Автор Тема: Простенькие про числа  (Прочитано 2118 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн DronNT

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1818
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Простенькие про числа
« : 15 Сентябрь 2015, 00:46:10 »
1. Какое наибольшее натуральное число, обладающее таким свойством, что ни оно само, ни любое из чисел, полученное из него вычёркиванием любого количества цифр (но не всех), не делится на 3?
2. Чему равна сумма tg(1) + tg(5) + tg(9) + ... + tg(177) ? (в скобках указаны градусы)
3. Если сумма двух целых чисел - число, оканчивающееся нулем, то что можно сказать про квадраты этих чисел?

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Re: Простенькие про числа
« Ответ #1 : 15 Сентябрь 2015, 01:15:40 »
Квадраты таких чисел всегда будут оканчиваться на одинаковую цифру.

Например, 4 + 6 = 10. 42 = 16, 62 = 36. Или пример посложнее: 12 + 18 = 30. 122 = 144, 182 = 324. И так далее.

Оффлайн Леонид

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 6811
    • Просмотр профиля
    • Домашняя страница
Re: Простенькие про числа
« Ответ #2 : 15 Сентябрь 2015, 01:27:29 »
DronNT вернулся! :)

Оффлайн DronNT

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1818
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Простенькие про числа
« Ответ #3 : 15 Сентябрь 2015, 01:49:39 »
Квадраты таких чисел всегда будут оканчиваться на одинаковую цифру.

Например, 4 + 6 = 10. 42 = 16, 62 = 36. Или пример посложнее: 12 + 18 = 30. 122 = 144, 182 = 324. И так далее.
все верно
первая задачка, несмотря на длинную формулировку, очень проста, достаточно совсем чуточку подумать.

Оффлайн DronNT

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1818
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Простенькие про числа
« Ответ #4 : 15 Сентябрь 2015, 01:51:43 »

Оффлайн Леонид

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 6811
    • Просмотр профиля
    • Домашняя страница
Re: Простенькие про числа
« Ответ #5 : 15 Сентябрь 2015, 03:45:57 »
Вроде 8520.

Оффлайн Artem of 93

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1530
    • Просмотр профиля
    • Mozgovarka
Re: Простенькие про числа
« Ответ #6 : 15 Сентябрь 2015, 08:54:29 »
Вроде 8520.

Не подойдёт - если вычеркнуть ноль, получим число 852. А оно кратно трём, о чём говорит признак делимости на три - сумма цифр равна 15.

Оффлайн Леонид

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 6811
    • Просмотр профиля
    • Домашняя страница
Re: Простенькие про числа
« Ответ #7 : 15 Сентябрь 2015, 09:38:43 »
Ой, это я циферки попарно проверил, а все вместе забыл :-[

Тогда больше 880 не придумывается, пойду посплю.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Простенькие про числа
« Ответ #8 : 15 Сентябрь 2015, 20:15:00 »
Ой, это я циферки попарно проверил, а все вместе забыл :-[

Тогда больше 880 не придумывается, пойду посплю.

Вроде как, в условии нет ограничения по повторяющимся цифрам. Значит, это  может быть число с восьмеркой в начале, а дальше - сколько угодно нулей.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Простенькие про числа
« Ответ #9 : 15 Сентябрь 2015, 20:16:29 »
2 Красивый ответ получается (), но как красиво доказать - не знаю :unknown:
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн DronNT

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1818
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Простенькие про числа
« Ответ #10 : 15 Сентябрь 2015, 21:41:07 »
Ой, это я циферки попарно проверил, а все вместе забыл :-[

Тогда больше 880 не придумывается, пойду посплю.

Вроде как, в условии нет ограничения по повторяющимся цифрам. Значит, это  может быть число с восьмеркой в начале, а дальше - сколько угодно нулей.
Все правильно, просто подразумевалось, что 0 также делится на 3, тогда ответ будет 88
Видимо условие надо было получше сформулировать  :)

Оффлайн Леонид

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 6811
    • Просмотр профиля
    • Домашняя страница
Re: Простенькие про числа
« Ответ #11 : 16 Сентябрь 2015, 00:52:52 »
Ой, что-то я туплю. Пойду посплю ещё.

Оффлайн fortpost

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 586
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Простенькие про числа
« Ответ #12 : 17 Январь 2018, 02:40:24 »
2 Красивый ответ получается (), но как красиво доказать - не знаю :unknown:
Воспользуемся известным тождеством   tg α + tg (α + 60°) + tg (α – 60°) = 3 tg 3α   
(его можно проверить, выразив обе части через tg α).
Из него следует, что  tg 1° + tg 61° + tg 121° = tg 1° + tg(1° + 60°) + tg(1° – 60°) = 3 tg 3°, 
tg 5° + tg 65° + tg 125° = 3 tg 15°,  и т. д., поэтому вся сумма равна  3(tg 3° + tg 15° + ... + tg 171°).

Аналогично разбив полученную сумму на "тройки", получим, что она равна
9(tg 9° + tg 45° + tg 81° + tg 117° + tg 153°) = 9 + 9(tg 9° + сtg 9° – сtg 27° – tg 27°),
после чего остается найти сумму  tg 9° + сtg 9° – сtg 27° – tg 27° =
        2             2         2(sin 54° -  sin 18°)    4sin 18° cos 36°
= --------- - --------- = ------------------------- = --------------------- = 4
   sin 18°    sin 54°        sin 18° sin 54°         sin 18° sin 54°
« Последнее редактирование: 17 Январь 2018, 02:43:57 от fortpost »

Оффлайн South Paw Mary

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1339
    • Просмотр профиля
Re: Простенькие про числа
« Ответ #13 : 17 Январь 2018, 17:05:50 »
Пробуем.

(10-x)^2=10^2-2*10*x+x^2. (10^2-2*10*x)=10*(10-2*x) явно делится на 10, а x^2=x^2.

Всё сходится!