Автор Тема: Олимпиадная задача по геометрии 7 класс  (Прочитано 5299 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Forman

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Не смог решить на олимпиаде, но хочу все-таки разобраться :) , может поможете?

Точки P и Q расположены внутри равностороннего треугольника ABC так, что четырёхугольник APQC — выпуклый, AP=PQ=QC и угол PBQ = 30 градусов. Докажите, что AQ=BP.
« Последнее редактирование: 15 Февраль 2013, 03:51:27 от Forman »

Оффлайн CD_Eater

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1906
    • Просмотр профиля
Re: Олимпиадная задача по геометрии 7 класс
« Ответ #1 : 15 Февраль 2013, 05:39:54 »
пусть R - центр описанной окружности BPQ
треугольник PQR - равнобедренный с углом 60, поэтому равносторонний
получается красивая картинка: один равносторонний треугольник внутри другого PQ=QR=RP=AP=BR=CQ
тут, наверное, по сценарию к решающему должна придти красивая идея доказательства, что центры треугольников совпадают, но ко мне она не пришла...
пришлось идти долгой дорогой: если повозиться с равенствами про всякие углы, то можно доказать, что разности углов равны ABP-PBR=CAQ-QAP, поэтому отразим R относительно BP и P относительно AQ, получим равные треугольники ABR'=CAP', потом R'PA=P'QC и BPA=AQC.

если кому та идея придёт - хотелось бы услышать.
там что-то с симметричностью замутить надо...

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Олимпиадная задача по геометрии 7 класс
« Ответ #2 : 16 Февраль 2013, 19:43:36 »
Некоторое подобие доказательства получается из построения схемы к условию:
Пусть  PQ =r, тогда очевидно , что А и С лежат на окружностях c центрами P и Q и  с  радиусом  r .
Точка В /исходя из градусной меры угла PBQ/ также лежит на некоторой окружности радиуса r с центром в точке О, причем треугольник POQ - равносторонний, со стороной r.   Возьмем точку В произвольным образом на  окружности радиуса r с центром в точке О . Если построить на сторонах OQ и ОР равностороннего треугольника POQ, как на основаниях, треугольники OQA и РОС, равные треугольнику QPB, то вершины АВС образуют равносторонний треугольник, и при этом  будет верно равенство AP=PQ=QC, Требуемое же по условию равенство AQ=BP следует автоматически из равенства треугольников.


« Последнее редактирование: 16 Февраль 2013, 22:32:48 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн CD_Eater

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1906
    • Просмотр профиля
Re: Олимпиадная задача по геометрии 7 класс
« Ответ #3 : 16 Февраль 2013, 23:56:13 »
о!  хороший чертёж!  

(голос за кадром: спонсор геометрических чертежей в этой теме - хрипунов, телефон ...., с чертежами от хрипунова вы всегда попадёте в точку!)

как можно проще всего объяснить, почему на рис. 3 точки А и С нельзя подвинуть, оставляя их на своих окружностях, чтобы треугольник АВС остался равносторонним?
думаю, для этого должно существовать красивое простое объяснение

Оффлайн CD_Eater

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1906
    • Просмотр профиля
Re: Олимпиадная задача по геометрии 7 класс
« Ответ #4 : 17 Февраль 2013, 00:08:31 »
дошлоблин
АВС - равносторонний, поэтому точка А при повороте на 60 градусов вокруг точки В обязана попасть в точку С
повернём вокруг точки В всю окружность, на которой лежит А, полученная окружность пересечётся в окружностью, где лежит С, в 2 точках, одна из них - точка С, другая - где-то недалеко от точки О, но тот треугольник А'ВС' маленький, и отрезок PQ внутрь него не попадает, поэтому решение только одно - которое нарисовано

Оффлайн Forman

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Re: Олимпиадная задача по геометрии 7 класс
« Ответ #5 : 17 Февраль 2013, 02:19:35 »
Большое спасибо!!! Красивые решения!