Автор Тема: Нестандартные задачи  (Прочитано 3083 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн vrug

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Нестандартные задачи
« : 11 Сентябрь 2012, 13:08:22 »
1) Может ли прямая, не проходящая через вершины 11-
угольника, пересекать все его стороны?

2) Девять шестеренок зацеплены по кругу: первая со вто-
рой, вторая с третьей и т. д., девятая с первой. Могут ли
они вращаться? А если шестеренок n?

3)Можно ли квадратный участок пола 56х56 см полностью покрыть паркетными дощечками 4х16 см в один слой?

Оффлайн Миклухо

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Re: Нестандартные задачи
« Ответ #1 : 11 Сентябрь 2012, 14:23:35 »
1) Может ли прямая, не проходящая через вершины 11-
угольника, пересекать все его стороны?

2) Девять шестеренок зацеплены по кругу: первая со вто-
рой, вторая с третьей и т. д., девятая с первой. Могут ли
они вращаться? А если шестеренок n?

3)Можно ли квадратный участок пола 56х56 см полностью покрыть паркетными дощечками 4х16 см в один слой?
1. нет 2. нет  3. нет

Оффлайн vrug

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Re: Нестандартные задачи
« Ответ #2 : 11 Сентябрь 2012, 15:34:18 »
1) Может ли прямая, не проходящая через вершины 11-
угольника, пересекать все его стороны?

2) Девять шестеренок зацеплены по кругу: первая со вто-
рой, вторая с третьей и т. д., девятая с первой. Могут ли
они вращаться? А если шестеренок n?

3)Можно ли квадратный участок пола 56х56 см полностью покрыть паркетными дощечками 4х16 см в один слой?
1. нет 2. нет  3. нет
А как доказать?

Оффлайн лучник

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 461
    • Просмотр профиля
Re: Нестандартные задачи
« Ответ #3 : 11 Сентябрь 2012, 15:47:04 »
2) При любом четном n начиная с четырех шестеренки могут вращаться
    При всех нечетных n начиная с трех шестеренки не могут вращаться.

Доказывается так - если шестеренка вращается по часовой стрелке, то прилегающие шестеренки вращаются против часовой стрелки. Если шестеренки идт по кругу, то вращающиеся по ч.с. должны чередоваться с вращающимися против ч.с. Значит их число должно быть четным.

Оффлайн vrug

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Re: Нестандартные задачи
« Ответ #4 : 11 Сентябрь 2012, 15:49:17 »
Cпасибо. А другие решения как доказать?

Оффлайн лучник

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 461
    • Просмотр профиля
Re: Нестандартные задачи
« Ответ #5 : 11 Сентябрь 2012, 15:52:35 »
1) Допустим такую прямую можно провести.Тогда по обе стороны от нее должно быть одинаковое количество вершин многоугольника. А при нечетном количестве вершин это невозможно.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Нестандартные задачи
« Ответ #6 : 11 Сентябрь 2012, 17:27:14 »
№3
Предположим, можно расположить дощечки требуемым образом. Тогда их потребуется 49 штук. Разобьем участок пола на 196 клеток и раскрасим клетки как на рисунке. Тогда любая одна дощечка обязательно должна накрыть 4 разных по цвету клетки. Но красных клеток получилось 48 штук. Пришли к противоречию.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн vrug

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 12
    • Просмотр профиля
Re: Нестандартные задачи
« Ответ #7 : 13 Сентябрь 2012, 18:29:02 »
Спасибо