Автор Тема: Выпуклый многоугольник  (Прочитано 2494 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн s.isaev

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Выпуклый многоугольник
« : 17 Февраль 2013, 21:23:59 »
Любая проекция выпуклого многоугольника имеет диаметр не меньше единицы. Докажите, что внутри него можно расположить круг радиуса 1/3.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5436
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Выпуклый многоугольник
« Ответ #1 : 23 Февраль 2013, 03:51:25 »

Представим, что мы поместили  внутрь многоугольника, соответствующего условию, круг максимального радиуса. Такой круг коснется своей окружностью как минимум трех сторон многоугольника.
Может случится, что две из этих трех сторон параллельны,тогда радиус окружности точно не меньше 1/2.

Если же три эти  стороны не параллельны, то мысленно доведем их до пересечения и получим треугольник. Если диаметр любой проекции изначального многоугольника не меньше 1, то любая высота получившегося треугольника не меньше 1. Площадь треугольника равна половине произведения любой из трех его сторон на соответствующую высоту, (все высоты не меньше  единицы). Значит, площадь S не меньше р/3 (р - полупериметр)
Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру, значит S = pR.
А если S = pR , и S не меньше р/3, то R не меньше 1/3

Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн s.isaev

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Re: Выпуклый многоугольник
« Ответ #2 : 23 Февраль 2013, 14:03:20 »
спасибо!