Автор Тема: Задача по интегралам движения  (Прочитано 3531 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Задача по интегралам движения
« : 14 Январь 2013, 17:01:25 »
Добрый день. Вопрос касательно интегралов движения. Не могу найти решённые данным методом примеры(если поможете найти - буду очень рад). Даны две функции F, координат и скорости, и лагранжиан. Доказать, что для такого лагранжиана они являются интегралами движения(если не изменяет память, то доказать и то, что сам лагранжиан является интегралом движения). Видимо, доказать с помощью теоремы Нётер. Я так понял, нужно сделать это через симметрию лагранжиана, но так как примеров перед глазами нет, не могу адекватно применить эту теорему. Могли бы вы написать по пунктам что нужно делать при решении задачи данным способом?
« Последнее редактирование: 14 Январь 2013, 17:06:40 от Dukazkraft »

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #1 : 14 Январь 2013, 19:00:40 »
Посмотрите на скобки Пуассона, особенно в конце странички параграф "Свойства":

Функция F является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом H тогда и только тогда, когда [F, H] = 0.

Там же ниже приводится явный вид скобок Пуассона в канонических координатах. Вам следует исходя из лагранжиана вычислить гамильтониан H(q,p,t)=∑q.p - L(q,q.,t) а затем посчитать скобки Пуассона для каждой из функций с этим гамильтонианом. В квантовой механике роль скобок Пуассона играет коммутатор, Вам нужно было бы вычислить коммутатор операторов F с гамильтонианом.
« Последнее редактирование: 14 Январь 2013, 19:13:32 от devnull »

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #2 : 14 Январь 2013, 19:11:00 »
Я разберусь с этим методом решения, но от нас требуют другой. Гамильтониан мы не используем и его ещё не знаем вовсе. Нужно именно через теорему Нётер.

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #3 : 14 Январь 2013, 19:13:44 »
Могут быть и другие способы решения, многое зависит от вида лагранжиана. Производную по времени от функции F можно записать как dF/dq*dq/dt + dF/dq.*dq./dt + dF/dt. Может оказаться, что в вашем случае легко выразить dq./dt из уравнений Лагранжа и убедиться, что данное выражение равно нулю. Напишите, какой у вас лагранжиан и функции, будет виднее.
« Последнее редактирование: 14 Январь 2013, 19:16:02 от devnull »

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #4 : 14 Январь 2013, 19:29:03 »
Я не помню, к сожалению, условий задачи. Иначе было бы проще. Аналогичных задач не имею под рукой.

Оффлайн zer0

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 688
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #5 : 14 Январь 2013, 21:11:10 »
"Поди туда, не знаю куда, докажи то, не знаю что"  ;D

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #6 : 14 Январь 2013, 21:14:42 »
Пример придумываю из головы:

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\begin{document}
Пусть тело движется в силовом поле винтовой линии, имеющей шаг $h$ и расположенной вдоль оси $z$.
Движение описываем в цилиндрической системе координат $r$, $\phi$, $z$. Потенциал такой спирали
зависит не от каждой из переменных $\phi$ и $z$ по отдельности, а только от их комбинации, потому
что сдвиг на $2\pi$ по $\phi$ и $h$ по $z$ приводит к физически эквивалентной позиции:
$U=U(r,\phi\frac h{2\pi} - z)$. Лагранжиан:
$$
L=\frac{m(\dot r^2+r^2\dot\phi^2+\dot z^2)}2-U(r,\phi\frac h{2\pi}-z).
$$
Докажем, что величина
$$
I=r^2\dot \phi + \dot z\frac h{2\pi}
$$
является интегралом движения. Вычисляем производные лагранжиана по скоростям.
$$
\frac{\partial L}{\partial\dot r}=m\dot r,\quad
\frac{\partial L}{\partial\dot \phi}=mr^2\dot\phi,\quad
\frac{\partial L}{\partial\dot z}=m\dot z.
$$
Видно, что
$$
I=0\cdot\frac{\partial L}{\partial\dot r} + \frac1m\frac{\partial L}{\partial \dot \phi}+\frac h{2\pi m}\frac{\partial L}{\partial\dot z}.
$$
По теореме Нетер функция $I$ будет интегралом движения, если лагранжиан инвариантен относительно сдвига
переменных
$$
(r,\phi,z) \rightarrow \left(r + s\cdot0, \phi+s\cdot\frac1m, z+s\cdot\frac h{2\pi m}\right)
$$
Здесь $s$ --- параметр сдвига. Соответственно меняются (точнее, в нашем случае не меняются) скорости:
$$
(\dot r, \dot\phi,\dot z)\rightarrow\left(
r+s\frac {d0}{dt}, \dot\phi+s\frac{d}{dt}\frac 1m, \dot z +
\frac d{dt}\frac h{2\pi m}
\right) = (\dot r, \dot \phi, \dot z)
$$
Надо доказать, что
$$
\frac d{ds}L\left(r,\phi + \frac sm,z+\frac{sh}{2\pi m},
\dot r, \dot\phi, \dot z\right)=0.
$$
Однако очевидно, что в нашем случае при этом сдвиге переменных $L$ вообще не меняется, поэтому
и производная будет равна нулю.
\end{document}


Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #7 : 14 Январь 2013, 21:38:27 »
Пример придумываю из головы:

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\begin{document}
Пусть тело движется в силовом поле винтовой линии, имеющей шаг $h$ и расположенной вдоль оси $z$.
Движение описываем в цилиндрической системе координат $r$, $\phi$, $z$. Потенциал такой спирали
зависит не от каждой из переменных $\phi$ и $z$ по отдельности, а только от их комбинации, потому
что сдвиг на $2\pi$ по $\phi$ и $h$ по $z$ приводит к физически эквивалентной позиции:
$U=U(r,\phi\frac h{2\pi} - z)$. Лагранжиан:
$$
L=\frac{m(\dot r^2+r^2\dot\phi^2+\dot z^2)}2-U(r,\phi\frac h{2\pi}-z).
$$
Докажем, что величина
$$
I=r^2\dot \phi + \dot z\frac h{2\pi}
$$
является интегралом движения. Вычисляем производные лагранжиана по скоростям.
$$
\frac{\partial L}{\partial\dot r}=m\dot r,\quad
\frac{\partial L}{\partial\dot \phi}=mr^2\dot\phi,\quad
\frac{\partial L}{\partial\dot z}=m\dot z.
$$
Видно, что
$$
I=0\cdot\frac{\partial L}{\partial\dot r} + \frac1m\frac{\partial L}{\partial \dot \phi}+\frac h{2\pi m}\frac{\partial L}{\partial\dot z}.
$$
По теореме Нетер функция $I$ будет интегралом движения, если лагранжиан инвариантен относительно сдвига
переменных
$$
(r,\phi,z) \rightarrow \left(r + s\cdot0, \phi+s\cdot\frac1m, z+s\cdot\frac h{2\pi m}\right)
$$
Здесь $s$ --- параметр сдвига. Соответственно меняются (точнее, в нашем случае не меняются) скорости:
$$
(\dot r, \dot\phi,\dot z)\rightarrow\left(
r+s\frac {d0}{dt}, \dot\phi+s\frac{d}{dt}\frac 1m, \dot z +
\frac d{dt}\frac h{2\pi m}
\right) = (\dot r, \dot \phi, \dot z)
$$
Надо доказать, что
$$
\frac d{ds}L\left(r,\phi + \frac sm,z+\frac{sh}{2\pi m},
\dot r, \dot\phi, \dot z\right)=0.
$$
Однако очевидно, что в нашем случае при этом сдвиге переменных $L$ вообще не меняется, поэтому
и производная будет равна нулю.
\end{document}

Не могли бы вы скинуть картинкой? Мой браузер этого не читает и всё выдает текстом без специальных символов.

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #8 : 14 Январь 2013, 22:07:30 »
Это был не код для браузера, а код для системы верстки LaTeX, которая весьма удобна для набора научных текстов, содержащих большое количество математических формул.

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #9 : 14 Январь 2013, 23:27:28 »
Благодарю за пример. Но один вопрос к нему: ведь теорема Нётер предполагает ещё поворот системы и сдвиг по времени.

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #10 : 15 Январь 2013, 00:36:57 »
Теорема Нетер рассматривает однопараметрическую группу преобразований. Бесконечно малый (инфинитезимальный) элемент s этой группы будет иметь вид q -> q + s*f(q,t). Сюда попадают и, например, бесконечно малые (инфинитезимальные) вращения. Действительно, на плоскости вектор (-y, x) перпендикулярен к радиус-вектору (x, y). Бесконечно малое вращение вектора - это по сути сдвиг его конца на малое расстояние в направлении, перпендикулярном к самому вектору. Поэтому преобразование координат
x -> x - s*y
y -> y + s*x
это бесконечно малый поворот. Для того, чтобы воспользоваться теоремой Нетер, вам потребуется записать ваши функции F в виде суммы членов fi(q,t)*Li, где Li - производная лагранжиана по обобщенной скорости i. Заметьте, что fi в общем случае может быть функцией от всех координат и времени. После этого посмотрите, поменяется ли лагранжиан, если вы произведете в нем замену переменных qi -> qi + s*fi. Поскольку fi могут зависеть от всех q, то туда будут входить и вращения (см. пример выше) и другие преобразования. Просто я придумал очень простой пример, в котором все три функции fi оказались константами.

PS. Вообще эта проверка не очень удобна в формализме Лагранжа, для этого больше подходит формализм Гамильтона и скобки Пуассона. В этом, кстати, состоит одно из неудобств на пути построения релятивистских квантовых теорий. Теория относительности естественным образом формулируется в формализме Лагранжа (через экстремум действия), а квантовая механика - в формализме Гамильтона (через энергетический спектр).
« Последнее редактирование: 15 Январь 2013, 00:45:45 от devnull »

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #11 : 15 Январь 2013, 02:04:51 »
Спасибо за развёрнутый ответ, понял метод. Для дополнительных уяснений, если будут требоваться, отпишусь снова.

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #12 : 15 Январь 2013, 21:11:26 »
В этот раз в работе задача попалась гораздо проще, но в предыдущей, вероятно, нужно было решить способом, который вы предложили.

В картинке немного напутал со знаками в производной F, но суть ясна.
« Последнее редактирование: 15 Январь 2013, 21:14:58 от Dukazkraft »

Оффлайн CD_Eater

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1906
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #13 : 16 Январь 2013, 21:21:03 »
devnull, а в расчёте на что вы даёте latex-овский код?
разве у всех на компьютере найдётся соответствующий софт?
я думаю, 90% читателей даже не знают, что им для этого нужно - подготовкой статей к публикации занимались очень немногие, а широко известного соответствующего софта, название которого было бы у всех на слуху, вроде бы нет
были бы уместны дополнительные пояснения
ну, типа как когда вы постите текст какой-то программы, то проявлением вежливости к читателю была бы ссылка на транслятор, чтобы вашу программу запустить

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по интегралам движения
« Ответ #14 : 27 Январь 2013, 04:15:22 »
Вопрос из смежной области, о лагранжиане. В решениях задач вижу, что в построениях лагранжиана какой-либо системы в поле силы тяжести знак у потенциальной энергии выбирают по-разному при вроде бы одинаковых условиях. Каким образом всё-таки правильно выбрать её знак? Рассматриваю я, к примеру, подвешенную на нити материальную точку, точку закрепления выбираю в начале координат, ось ординат направляю вниз(то есть сонаправленно с силой тяжести). Выбор знака принципиален, поскольку в задаче требуется определить угловую частоту малых колебаний.

А так же требуется помощь со следующей задачей:
Материальная точка может свободно двигаться по прямой, проходящей через начало координат и составляющей постоянный угол альфа с осью Z, вокруг которой совершает вращения с угловой скоростью w. Так же на точку действует эластичная сила F=k*r. Нужно написать лагранжиан и решить соответствующее уравнение движения.

Каким образом втиснуть в лагранжиан действие силы, которая непонятно откуда действует, как в нашем случае?
Я правильно понял если запишем потенциальную энергию как U=-k(x^2+y^2+z^2)? Если так, то сила действует на точку возвращающе в начало координат. Из задачи не совсем ясно что это за система.
Кинетическая соотетственно m(tg^2 (a) z^2 (1+w^2) - 4sin(wt) cos(wt) tg^2 (a) z^2)/2, где я взял t=0 в момент, когда прямая находится в плоскости YZ.
« Последнее редактирование: 27 Январь 2013, 23:05:15 от Dukazkraft »