Автор Тема: Интеграл Лебега vs интеграл Римана  (Прочитано 4924 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн feltomis

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 38
    • Просмотр профиля
Мера Лебега способна измерять бесконечные множества, чего не может делать Жорданова мера. Соответственно одно из преимуществ интеграла Лебега это возможность вычислять интегралы на бесконечных множествах, пусть бы значение было бы из R*. И вроде бы как интеграл Римана не должен был бы быть способен вычислять на бесконечных множествах, однако чем отличается тогда интеграл Лебега с непрерывной функции к примеру от 0 до плюс бесконечности от того же обобщённого(несобственного) интеграла Римана? И там и там работаем с бесконечностью. Соответственно пример функции, которую не совсем пойму почему нельзя вычислить с помощью интеграла Римана, это Гауссов интеграл. Он непрерывен на R.
Решая таким образом: (INT e^ax^2 dx)^2=INT e^(ax^2+ay^2)dxdy и дальше заменой переменных приходим к обычному обобщённому интегралу Римана. Или всё дело в том, что оба предела были "неопределёнными", бесконечностями? Но ведь я таком случае можно было бы записать этот интеграл как 2*INT e^ax^2 dx по пределам 0 до бесконечности и тогда получаем обобщённый интеграл Римана. Тогда это выходит только формальность и возможностей интеграла Лебега в измерении бесконечных множеств я не понимаю(за исключнием случая, когда интеграл равен бесконечности)

И ещё вопрос: почему первоначальным основным множеством при создании интеграла Лебега в теории множеств принят интервал < , )? Понимаю, что с помощью именно такого интервала можно удобно записать полукольцо как первый шаг в создании понятия меры множеств, но только ли из этого?
« Последнее редактирование: 31 Август 2013, 20:04:22 от feltomis »

Оффлайн мама ира

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 218
  • Холодный огонь разума
    • Просмотр профиля
Re: Интеграл Лебега vs интеграл Римана
« Ответ #1 : 31 Август 2013, 23:07:27 »
На конечном промежутке функция, интегрируемая по Риману, интегрируема и по Лебегу. Новизна интеграла Лебега состоит в том, что интегрируемыми оказываются более "плохие" функции.

Правда, по Лебегу интегрируемость всегда абсолютная, а не собственный Римановский интеграл может сходиться и условно.
Ты, пока не взят землею, все дела сверши земные. Дан нам, смертным, после смерти для безделья срок большой. (Хафиз)

Оффлайн feltomis

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 38
    • Просмотр профиля
Re: Интеграл Лебега vs интеграл Римана
« Ответ #2 : 01 Сентябрь 2013, 00:59:45 »
Я-то знаю плюсы интеграла Лебега, меня интересует именно отличие интеграла из непрерывной функции на бесконечном множестве, какой я в пример привел интеграл гаусса.

Что значит "интегрируемость всегда абсолютная, а не собственный Римановский интеграл может сходиться и условно"? Вы имеете в виду случай, к примеру, с функцией sinx/x которая интегрируема по Риману, но по Лебегу - нет?

Оффлайн мама ира

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 218
  • Холодный огонь разума
    • Просмотр профиля
Re: Интеграл Лебега vs интеграл Римана
« Ответ #3 : 01 Сентябрь 2013, 01:40:22 »
Лучше обратитесь на специализированный форум.

Вопрос не очень понятен. При чем тут измерение множеств?

По поводу абсолютной сходимости - да. Само определение интеграла Лебега дается (по сути) через двойные ряды, так что без абсолютной сходимости результат будет не определен.

На непрерывных функциях, насколько я понимаю, два интеграла не различаются.
Ты, пока не взят землею, все дела сверши земные. Дан нам, смертным, после смерти для безделья срок большой. (Хафиз)

Оффлайн feltomis

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 38
    • Просмотр профиля
Re: Интеграл Лебега vs интеграл Римана
« Ответ #4 : 01 Сентябрь 2013, 01:55:33 »
"На непрерывных функциях, насколько я понимаю, два интеграла не различаются."

Это на конечных интервалах. Нам был представлен в учебнике как раз примером вычисления на бесконечном интервале(множестве) гауссов интеграл и акцентировалось, что это интеграл Лебега и как бы презентовалась его способность "измерять" бесконечные множества.

R - это ведь тоже множество. Мера Лебега позволяет измерить его(хоть результат - бесконечность), в то время как мера Жордана - нет. Выгода - вычислять интегралы функции на целом множестве R, пример чего и есть гауссов интеграл. Именно отличие от несобственного интеграла римана я и хочу узнать.

Оффлайн мама ира

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 218
  • Холодный огонь разума
    • Просмотр профиля
Re: Интеграл Лебега vs интеграл Римана
« Ответ #5 : 01 Сентябрь 2013, 05:22:54 »
Я не специалист, но думаю, что Лебег в данном случае хорош тем, что не требует понятия несобственного интеграла.
что касается измерения с помощью интеграла - здесь имеется в виду не длина, а другая мера. Например, вероятность, которая вполне может быть конечной даже для всей прямой.
Ты, пока не взят землею, все дела сверши земные. Дан нам, смертным, после смерти для безделья срок большой. (Хафиз)