Автор Тема: Задача по интегралам движения  (Прочитано 3744 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #15 : 28 Январь 2013, 16:13:08 »
1) Лагранжиан всегда равен L = T - U, где T - кинетическая энергия, U - потенциальная. Если ось 'y' направлена вниз, то потенциальная энергия в поле тяжести будет U = -mgy. Соответственно в функции Лагранжа появится плюс: L = T - (-mgy) = T + mgy.

2) Если точка движется по прямой, то она обладает всего одной степенью свободы. В этом случае вводить для описания ее движения три координаты (x, y, z) - расточительно и только осложняет дело. Положение тела однозначно описывается ее координатой на прямой, r. Остается лишь записать функцию Лагранжа через эту единственную координату. Вектор скорости имеет две взаимно перпендикулярные компоненты - одну вдоль прямой, а вторую - по касательной к окружности радиуса r*sin(alpha). Первая компонента равна dr/dt, вторая - r*sin(alpha)*w. Соответственно кинетическая энергия будет
T = m/2 * ((dr/dt)2 + (r*sin(alpha)*w)2).
Если ось Z направлена вверх, то потенциальная энергия в гравитационном поле Ug = mg*r*cos(alpha), в противном случае перед выражением будет знак минус.
По эластичной силе у меня вопрос - в выражении для силы нет знака минус? Потому что сила F=k*r является не притягивающей, а отталкивающей тело от центра. Предполагая, что у силы F все-таки стоит минус (т.е. сила является возвращающей, F=-k*r), получаем эластическую потенциальную энергию Ue = +kr2/2.
Лагранжиан L = T - Ug - Ue.

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #16 : 28 Январь 2013, 23:59:50 »
Да, действительно, перед силой стоял минус. В этой задаче не указано, что точка находится в поле сил тяжести, значит и писать её не нужно. Вопрос о знаке перед потенциальной энергией был про знак у выражения, которому равна сама потенциальная энергия, впрочем, вы на это ответили. Но какое значение в таком случае имеет потенциальная энергия -mgy, если ось У направлена вниз? Поверхность земли находится где-то внизу и чем ниже тело, тем больше у него потенциальная энергия?

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #17 : 30 Январь 2013, 03:19:21 »
Если поместить тело в произвольную точку пространства, то оно начнет самопроизвольно двигаться в сторону меньшего значения потенциальной энергии. Это - общее правило, поскольку по определению F = - grad U. Тела в окрестности Земли самопроизвольно падают вниз, поэтому именно в этом направлении потенциальная энергия убывает быстрее всего. В школе обычно пишут потенциальную энергию силы тяжести в виде U = mgh, где h - высота. Если направить ось Y вниз, то координата 'y' станет равна y = -h. Соответственно, U = -mgy. Чем больше координата 'y', тем наша высота меньше и тем меньше наша потенциальная энергия.

Поверхность земли находится где-то внизу и чем ниже тело, тем больше у него потенциальная энергия?
Наоборот, чем мы ниже, тем наша потенциальная энергия меньше. Чтобы удалить тело от Земли нам нужно приложить усилие, добавить ему энергии.

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #18 : 30 Январь 2013, 05:38:45 »
Спасибо, понял. Невнимательно подставил знак.