Автор Тема: Ряд Тэйлора  (Прочитано 2308 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Ряд Тэйлора
« : 04 Февраль 2013, 03:20:22 »
Каким образом можно узнать, что определённая функция является аналитической и как определить эту окрестность, на которой можно было бы функцию разложить в ряд тэйлора? Достаточно ли того, что функция имеет производную н+1-ого порядка в какой-либо точке, чтобы разложить её в ряд с н-членами?
« Последнее редактирование: 04 Февраль 2013, 03:22:22 от Dukazkraft »

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Ряд Тэйлора
« Ответ #1 : 04 Февраль 2013, 16:29:55 »
Радус сходимости степенного ряда.

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Ряд Тэйлора
« Ответ #2 : 04 Февраль 2013, 20:18:38 »
Не совсем то, о чём спрашивал. Когда нам дают задание, говрят, например, "Разложите функцию в ряд Тэйлора в точке 1", где 1 - аналитическая точка. Дальше построение ряда Тэйлора и нахождение радиуса сходимости для данного степенного ряда, то есть того интервала, где ряд сходится к данной функции. Но меня интересует случай, если я не имею в задаче заданной аналитической точки и вообще имею вполне произвольную функцию, к примеру, в физической задаче, и к решению её я хочу применить ряд Тэйлора. Меня интересуют условия, при которых допустимо это применение и в каких рамках оно лежит.

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Ряд Тэйлора
« Ответ #3 : 04 Февраль 2013, 21:53:00 »
Есть теоремы, утверждающие аналитичность решения для определенного вида задач. Например, известно, что если выполнен ряд условий для коэффициентов диф. уравнения и его начальных условий, то решение будет аналитической функцией. Кроме того, вы можете доказать аналитичность решения, так сказать, задним числом. Предполагаете, что решение аналитично, ищете его с помощью разложения в ряд Тейлора и находите. Это и означает, что решение было аналитической функцией (если известно, что при заданных условиях решение единственно). В целом математические формулировки обычных физических задач обычно таковы, что их решения являются очень хорошими функциями, так что условия разных теорем математики, касающихся возможности проведения различных операций, выполнены. Например, как правило можно менять местами пределы и интегралы, дифференцировать под знаком интеграла и т.п. Хотя бывают и исключения. Например, при вычислении электрического поля равномерно заряженной плоскости получается функция неинтегрируемая по Лебегу, что сказывается и на физике этой задачи (поле плоского конденсатора).

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Ряд Тэйлора
« Ответ #4 : 04 Февраль 2013, 23:16:03 »
Понятно, спасибо.

Готовлюсь к экзамену, решаю однотипные задания по рядам. Один из рядов не получается привести к нужному ответу, десяток раз уже перерешал, не пойму в чём проблема. Решите, пожалуйста, если есть время:
SUMM от 1 до бесконечности (-1)^n/(4n^2-1). Ответ должен быть 1/2-π/4. У меня выходит 1-π/8-ln 2/4. Решаю типичным способом - созданиe ряда функций, производная, умножение на x и т. д.
« Последнее редактирование: 04 Февраль 2013, 23:31:56 от Dukazkraft »

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Ряд Тэйлора
« Ответ #5 : 05 Февраль 2013, 17:06:06 »

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Ряд Тэйлора
« Ответ #6 : 05 Февраль 2013, 20:15:57 »
А разве не проще завести переменную в степени 2n-1 или 2n+1, чтобы избавиться от дробей в решении? И для чего вы сразу вынесли первый член ряда?

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Ряд Тэйлора
« Ответ #7 : 05 Февраль 2013, 21:05:57 »
Способов решения может быть много. Можно было просто заметить, что
 1/(4n^2-1) = 1/2 * (1/(2n-1) - 1/(2n+1)),
поэтому сумма разбивается на две:
1/2 sum (-1)^n/(2n-1)
и
1/2 sum (-1)^n/(2n+1).
Кроме того, нам известно разложение арктангенса в ряд Тейлора:
arctg(x) = sum_0 (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1).
Отсюда сразу видно, что первая сумма равна -1/2*arctg(1), а вторая 1/2*arctg(1) - 1/2.

Что касается вашего решения, то если вы заводите переменную в степени 2n+1, то перед вторым дифференцированием вам надо поделить результат на x. При степени 2n-1 вам надо умножить результат на x^3. Я хотел этого избежать и просто дважды продифференцировать ряд. Причина, по которой я вынес первый член ряда следующая: в первом члене получается отрицательная степень x, поэтому соответствующий ряд расходится при x=0. Приходится думать при подстановке x=0 для определения констант интегрирования. При положительной степени думать не надо :). Но ничто не мешает прийти к ответу и этим способом.

Если вы покажете свое решение, то можно будет найти и исправить ошибку.
« Последнее редактирование: 05 Февраль 2013, 21:26:43 от devnull »