Автор Тема: Задача по геометрии  (Прочитано 1795 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Roman

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Задача по геометрии
« : 23 Декабрь 2013, 13:19:57 »
В треугольнике ABC AL - биссектриса. Описанные окружности треугольников ABL и ACL пересекают AC и AB в точках K и M соответственно. Докажите, что BM = CK.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5493
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача по геометрии
« Ответ #1 : 23 Декабрь 2013, 15:33:49 »

1) Угол LBM равен 180гр минус угол LKA и значит равен  углу LKC. Аналогичнo доказываем, что угол LMB=LCK. Значит треугольники  LBM и LKC подобны.
2)Углы LBK и KAL равны как опирающиеся на одну хорду. Также углы LAB и LKB равны. Углы LAB и KAL равны по условию, значит угол LBK равен углу LKB, и треугольник BKL - равнобедренный.
3) Треугольники LBM и LKC не только подобны, но и  равны.
« Последнее редактирование: 24 Декабрь 2013, 02:38:17 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Roman

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Re: Задача по геометрии
« Ответ #2 : 24 Декабрь 2013, 14:29:25 »
 hripunov, спасибо большое! Тут же вписанные четырехугольники, как же я сразу их не заметил :))

Оффлайн ira-sm

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 320
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача по геометрии
« Ответ #3 : 26 Декабрь 2013, 18:49:54 »
Здесь можно использовать теорему о секущих.
BL*BC=BM*AB =>   BC=BM*AB/BL
CL*BC=CK*AC   =>  BC=CK*AC/CL
Из этого:
BM*AB/BL=CK*AC/CL
Используем теорему о том, что биссектриса делит сторону треугольника на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам, то есть AB/BL=AC/CL.
Значит, BM=CK. ЧТД
 :)