Автор Тема: Пифагоровы штаны  (Прочитано 3243 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5433
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Пифагоровы штаны
« : 23 Ноябрь 2013, 14:24:55 »


На сторонах прямоугольного треугольника АВС (угол В - прямой) построены квадраты, лежащие снаружи треугольника. То есть , получилась фигура, которую шуточно называют "пифагоровы штаны". Больший квадрат ACDE, меньшие квадраты - ABHI и  BCFG. Из середины K отрезка  ID проведена прямая параллельно АВ. Из середины L отрезка IF проведена прямая параллельно СD.
Данные прямые, проведенные из К и L, пересекаются в точке O.
Докажите, что точка O  лежит на середине AC .
« Последнее редактирование: 23 Ноябрь 2013, 17:55:03 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн nurans

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пифагоровы штаны
« Ответ #1 : 17 Январь 2014, 16:00:49 »
Док-во:
рисуем прямоугольный треугольник DCM (угол М прямой) причем CM || AB =} ∆ DCM = ∆ АВC (гипотенузы равны, <ACB = <MCD) из этого MD=AB=AI =} AIMD - параллелограмма (противоположенные стороны параллельны и равны), а в параллелограмме диагонали пересекаются в середине, а отсюда К середина АМ. прямая ОК пересекает АС посередине,т.к. CM||ОК.
Дальше
Прямая АЕ пересекает IF в точке Р, Прямая CD пересекает IF в точке N и прямую FG в точке R. ∆ CFR = ∆ ABC (малые катеты равны, <ACB = <RCF) =} RF=AB=AI.
∆ NGF = ∆ AIP (RF=AI &  <I = <F & <N = <P) =} NF = IP =} PL = LN , а отсюда выходит, прямая OL пересекает АС в середине (т.к. OL || CN || AP)
 Вывод: и OL и OK пересекают АС в середине, и выходит что О и есть середина отрезка АС
« Последнее редактирование: 17 Январь 2014, 17:59:03 от nurans »

Оффлайн CD_Eater

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1906
    • Просмотр профиля
Re: Пифагоровы штаны
« Ответ #2 : 17 Январь 2014, 19:20:13 »
Пусть O - середина AC, докажем что KO и LO параллельны чему требуется.
На IF как на диагонали построим квадрат MINF (левый верхний угол M, правый нижний N)
LO - средняя линия в треугольнике MNB, поэтому она параллельна основанию NB, а значит, и CD
Пусть DR - высота, опущенная на прямую BC
CR=BH, поэтому проекции точек O и K на прямую BC совпадут, значит, KO параллельна AB

Оффлайн Джабраил

  • Касумбеков Д.К.
  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 50
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пифагоровы штаны
« Ответ #3 : 28 Январь 2014, 21:58:43 »



Докажите, что точка O  лежит на середине AC .
Самый простой способ - разделить отрезок AC пополам с помощью циркуля и линейки и посмотреть, находится ли точка O на середине.
« Последнее редактирование: 28 Январь 2014, 22:04:30 от Джабраил »

Оффлайн Slaff

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 15
    • Просмотр профиля
Re: Пифагоровы штаны
« Ответ #4 : 30 Январь 2014, 23:52:32 »
Самый простой способ - разделить отрезок AC пополам с помощью циркуля и линейки и посмотреть, находится ли точка O на середине.
Во-первых, это не доказательство в математическом понимании, во-вторых - зачем циркуль?

Оффлайн Джабраил

  • Касумбеков Д.К.
  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 50
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пифагоровы штаны
« Ответ #5 : 31 Январь 2014, 01:06:36 »

Во-первых, это не доказательство в математическом понимании, во-вторых - зачем циркуль?
 Поэтому я написал,что это - самый простой способ....
« Последнее редактирование: 31 Январь 2014, 01:27:55 от Джабраил »

Оффлайн Джабраил

  • Касумбеков Д.К.
  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 50
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пифагоровы штаны
« Ответ #6 : 04 Февраль 2014, 16:10:56 »
В журнале "Наука и Жизнь"  за 1971 год №10 стр.101-103 есть статья "Вариации на тему Пифагора" с такими рисунками.
« Последнее редактирование: 04 Февраль 2014, 16:15:14 от Джабраил »

Оффлайн Артем

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пифагоровы штаны
« Ответ #7 : 17 Август 2014, 19:01:24 »
Возможно такое доказательство: Из прямого угла В провести медиану к гипотенузе АС. Так как гипотенуза из прямого угла треугольника делит его гипотенузу на две равные стороны, то, в таком случае, если гипотенуза пересечет точку О, то все верно!!!