последнее редактирование: 17 Апрель 2016, 00:01:01 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5418
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Два многогранника
« Ответ #11 : 16 Апрель 2016, 23:53:04 »
А если взять два одинаковых шаровых сектора? У них получается по две грани ( если, конечно, полушарие считать гранью), одному ребру ( окружность) и по бесконечному множеству вершин на этой окружности. Если их совместить плоскими гранями, то получим совмещение всех вершин)))))

снн, я заметил, что Ваша мысль постоянно склоняется к топологии, для которой не важна форма грани.  А эта задача из области строгой геометрии, где имеют значение форма и размеры - очень конкретна, и  очень евклидова. Многогранник в этой задаче - объемное тело, "ограниченное гранями"  в виде плоских многоугольников.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Два многогранника
« Ответ #12 : 17 Апрель 2016, 01:08:45 »
Также нужно заметить, что речь не идет об обязательно  выпуклых многогранниках. А у невыпуклых многогранников для некоторых граней сложно однозначно сказать, куда они ориентированы - внутрь, или наружу.
Это я понимаю, я имел ввиду, что у одной и той же грани две стороны. Одна ориентирована внутрь, в сторону материала, а другая наружу, в сторону воздуха.

Оффлайн снн

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1605
    • Просмотр профиля
Re: Два многогранника
« Ответ #13 : 17 Апрель 2016, 04:01:07 »
При совмещении двух таких фигур перпендикулярно друг другу получим правильный тетраэдр. Их внутренние вершины  совместятся в центр описанного вокруг него шара.
(ↄ)

Оффлайн StrannikPiter

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1720
    • Просмотр профиля
Re: Два многогранника
« Ответ #14 : 17 Апрель 2016, 21:01:29 »
По такому же принципу можно еще предложить более сложную фигуру.
Основание - равносторонний треугольник со стороной a, симметричный относительно оси z. Условно считаем, что все 3 вершины находятся на высоте z=0.
Сверху 3 вершины, расположенные друг от друга тоже на расстоянии a, тоже симметричные относительно оси z, но повернутые на 60 градусов относительно нижних. Они на высоте z=h
Одна вершина в центре, на оси z, на высоте z=h/2
« Последнее редактирование: 17 Апрель 2016, 21:03:00 от StrannikPiter »