Автор Тема: Добрый день. Помогите, пожалуйста, решить задачу  (Прочитано 2054 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн maska11

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 27
    • Просмотр профиля
 Единичный квадрат разрезан на прямоугольники. Каждый из них покрашен в жёлтый или синий цвет. В каждый прямоугольник вписано число. Если цвет прямоугольника синий, то число равно ширине прямоугольника деленной на высоту. Если жёлтый, число равно высоте прямоугольника деленной на ширину. Пусть х сумма всех чисел,  вписанных в прямоугольники. Количество синих и жёлтых прямоугольников равно. Какое наименьшее возможное х?

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Предположу, что минимальное значение x будет стремиться к единице, но не достигнет её.

Пусть квадрат разделён всего на два неравных прямоугольника: один - синий, другой - жёлтый. Высота жёлтого прямоугольника равна m; ширина равна 1. Значит, высота синего равна 1 - m, ширина равна 1.

Пусть m стремится к нулю. Тогда число, вписанное в жёлтый прямоугольник, тоже стремится к нулю, поскольку оно равно m/1. А число в синем прямоугольнике, равное 1/(1 - m), будет стремится к единице.

Таким образом, x = m + 1/(1 - m), а это выражение устремится к единице.

Оффлайн maska11

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 27
    • Просмотр профиля
Спасибо!!!

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Спасибо!!!

Пожалуйста.

Я решил проверить этот метод на конкретных числах. Если, например, высоты обоих прямоугольников равны 0,5 (то есть m = 0,5 и прямоугольники равны друг другу), то x = 1 / 0,5 + 0,5 / 1 = 2 + 0,5 = 2,5. Если высота жёлтого прямоугольника равна 0,4, а высота синего - 0,6, то x = 1 / 0,6 + 0,4 = 2,0(6). При m = 0,1 значение x уже понизится до 1,2(1). И так далее.

Ещё я прикрепил рисунок для наглядности.


Оффлайн maska11

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 27
    • Просмотр профиля
 Огромное спасибо!!!

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Доказательство того, что в ответе не может получиться число меньше единицы:

Рассмотрим произвольное разбиение единичного квадрата на прямоугольники. Обозначим ширину и высоту прямоугольников этого разбиения через an и bn, где n - номер прямоугольника. В зависимости от цвета прямоугольника на нем будет написано либо число an/bn, либо bn/an. Стороны всех прямоугольников параллельны сторонам исходного квадрата, поэтому и ширина, и высота каждого прямоугольника не превосходят единицы. Но из этого следует, что обе приведенные выше дроби не меньше произведения an*bn:

an/bn >= an*bn  и  bn/an >= an*bn

Поэтому, если мы заменим число на каждом прямоугольнике его площадью an*bn, то сумма всех чисел не увеличится. Но сумма площадей всех прямоугольников равна площади квадрата, т.е. единице. Поэтому исходная сумма всех чисел не могла быть меньше единицы.