Автор Тема: Одинадцать монет  (Прочитано 1747 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн vrug

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Одинадцать монет
« : 24 Сентябрь 2012, 14:20:49 »
Десять одинаковых монет расположены в виде некоторой замкнутой цепочки (т.е. первая монета касается второй, вторая - третьей и
т.д., десятая-первой).  Одиннадцатая такая же монета  прокатывается   без скольжения по внешней стороне цепочки, касаясь по очереди каждой из этих монет. Сколько оборотов она сделает, вернувшись в исходное положение?

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Одинадцать монет
« Ответ #1 : 24 Сентябрь 2012, 16:58:09 »
Определим сначала длину пути - то есть общую  длину всех дуг- линий соприкосновения монет. Какой бы ни была конфигурация  замкнутой цепочки из 10 монет, прокатываемая монета периодически попадает в "щель между двумя монетами, касаясь их обеих, и в этот момент центры трех монет, прилегающих друг к другу, образуют правильный треугольник.(см.рис).Ведь в условии сказано, что монета в процессе движения  касается каждой монеты , то есть, у цепочки нет участков, "сильно изогнутых внутрь" и треугольники нигде не накладываются друг на друга.  Дуга,по которой прокатывается монета заключена между двумя сходящимися в одной точке сторонами этих правильных треугольников. Если 10 таких треугольников выстроить в замкнутую цепочку ,соединив их вершинами,  то исходя из суммы внутренних углов многоугольника (здесь   в1+в2....+в10  равно  1440 гр.) легко можно получить сумму углов между сторонами смежных треугольников снаружи цепочки (эта сумма н1+н2...+н10  равна 960 град.). Значит, монета,которую катят снаружи , в итоге прокатывается  по дугам с радиусом, равным своему собственному, и суммарной градусной мерой 960 град.. Значит,пройдя всю цепочку она должна сделать 960 / 360 = 2 целых  2/3 оборота по данной дуге. Это значение нужно удвоить,т.к.  при качении монета поворачивается и вокруг своего центра, и вокруг центра той монеты, по которой катится.   Итого 5 целых  1/3 оборота.

« Последнее редактирование: 24 Сентябрь 2012, 22:14:35 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн zer0

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 688
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Одинадцать монет
« Ответ #2 : 24 Сентябрь 2012, 20:15:45 »
Что-то у меня сомнения... Может, надо удвоить 960гр и получим 5+1/3 оборота?

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Одинадцать монет
« Ответ #3 : 24 Сентябрь 2012, 21:01:15 »
Что-то у меня сомнения... Может, надо удвоить 960гр и получим 5+1/3 оборота?
Да, похоже  нужно просто удвоить...
« Последнее редактирование: 24 Сентябрь 2012, 21:34:40 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...