Автор Тема: Помощь в вычислении интеграла  (Прочитано 1903 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн feltomis

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 38
    • Просмотр профиля
Помощь в вычислении интеграла
« : 19 Сентябрь 2013, 01:24:16 »
Добрый вечер. Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл.
От 0 до +бесконечности, подинтегральная функция x^2*ln(1-e^(-x)). Не знаю с чего подступиться, все перепробовал. Ответ: -pi^4 / 45
« Последнее редактирование: 19 Сентябрь 2013, 01:28:11 от feltomis »

Оффлайн artem

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 406
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Помощь в вычислении интеграла
« Ответ #1 : 19 Сентябрь 2013, 14:34:48 »
http://math.stackexchange.com/questions/60478/evaluating-the-integral-int-0-infty-ln-left1-e-x-right-mathrm
Тут лихо решается похожий интеграл. Нужно разложить логарифм в ряд Маклорена. В результате долгого и муторного интегрирования слагаемых получаем выражение: -2-(1/2)*(1/4)-(1/3)*(2/27)-(1/4)*(1/32)-(1/5)*(2/125)-(1/6)*(1/108)- ... -2/(n^4). Таким образом мы имеем обобщенный гармонический ряд 4-го порядка, значение, которого равно дзета-функции Римана для 4-х, а именно (-2)*pi^4/90=-pi^4/45
« Последнее редактирование: 19 Сентябрь 2013, 15:01:51 от artem »

Оффлайн feltomis

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 38
    • Просмотр профиля
Re: Помощь в вычислении интеграла
« Ответ #2 : 19 Сентябрь 2013, 22:28:21 »
Как можно разложить в ряд маклорена? При х=0 вторая производная равна минус бесконечности, 2*ln(1-exp(-x))
« Последнее редактирование: 19 Сентябрь 2013, 22:58:27 от feltomis »

Оффлайн feltomis

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 38
    • Просмотр профиля
Re: Помощь в вычислении интеграла
« Ответ #3 : 19 Сентябрь 2013, 23:52:49 »
всё, понял, решил :)

Благодарю.

Оффлайн мама ира

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 218
  • Холодный огонь разума
    • Просмотр профиля
Re: Помощь в вычислении интеграла
« Ответ #4 : 19 Сентябрь 2013, 23:54:58 »
Не доказывала допустимость, но можно попробовать так: ln(1-e-x) = -e-x -1/2 e-2x -1/3 e-3x -... / Умножаем на x2 и интегрируем почленно. Получаем сумму (с минусом) интегралов от (e-kx*x2)/k, что заменой kx=t сводится к гамма функции, а именно, слагаемое приобретает вид Г(3)/k4 = 2/k4. осталось найти сумму обратных к четвертым степеням.

Правда, надо обосновать почленное интегрирование ряда.
Ты, пока не взят землею, все дела сверши земные. Дан нам, смертным, после смерти для безделья срок большой. (Хафиз)

Оффлайн artem

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 406
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Помощь в вычислении интеграла
« Ответ #5 : 20 Сентябрь 2013, 00:31:28 »
Правда, надо обосновать почленное интегрирование ряда.
А зачем обосновывать формулу интеграла суммы?

Оффлайн feltomis

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 38
    • Просмотр профиля
Re: Помощь в вычислении интеграла
« Ответ #6 : 20 Сентябрь 2013, 01:41:00 »
Обосновать надо равномерную сходимость, чтобы можно было поменять местами сумму и интеграл. Но там всё нормально.

Оффлайн мама ира

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 218
  • Холодный огонь разума
    • Просмотр профиля
Re: Помощь в вычислении интеграла
« Ответ #7 : 20 Сентябрь 2013, 03:32:49 »
feltomis, а вы по-другому решали? Сумму обратных четвертых степеней я не знаю, только обратных квадратов. Но, наверное, ее можно вывести.
Ты, пока не взят землею, все дела сверши земные. Дан нам, смертным, после смерти для безделья срок большой. (Хафиз)

Оффлайн feltomis

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 38
    • Просмотр профиля
Re: Помощь в вычислении интеграла
« Ответ #8 : 20 Сентябрь 2013, 03:58:07 »
Решал так же как и вы, разложил ln(1-x) в ряд маклорена, подставил вместо х  e^(-x), домножил, проверил сходимость, почленно проинтегрировал, получился числовой ряд. Не знаю как вычисляется его сумма, но там что-то сложное наверняка, её я просто отыскал.