Автор Тема: Решить методом построения  (Прочитано 3428 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн кати

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Решить методом построения
« : 06 Март 2013, 22:52:47 »
Дана окружность и две точки, лежащие вне окружности. Построить окружность, проходящую через эти точки и отсекающую от первой окружности хорду заданной длины.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5433
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Решить методом построения
« Ответ #1 : 07 Март 2013, 21:05:33 »
Есть вот такой способ:
1)Пусть даны окружность с центром в точке О радиуса r1, не лежащие на ней точки А и В, и задана длина требуемой хорды - отрезок а, величина  а меньше 2r1.
2) Построим окружность произвольного радиуса, проходящую через точки А и В - такую, чтобы она пересекала окружность r1 в двух точках, проведем через эти точки хорду и продлим ее, чтобы она пересеклась с  продолжением отрезка АВ. Точка пересечения - точка С.
3) Строим на окружности r  хорду длины а - в произвольном месте. С центром в точке О строим окружность r2, касающуюся этой хорды.
4) Из точки С проводим касательную к окружности r2. Точки, в которых эта касательная пересечет окружность r1 ,будут концами искомой хорды заданной длины а. Теперь можно  построить искомую окружность по двум ее  хордам....

« Последнее редактирование: 08 Март 2013, 04:32:13 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн CD_Eater

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1906
    • Просмотр профиля
Re: Решить методом построения
« Ответ #2 : 08 Март 2013, 17:55:10 »
А как до этого догадаться?
Через степень точки относительно окружности?

Оффлайн ira-sm

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 320
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Решить методом построения
« Ответ #3 : 08 Март 2013, 21:02:29 »
Тут главное доказать, что все прямые, содрежащие хорды данной окружности, полученные соединением точек пересечения этой окружности и произвольной окружности, проходящей через A и B, (эти прямые) пересекаются в одной точке. Т.е. точке C.
Чувствую, что это так. Но доказать пока не могу.

А ведь могут и не пересекаться. Например, если центр окружности находится на серединном перпендикуляре к  отрезоку AB.
Тогда все хорды будут параллельны.
« Последнее редактирование: 08 Март 2013, 21:09:37 от ira-sm »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5433
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Решить методом построения
« Ответ #4 : 09 Март 2013, 16:26:48 »
Действительно, какую бы окружность мы не провели через хорду АВ - если она пересечет заданную окружность r1 в двух точках, -  то продолжение хорды, проведенной через эти точки, пройдет через точку С.

Доказать это можно через свойства радикальной прямой:

- Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, содержащая их общую хорду

- Если прямые, содержащие хорды AB и ED первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник ABED  - вписанный.


Представим, что на нашем четвертом рисунке два нижних луча , проходящих через С  зафиксированы, а верхний луч (тот, что идет почти влево) мы проводим через точку С  под разными углами , чтобы эти лучи пересекали окружность r1 - в точках Е и D. Четырехугольник АВЕD всегда будет вписан, а окружность, в которую он будет вписан, всегда будет содержать хорду АВ.
« Последнее редактирование: 09 Март 2013, 16:38:04 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5433
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Решить методом построения
« Ответ #5 : 15 Март 2013, 01:37:26 »
Цитировать
author=ira-sm link=topic=6469.msg59703#msg59703 date=1362751349]
Тут главное доказать, что все прямые, содрежащие хорды данной окружности, полученные соединением точек пересечения этой окружности и произвольной окружности, проходящей через A и B, (эти прямые) пересекаются в одной точке. Т.е. точке C.
Чувствую, что это так. Но доказать пока не могу.

А ведь могут и не пересекаться. Например, если центр окружности находится на серединном перпендикуляре к  отрезоку AB.
Тогда все хорды будут параллельны
.
Конкретно такой случай решить легко без всяких выкрутасов. А вот что делать, если центр находится не на срединном перпендикуляре, а почти на срединном перпендикуляре  :unknown:. Если точка пересечения хорд будет находиться очень-очень далеко - тогда приведенный мной способ окажется нежизнеспособен, т.к практически его нельзя  будет исполнить . А другой способ что-то не придумывается.....
« Последнее редактирование: 15 Март 2013, 01:44:55 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн CD_Eater

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1906
    • Просмотр профиля
Re: Решить методом построения
« Ответ #6 : 15 Март 2013, 05:54:23 »
геометрические задачи на построение предполагают, что линейка имеет почти бесконечную длину, а циркулем можно зафиксировать почти бесконечный радиус :)

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5433
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Решить методом построения
« Ответ #7 : 15 Март 2013, 22:25:06 »
геометрические задачи на построение предполагают, что линейка имеет почти бесконечную длину, а циркулем можно зафиксировать почти бесконечный радиус :)
Я вот только что вспомнил, что в подобной задаче можно  в сильно удаленную точку  послать нужный луч, отсекающий заданную хорду, действуя по схеме как на рисунке:
« Последнее редактирование: 15 Март 2013, 22:57:12 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...